關于泰勒多項式的“體驗式”教學設計

米黑龍 李蕓 曾甲生

摘要：泰勒多項式是高等數學課程的一個重點，也是一個難點。很多學生覺得其太過于抽象，不知所云。文章介紹“體驗式”教學方法在泰勒中值定理教學中的具體應用以及所產生的效果。

關鍵詞：體驗式教學;泰勒多項式;泰勒中值定理

中圖分類號：O172 ????文獻標識碼：A

1設計任務體驗多項式的“簡單”，理解引入泰勒多項式的必要性

要求學生不借助任何計算工具計算下列函數在處的函數值

（1）; ?????????（2）;

（3）; ??????????????????（4）

顯然，只有（1）與（2），我們不用借助任何計算工具，只通過手算給出答案，因為他們只包含加法，減法及乘法運算，而（3）與（4）盡管是我們最熟悉的初等函數，除了某些特殊點，其它任一一點的函數值幾乎都不好求，那在實際問題中遇到這些問題，我們怎么解決呢？學生自然會列出一系列解決方式，例如查表，運用計算器，借助電腦等等。此時，教師適時的指出，即使我們認為“萬能”的計算機其內部也只會進行加、減、乘、除以及邏輯運算，或者換句話說，我們先要把其它運算轉化成加、減、乘、除以及邏輯運算，計算機才能幫助我們解決，那么轉化成什么形式？怎樣轉化？通過片刻的思考，學生突然醒悟，多項式的形式！至于怎么轉化就是接下來我們的主要任務了。

2設計任務體驗同一多項式的不同形式的優越性

驗證下列多項式相等，并分別求出其在，，處的函數值

（1）; ???????（2）;

（3）

多項式（1），（2）和（3）只是冪的形式不一樣，實質上是相等的，學生計算處的函數值自然會選（1），計算處的函數值自然會選（2），計算處的函數值自然會選（3）。教師適時提問，若我們需計算在點附近的某點處的函數值，當我們采用一個多項式來近似的時候，采用什么樣的冪的形式較好呢？學生自然就會想到采用的冪的形式計算方便一些。

3設計任務體驗泰勒多項式的系數的確定

（1）求在處的函數值，一階導數值，以及二階導數值，并觀察任務二的（1），（2）和（3），你發現了什么？

學生通過觀察會迅速發現我們可以利用導數將多項式轉化成不同的冪的形式。

（2）當在點處可導時，對于充分接近的點，寫出其近似計算的公式。

學生迅速寫出，并且幡然頓悟：線性近似多項式的系數分別就是該點處的函數值與導數值！

（3）與在點處具有哪些相同點？上述結論能否推廣到一般的函數呢？即為一般的函數時，用一個關于的冪的形式的次多項式近似（注意此時只能是近似），是否也可通過上述方式確定的系數呢？

學生通過回顧微分的內容迅速給出答案：與在點處不僅函數值相同，一階導數值也相同，從幾何上來說與在點處相交，并且在這一點具有相同的切線。并且實際上就是根據這兩個條件所確定的一次多項式。教師趁機引導如果還具有相同的彎曲方向是否近似程度更好？怎樣描述？此時可以確定幾次多項式？學生思考得出結論：此時多了一個相同的條件，近似程度當然更好，并且應該可確定一個二次多項式。教師指出彎曲方向可由二階導數進行描述，即，并由此可得二次項的系數為。教師進一步引導，如果與近似的多項式在點處的三階，四階……直至階導數也相同，近似程度將更好，此時可以確定一個次多項式，并且通過簡單的計算得次冪的系數為。至此我們得到了階泰勒多項式的具體形式：

。

基金項目：2019年湖南商學院校級教學改革研究項目《應用驅動式線性代數課程教學模式改革研究與實踐》（校教字[2019]16號）;2020年湖南工商大學校級教學改革研究項目《基于 MOOC+SPOC 的公共數學類課程混合式教學模式創新的探索與實踐》（校教字[2020]15號）。

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2002：137-143+215-223.

[2]王靜，方曉峰，于寧莉.泰勒公式的“探究式”教學[J].高等數學研究，2012，9（05）：45-47.