問題引導式教學法在級數教學中的應用

摘?要：學生是學習的主體，如何激發學生的興趣，變“被動學習”為“主動學習”是很多教師教學研究的方向。級數部分一般安排在高等數學課程的最后一章，一是因為它的知識的獨立性，二是它在教學中是一個相對較難的內容。判別級數的斂散性即是級數教學中的主要任務也是難點。在級數教學中運用問題引導式教學法可以順利把學生的學習狀態從“要我學”轉換為“我要學”，通過引導學生自己觀察，總結出一類級數，命名為類P級數，探討出了一個簡單快捷的判別方法，并把它的應用進行了推廣。

關鍵詞：問題引導式教學法;級數;類P級數

一、問題的提出

傳統的高等數學教學過程教師往往是先給出一個理論，然后證明，然后應用，學生成為教學過程中的一個被動接受者，學習積極性不高，對知識的理解不夠深入，概念較模糊。以常數項級數部分的教學為例，這部分涉及概念多，級數類型多，判別方法多，學生往往出現難以判斷級數類型，無法選擇適合的判別法判別的問題。很多教師幫助學生歸納總結，但是學生仍然會有“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的感覺。同時教師往往省略數學概念和數學理論的形成與發展過程，更多地注重了知識的傳授，忽略學生作為一個學習個體的多方面的需求。學生不僅要通過學習高等數學學習一些數學知識，還要培養自己的數學能力和數學素養。這些數學能力和數學素養是需要學生獨立的思考探索才能獲得。

問題引導式教學法是以啟發式教學為主導的一種教學模式。它以問題解決為中心，以教師的導引作為手段，學生的發現為目的，變“被動學習”為“主動學習”，充分發揮學生學習的主體地位。在數學教學中引入這種方法，用問題激勵學生去思索去探索，圍繞問題的解決展開教學，能更好地培養學生的數學素養。

本文以高等數學中無窮級數教學中的一個片段為例，運用問題引導，設置情境，讓學生自主探索自主學習，對問題引導式教學法在數學教學中的應用進行探究。

二、準備知識

所謂“因材施教”就是要了解自己的學生，其中一點就是要了解學生的知識背景。級數位于高等數學最后一章，前面的知識應該都是學生學習這個部分的知識背景，可是并不能這樣一概而論，要具體找到知識點，因為不是之前學過的每個知識點都是要運用到這部分教學中，梳理出來后，做到心中有數。經過準備，我們發現在探索本部分問題時需引導學生自己逐漸從所學知識中找到下列相關內容。

三、問題引導式教學法的應用

精心設計問題是問題引導式教學法的關鍵。在教學的每一步都要根據學生的實際認知情況，設置好問題，讓學生建立起問題意識，然后在問題的牽引下完成既定的學習目標。我在設計問題時考慮學生的已有知識體系和認知習慣進行下面的課程設計。

第一步，借助于類比手法，建立新概念的認識基礎。明確教學目標是能運用極限形式的比較審斂法判斷一類級數的斂散性，總結出一個規律：分子與分母的冪次差決定了這類級數的斂散性。我先準備了一組練習，比如：根據所學審斂法判斷下列級數的斂散性。

這些級數的斂散性判別都是可以運用引理2的極限形式的比較審斂法解決，并且運用到的比較級數都是P級數。根據教學目標我們在設置問題時，要使得所有級數的共同特點呈現出我們要得到的規律。每個級數又要表現出與其他級數的不同特點，避免問題簡單重復，開發學生的思維。綜上考慮，這些級數的一般項中，分子分母的冪次不僅有整數冪次，還包含0次冪，分數次冪，分子分母均為分數次冪等情形。這樣利于學生在探究問題規律時求同存異，析出正確結論。

第二步，借助于問題的分析與探究，引導學生發現里面固有的規律。教師設問“運用的判別方法有什么共同之處？”，“這些級數的共同特點是什么？”。通過組織練習討論發現這些級數在判斷斂散性時，都用到了比較審斂法，且都是和P級數進行比較。于是引導學生歸納總結出一個結論。

