系統(tǒng)阻尼對微型機械傳感器性能的影響研究

張強 王曉光 陳蘭 王滿蘋

摘?要：系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性與共振品質(zhì)因數(shù)非常重要，二者是描述機械共振的關(guān)鍵性能指標。本文通過研究發(fā)現(xiàn)，降低品質(zhì)因數(shù)能夠提高微型機械共振傳感器的頻率穩(wěn)定性。通過在一定的帶寬下展示傳感器的溫度分辨率，指出低帶寬中增加系統(tǒng)阻尼可帶來更高的穩(wěn)定性和傳感器分辨率，從而可以對研發(fā)高性能超靈敏共振器提供幫助。

關(guān)鍵詞：阻尼;機械傳感器

Abstract：The?frequency?stability?and?resonance?quality?factor?of?the?system?are?very?important.They?are?the?key?performance?indexes?to?describe?the?mechanical?resonance.In?this?paper，it?is?found?that?reducing?the?quality?factor?can?improve?the?frequency?stability?of?the?micro?mechanical?resonance?sensor.By?displaying?the?temperature?resolution?of?the?sensor?in?a?certain?bandwidth，it?is?pointed?out?that?increasing?the?system?damping?in?the?low?bandwidth?can?bring?higher?stability?and?sensor?resolution，which?can?help?to?develop?high-performance?super?sensitive?resonators.

Key?words：damping;?mechanical?seneor

1?概述

微型諧振機械裝置，具有非凡的靈敏度。當(dāng)使用微型機電系統(tǒng)作為穩(wěn)定的頻率參考時，微小的力和質(zhì)量變化可以通過小的頻移來區(qū)分。這在超靈敏質(zhì)量測量中很有用。例如，質(zhì)量靈敏度的提高開創(chuàng)了機械質(zhì)譜的新范式。任何提高穩(wěn)定性的方法都會改善這些傳感器的性能。如果穩(wěn)定性可以保持不變或通過增加阻尼來改善，則微型機電系統(tǒng)超敏性可以部署在諸如空氣或液體之類的阻尼介質(zhì)中，從而極大地提高了它們作為生物傳感器或氣體傳感器使用或在環(huán)境中的效用。研究表明，更好地穩(wěn)定性還可以使振蕩器時鐘電子設(shè)備受益[1-4]。品質(zhì)因數(shù)Q是阻尼的倒數(shù)，它表示共振在頻率上的尖峰值。Q已被用作頻率穩(wěn)定性的替代指標。但是，Q只貢獻了一部分。另一部分來自諧振信號與噪聲的比值信噪比（SNR）。盡管傳統(tǒng)上假設(shè)Q和SNR是相關(guān)的，但我們注意到當(dāng)共振條件僅受內(nèi)在因素限制時，SNR應(yīng)該與Q成反比。在這種情況下，穩(wěn)定性應(yīng)獨立于Q，并且穩(wěn)定的性能應(yīng)與Q無關(guān)，保持在各種阻尼條件下。

2?機電系統(tǒng)共振特性

微型機電系統(tǒng)（NEMS）以其較高的靈敏度而著稱。然而，通常認為最佳靈敏度要求最高的品質(zhì)因數(shù)，從而限制了其在真空環(huán)境和低溫下的應(yīng)用。空氣和液體中超靈敏性的獲得可以帶來許多新的應(yīng)用：生物傳感，安全性篩查，環(huán)境監(jiān)測等。

通過很小的質(zhì)量或剛度以及精確的共振頻率f確定，可以實現(xiàn)出色的靈敏度。這種方法允許對頻率δf的攝動進行探測（如圖1）。

機械共振會因質(zhì)量或力的變化而引起頻移。根據(jù)式（1）可得，最小可檢測到的偏移隨著帶寬和SNR的提高而提高。

直觀上判斷，峰值位置（和最終靈敏度）由兩個因素決定：有限的帶寬和信號上的噪聲。前者通過諧振品質(zhì)因數(shù)Q量化，后者通過信噪比SNR量化，因此頻率穩(wěn)定性應(yīng)與這兩個數(shù)量有關(guān)。通過文獻[5]和[7]，得到了力和質(zhì)量敏感性分析的基礎(chǔ)，并將此關(guān)系定義如下：

