轉化思想在三角函數中的奇妙應用

周艷群

【摘要】三角函數是基本初等函數的一種，這部分內容在高考當中的出題量很大，占的分值很多，并且這些題難度較低，分數比較好拿，所以這部分分數是我們的學生必須要拿到的。因而，三角函數在高考中的地位非常重要。如果轉化思想運用得好，那么就能非常靈活地、奇妙地解決這部分內容的題目，為高考數學爭分。

【關鍵詞】轉化思想;角度的轉化;名稱的轉化;次數的轉化

三角函數是高中數學必修4第一章和第三章的內容，在每年的高考中屬于必考內容，并且屬于容易題。所以三角函數是每一位高中生在數學領域里必須掌握好的章節。基于三角函數如此重要的地位，我們教師必須以一種行之有效的教學方法傳授給學生，讓他們能夠理解并運用。轉化思想方法就是解決這部分題目的一種行之有效的方法之一。什么是轉化思想呢？轉化也稱化歸，是數學中最常用的思想，應用最廣泛的思想。轉化與化歸是指在解決問題時，采用某種手段將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題，將陌生問題轉化為熟悉問題，將未知化為已知，將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決，等等。三角函數這一章在解題的時候，基本上第一步就是進行三角恒等變換，比如，要求三角函數的值域，就得把函數化簡到只有一個函數名稱，一個角度的形式。再如要求三角函數的周期，就得把函數化簡到只有一個函數名稱，一個角度，次數為1次的形式。諸如這些變形就得應用到轉化和化歸思想。下面筆者以教材中的題目和高考題來看看轉化思想在三角函數中的應用。

一、角度的轉化

三角函數的求值，化簡和證明題中常常會遇到一個式子里面有幾個角度，或者已知條件里面的角度和要求的三角函數值的角度不同的問題。面對這個問題，怎么解決呢？首先觀察各角之間的和、差、倍、半關系、減少角的個數、化異角為同角。接下來經常會有兩種方法，一是利用方程組進行求解，二是將角度進行轉化，用兩角和差公式或二倍角公式進行求解。下面我們就以兩個題為例，看看角度轉化在解題中的應用。

此題涉及到的知識點是三角函數的圖象變換，這類問題一般先將兩個不同名稱的三角函數化為同名的三角函數，再根據三角函數的圖像的平移，伸縮變換進行求解。

三、次數的轉化

次數的變化的題目最常見于三角函數圖像與性質的題目。尤其是要求函數的最小正周期，大多數情況下都要把函數的次數化簡到一次的。常用方式是升次和將次，主要公式為二倍角的余弦公式以及其逆用。如，從左邊到右邊是升次。再變形為，這樣一來從左邊變到右邊就是將次。

前面我們從三種題型中闡述了轉化思想的是如何應用的，以及轉化思想的奇妙之處，所以轉化思想在三角函數這一章當中應用的作用非常強大。所以三角函數這一個知識點如果能把轉化思想進行靈活運用，那么高考當中這部分的題目就迎刃而解了。