結論1?對于這類級數，如果滿足l-kSymbolcB@

1，則級數發散或條件收斂;如果滿足l-k>1，則級數絕對收斂。

教師又問“這類級數有什么共同特點呢？”有些學生就發現它們一般項和有理函數很像，給出了下面這樣一個定義。

定義2?形如∑SymboleB@

n=1Pk（n）Ql（n）的級數，稱為類P級數，其中Pk（n），Ql（n）分別為k和l次冪的多項式。（k，l非負）

第三步，引導學生證明結論，將結論轉變成一個定理，實現知識的內化處理。

定理1?對于類P級數，如果滿足l-kSymbolcB@

1，則級數發散或條件收斂;如果滿足l-k>1，則級數絕對收斂。

證明：運用引理1，2可知：

第四步，教師提出問題“證明過程中的絕對值符號的意義是什么？”引導學生思考任意項技術和正項級數的關系，考慮如果是正項級數，那么定理是否可以簡化？從而在方便使用的前提下，將定理界定在正項級數中，得出更有實用意義的推論。

推論1?若類P級數∑SymboleB@

n=1Pk（n）Ql（n）是正項級數，或n足夠大后所有項均為正項，則有如下結論：如果滿足l-kSymbolcB@

1，則級數發散;如果滿足l-k>1，則級數收斂。

有了這個推論1，類P級數的斂散性判別就簡單多了，比如級數∑SymboleB@

n=1（1+n21+n3）2為正項級數，且分子最高冪次為4次冪，分母最高冪次為6次冪，6-2=2>1，根據推論可知級數收斂。

第五步，教師再次重點給出例題1中的（3）（4）小題，提問“剛才定義2中的類P級數有什么局限性呢？是否可推廣到這樣的級數？”這兩個級數的一般項為分子分母的冪次不是整數的有理分式。這就進一步推廣定理1的應用，同時也讓學生抓住問題的主要矛盾，去掉干擾因素，把握住這類級數斂散性判別的唯一決定因素。

第六步，引導學生把新舊知識融合，靈活使用定理1。有些級數的斂散性判別可以通過等價無窮小代換思想轉變為判斷類P級數的斂散性判別。教師提問“我們學習過許多等價無窮小常用的有哪些？”“級數收斂的必要條件是什么？”級數收斂的必要條件是在項數n趨于無窮時，一般項為無窮小。高等數學中常用的等價無窮小有：

當x→0時，x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1+x）～ex-1

當級數的一般項中出現這些函數時，可以考慮運用等價無窮小找到相應的類P級數作為比較級數。教師給出例題。

例2?判斷下列級數的斂散性。

四、效果總結

嘗試問題引導式的教學方法進行“類P級數”的教學后，通過課堂測試，課后作業檢查教學效果有明顯提高。首先，學生普遍反映，這種步步引導，自己探索的教學方式，讓他們不僅學習了新知識，對概念和定理的把握更清楚，而且培養了獨立思考，獨立歸納的能力。其次，教師在教學中也能時刻把學生的學習放在第一位，學生成了推進教學活動的主體，學生的學習效果成了教學效果的衡量標準，做到教學以學生為中心;更值得一提的是，在此次教學實踐中，學生不僅僅是學會了基本的教學內容，竟然自己通過探索提出一個新的數學概念——類P級數，學生的創新思維得到了鍛煉。

這個教學方法的良好運用不但需要一個合適的課堂設計，而且要求教師有更高的課堂控制能力、溝通能力、主持能力。教師在教學中要學會妥善處理一些問題，比如課堂的時間如何分配，問題的設置怎樣更合理，學生的討論如何引導等等。教學是一門學問，需要我們不斷地去探索研究。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（下）[M].同濟大學出版社，2009：202.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上）[M].同濟大學出版社，2009：43.

[3]同濟大學數學系.高等數學（下）[M].同濟大學出版社，2009：204.

項目資助：工程數學網絡輔導課程建設與應用，校級（項目編號：BYJY201906）

作者簡介：劉會靈（1977—），女，漢族，河北保定人，碩士，講師，研究方向：高等數學教學法。