一道未定式極限例題的解法探討

摘?要：本文針對一道00型未定式極限例題，給出了七種解法，并對每一種解法進行了詳細的分析。最后，通過解法的探討，對未定式極限的教學經驗進行了總結。

關鍵詞：未定式極限;洛必達法則;等價無窮小

A?Probe?into?the?Solution?to?an?Example?of?indeterminate?form?limit

You?Junyan

School?of?Mathematics?and?Statistics，Heze?University?ShandongHeze?274000

Abstract：In?this?paper，seven?solutions?are?given?for?an?example?of?0/0?tepy?indeterminate?form?limit，and?each?solution?is?analyzed?in?detail.Finally，the?teaching?experience?of?indefinite?limit?is?summarized?through?the?discussion?of?the?solution.

Key?words：Indeterminate?form?limit，LHospitals?rule，Equivalent?infinitesimal

極限是學習高等數學的理論基礎，同時也是分析函數連續性、可微性等性質的重要工具[1，2]。雖然求極限問題的方法有很多種，例如重要極限、無窮小的性質、無窮小與無窮大的關系、等價無窮小、洛必達法則等[3，4]，但基于極限問題形式的多樣性，選擇合適的方法進行求解是教學的重點，也是學生學習的重點與難點。在極限問題中，未定式極限是常見的類型，也是綜合性最強的一種，所以求解未定式極限是學習極限的重中之重。因此，學好極限的求解，尤其是未定式極限的求解，一方面可以幫助學生更好地理解極限的定義、思想及其應用;另一方面，可以提高學生思維的靈活性，以及利用數學知識解決問題的能力，從而達到培養學生學習數學的興趣以及自主學習的目的。

1?例題分析

本文分析的問題源自同濟大學數學系編的第七版的《高等數學》（上冊）第136頁的例10，題目是求極限limx→0tanx-xx2sinx。

這是一道00型未定式極限問題，洛必達法則是最容易想到的方法。若直接使用洛必達法則，分母會變為2xsinx+x2cosx。顯然，這不是理想的結果。此時，要求學生具有敏銳的觀察力和分析問題的能力，既然直接用洛必達法則不是最想要的方法，那么從極限式的特點入手，注意到分母中可以先使用等價無窮?。ó攛→0時，sinx～x）的替換，再使用洛必達法則可以很大程度的簡化計算，即有：

limx→0tanx-xx2sinx=limx→0tanx-xx3=limx→0secx-13x2

因此，問題轉化為求解極限limx→0secx-13x2，在接下來的計算中分別給出七種計算方法，并在每一種方法中對每一步要進行的計算給出了詳細的解釋。

解法一：洛必達法則與等價無窮小結合使用，此方法正是教材中給出的方法。

原式=limx→0sec2x-13x2???00型，使用洛必達法則

=limx→02sec2xtanx6x?當x→0時，tanx～x

=limx→0sec2x3?當x→0時，sec2x→1

=13

解法二：三角恒等變換與等價無窮小的結合使用。

原式=limx→0sec2x-13x2secx=1cosx

=limx→01cos2x-13x2（分子進行通分）

=limx→01-cos2xcos2x3x2（1-cos2x=sin2x;當x→0時，cos2x→1）

=limx→0sin2x3x2?（當x→0時，sin2x～x2）

=13

解法三：在解法二中，對第三個等號處的cos2x先不取值，而是利用三角恒等變換sinxcosx=tanx，再結合使用等價無窮小的替換。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→01cos2x-13x2

=limx→01-cos2xcos2x3x2?1-cos2x=sin2x

=limx→0sin2xcos2x3x2?sin2xcos2x=tan2x

=limx→0tan2x3x2?當x→0時，tan2x～x2

=13

解法四：在解法二中，僅對第三個等號處的cos2x取值，分子中剩余的部分利用平方差公式變形，最后結合使用等價無窮小的替換。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→01cos2x-13x2

=limx→01-cos2xcos2x3x2?（當x→0時，cos2x→1）

=limx→01-cos2x3x2?（分子使用平方差公式變形）

=limx→0（1+cosx）（1-cosx）3x2

當x→0時，1+cosx→2;1-cosx～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

解法五：直接利用三角恒等變換sec2x-1=tan2x，再結合使用等價無窮小。這也恰好是解法三最后得到的結論。顯然，熟記這個公式要比解法三中的具體推導簡單的多，并且解法五是求解此極限問題最簡單的方法。

原式=limx→0sec2x-13x2=limx→0tan2x3x2=13

解法六：不使用洛必達法則，而是對分子利用平方差公式變形，再利用三角恒等變換，最后結合使用等價無窮小的替換。

原式=limx→0sec2x-13x2??（分子利用平方差公式變形）

=limx→0（secx+1）（secx-1）3x2?（當x→0時，secx+1→2）

=limx→02（secx-1）3x2?secx=1cosx

=limx→02·1-cosxcosx3x2當x→0時，cosx→1，1-cosx～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

解法七：由解法六可得當x→0時，secx-1～12x2。因此，若能熟記這對等價無窮小，在解法六中的第三個等號處便可直接使用，不需要再進行具體的推導，將會簡化計算。

原式=limx→0sec2x-13x2??（分子利用平方差公式變形）

=limx→0（secx+1）（secx-1）3x2?（當x→0時，secx+1→2）

=limx→02（secx-1）3x2當x→0時，secx-1～12x2

=limx→02·12x23x2

=13

2?教學總結

這是一道典型的00型未定式極限問題，通過以上的解法分析有幾點想法總結如下：

（1）洛必達法則求解00型未定式極限時，與等價無窮小的替換結合使用效果會更佳。但等價無窮小的替換要注意形式的靈活性，在使用時要學會變通，例如當x→0時，sinx～x，則當x→0時，sinxn～xn，sinnx～xn。推廣到更一般的結論有，當u（x）→0時，sinu（x）～u（x）。此推廣結論對于其他的等價無窮小同樣適用。

（2）這是一道與三角函數有關的未定式極限題目，除了結合等價無窮小的替換之外，還可以通過三角函數之間的恒等變換進行計算，有些甚至可以高大程度的簡化計算。例如，secx=1cosx，sec2x-1=tan2x。此外，通過secx=1cosx與當x→0時，1-cosx～12x2還可以得到一對新的等價無窮小，即當x→0時，secx-1～12x2，這個可以作為結論直接使用。

（3）本文分析的七種方法不是完全獨立的，只是側重點不同，呈現出來的答案才有所區別，但并不是所有的未定式極限都存在一題多解。對于此類問題重要的是教給學生思考問題、分析問題以及解決問題的能力，進一步培養學生的發散思維，提高學生的計算能力。因此，在高等數學的教學中，在傳授知識的同時，要加強對學生創新思維和學習興趣的培養，幫助學生樹立自信，鼓勵學生參與到課堂中來，提高學生的觀察力，培養學生良好的學習習慣。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014：34-137（7版）.

[2]華東師范大學數學系編.數學分析（上冊）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010：60-132.

[3]李茜.關于0/0型極限的解法探討[J].貴州學院學報（自然科學版），2017，12（3）：5-6.

[4]張友梅，吳邦昆.00型極限的解法研究[J].玉溪師范學院學報（自然科學版），2016，32（8）：11-15.

作者簡介：油俊彥（1987—），女，菏澤人，碩士，講師，從事高等數學教育與研究。