〈δff〉～12Q1SNR=12Q10-DR/20（1）

其中，SNR是諧振時驅(qū)動的運動幅度與等效噪聲幅度之比，動態(tài)范圍DR是與此SNR相關(guān)的功率電平。

SNR=adrivenanoise（2）

SNR增強的策略很少，幾乎沒有考慮Q和SNR之間的關(guān)系。有一個隱含的假設(shè)，即提高Q也將有益于信號保真度。對于較低的Q，還假定驅(qū)動功率不變，從而導(dǎo)致幅度損失和DR減小。

當(dāng)儀器噪聲可以忽略不計時，較低的Q共振會顯示出本質(zhì)上較低的固有噪聲底峰（例如熱機械噪聲）。動態(tài)范圍的固有上限與線性響應(yīng)的結(jié)束相關(guān)。較低Q的諧振的較寬線寬可承載更多的非線性，并將此線性范圍擴展到更大的幅度。結(jié)合起來，這兩種效應(yīng)得出了10-DR/20∝Q。

這種結(jié)果表明，在熱機械噪聲得到很好的解決并且振幅可以被驅(qū)動為非線性的情況下，頻率波動噪聲不應(yīng)取決于Q。如果為真，該模型將提供一條途徑來完全緩解由于較低Q值引起的靈敏度損失。對NEMS[4，5]中使用的相位噪聲模型的詳細檢查顯示，式（1）中是高Q近似值。明顯地消除該近似值，意味著在低帶寬下與Q成正比的頻率波動噪聲：具有全動態(tài)范圍的高阻尼系統(tǒng)應(yīng)比等效的低阻尼系統(tǒng)具有更好地頻率穩(wěn)定性（和靈敏度）。可以對慣性和定時微機電系統(tǒng)（陀螺儀，加速度計和晶體振蕩器）產(chǎn)生廣泛的影響。

使用微型機電系統(tǒng)，我們能夠得出頻率穩(wěn)定性隨著阻尼的增加而提高。通過將壓力從真空改為大氣壓，以改變單個機械裝置中的外部Q。可以觀察到，在保持整個動態(tài)范圍的同時，SNR與Q成反比。相應(yīng)的頻率穩(wěn)定性（Allan偏差[8]）隨著阻尼的增加而下降，并接近理論極限值，并且在大氣中要好于真空。需要注意的是，過量的固有頻率波動噪聲[4-6]隨著Q的下降而收縮，并且沒有限制大氣壓下的穩(wěn)定性。通過溫度測量測試了隱含的靈敏度提高，并在300Hz帶寬下顯示了較高的靈敏度。

3?最大化動態(tài)范圍和最小頻率波動

特別是使用NOMS[7-9]，可以將熱機械噪聲的分辨率提高到儀器噪聲背景以上的數(shù)量級。按照慣例，通過假設(shè)峰值噪聲關(guān)系（由等分定理得出），從電壓信號（SV）校準Sx的值：

Sthx（Ω0）=4kBTMΩ2Γ（3）

其中角頻率Ω=Ω0=2πf，f為諧振頻率，M為諧振器有效質(zhì)量，Γ=Ω/Q為阻尼。我們將共振點上的熱機械（th）噪聲幅度定義為：

ath=Sthx（Ω0）Δf=4kBTMΩ2ΓΔf（4）

Δf是測量帶寬。注意ath與Q1/2成正比。在這種情況下，噪聲是由共振附近的熱機械主導(dǎo)的。這樣，我們可以得到固有DR的最低端，達到30kHz的測量帶寬。

設(shè)備由剪切壓電機械驅(qū)動，并且由于大的驅(qū)動功率而產(chǎn)生了非線性響應(yīng)。隨著雙鉗位梁被驅(qū)動到更大的振幅，剛度變得依賴于振幅，從而導(dǎo)致幾何非線性[8，9]。這種非線性產(chǎn)生了魚鰭形的共振跡線和振幅相關(guān)的共振頻率。為了避免將振幅噪聲注入相位噪聲，因為這會降低穩(wěn)定性，驅(qū)動振幅必須保持在臨界值或以下，該臨界值定義如下：

acrit=1.49πf0L21.732ρQE（5）

其中L是光束長度，E是楊氏模量，ρ是密度。眾所周知，銳利度與Q的平方根成反比，并適用于所有非線性諧振器[7，10]。直觀地講，在給定的振幅下，固有的非線性會導(dǎo)致所定義的頻率偏移足夠大，從而使諧振形狀傾斜為較窄的帶寬，同時仍被較寬的線寬所掩蓋。當(dāng)訪問整個動態(tài)范圍時，我們可以將anoise等同于ath并將a驅(qū)動等同于acrit，與式（2）、（4）和（5）聯(lián)立以產(chǎn)生與1/Q成比例的SNR。

在Duffing限制方案中，Q×SNR的乘積是恒定的。峰值頻率曲線幅度響應(yīng)與壓力的關(guān)系如圖2所示：

其中，Acrit-D是由等式5定義的理論Duffing振幅。amax是測得的波峰幅度，而ath是熱機械峰幅度。DR隨著壓力的增長而增長。

4?頻率波動測量（Allan偏差）

在保持Q×SNR的情況下，仍然可以檢查設(shè)備中的分數(shù)頻率穩(wěn)定性δf/f。通過使用兩樣本的方差來完成此操作，這是一種表征頻率穩(wěn)定性的標準方法。作為Allan方差平方根的偏差，它是頻率讀數(shù)之間給定時間t的分數(shù)頻率穩(wěn)定性的估計值[8，10]。其函數(shù)表達形式為：

σR（τ）=14Q1SNR1Δf1τ（6）

然后，頻率穩(wěn)定性會簡化為SΦ的行為特性。位移產(chǎn)生的相位噪聲如下：

SxΦ=0.5Sxa2driven（7）

從本質(zhì)上講，位移波動通過噪聲振幅與驅(qū)動振幅之比來表示振蕩周期內(nèi)的過零點（相位）。位移噪聲幅度Sx在放大到諧振頻率附近時變?yōu)橐?/f2大小衰減的低通濾波器：

Sx（ω）=Sx（0）（Γ/2）2ω2+（Γ/2）2（8）

結(jié)合式（2）、（4）、（7）和（8）：

SxΦ=1SNR212Δf（Γ/2）2ω2+（Γ/2）2（9）

σ的完全定義形式，一般稱為平帶（fb）機制：

σfbτ=1.5SNR1Ωτ（10）

通常不考慮這種機制，因為它通常會導(dǎo)致帶寬過低。但是，當(dāng)設(shè)備達到更高的頻率并且有目的地將Q向下減小時，（Γ/2）/（2π）的轉(zhuǎn)折頻率可能會變得非常大。在當(dāng)前標準大氣壓情況下，其為200kHz。

如圖3，圖中不同壓力的頻率（溫度）波動的放大圖顯示了60托（Torr）時的靈敏度最佳點，其中DR最大。從真空到60托，峰峰值波動提高了一個數(shù)量級。隨著Q下降到60托最佳點，達到60μK，溫度分辨率得到改善。

圖3?不同壓力下系統(tǒng)的頻率（溫度）波動放大圖

5?結(jié)論

通過開環(huán)頻率跟蹤，Allan偏差測量和平方分析來尋找不同壓力下數(shù)據(jù)中的頻率波動噪聲（與白噪聲不同）的跡象。在真空中的高Q值處可以看到清晰的頻率波動噪聲特征，而在大氣壓下的低Q處則沒有這種噪聲特征。最后，在開環(huán)下直接在不同壓力下測量相位噪聲，發(fā)現(xiàn)其與DR相關(guān)，與預(yù)期的結(jié)果一致。結(jié)果證實，對于本質(zhì)上受限的諧振器，Q和SNR表現(xiàn)出相反的特性。更值得注意的是，我們發(fā)現(xiàn)阻尼提高了穩(wěn)定性。進一步證明了低Q方法可以很好地解決由于移相而引起的穩(wěn)定性限制。通過重新建模以找到新的平坦頻帶制度，其穩(wěn)定性僅與SNR有關(guān)。結(jié)果為研究機械諧振器的穩(wěn)定性提供了新的范例，并提出了改善諧振傳感器和晶體時鐘振蕩器穩(wěn)定性的新途徑。

綜上所述，降低品質(zhì)因數(shù)能夠提高機械共振傳感器的頻率穩(wěn)定性。通過在一定的帶寬下觀察傳感器的溫度分辨率發(fā)現(xiàn)，在低帶寬中增加系統(tǒng)阻尼可帶來更高的穩(wěn)定性和傳感器分辨率。

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