一般線性空間中近似Benson真有效解的若干刻畫

陳 楠，黃 斌，徐義紅

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系，江西 南昌 330031)

在局部凸空間中關(guān)于向量優(yōu)化問題的研究已取得豐碩的成果。李仲飛[1]研究了拓?fù)渚€性空間中帶集值映射的向量優(yōu)化問題的Benson真有效性，獲得兩個(gè)標(biāo)量化結(jié)果和兩個(gè)Lagrange乘子定理。Borwein等[2]在賦范線性空間研究了集值優(yōu)化問題的超有效性。徐義紅等[3]在Hausdorff局部凸空間中，在近似錐-次類凸假設(shè)下，利用凸集分離定理，分別得到了Kuhn-Tucker型和Lagrange型最優(yōu)性條件。近年來，在沒有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的線性空間中研究集值優(yōu)化問題吸引了學(xué)者們的關(guān)注。Zhou等[4-6]在實(shí)線性空間中討論了集值優(yōu)化弱有效解、近似Benson真有效解和近似Henig有效解的最優(yōu)性條件。Adan等[7]得到了集值優(yōu)化問題Benson真有效解的Kuhn-Tucker條件、標(biāo)量定理。Gutierrez等[8]在沒有任何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)情況下，借助改進(jìn)集的序，研究了實(shí)線性空間帶約束的向量優(yōu)化問題的Benson真有效解和Henig有效解。

近似解在向量優(yōu)化問題中扮演重要的角色，在非緊情形下向量均衡問題的(弱)有效解可能是空的，而近似解在非常弱的假設(shè)下也可能存在。因此對近似解進(jìn)行理論分析是很有意義的。Qiu等[9-10]在Hausdorff局部凸空間中討論了向量均衡問題的εe-弱有效解、εk-Henig有效解和超有效解與ε-最優(yōu)解的關(guān)系。孟旭東等[11]給出了向量均衡問題的近似解的最優(yōu)性條件。Qiu等[12]通過標(biāo)量化的方法，討論向量優(yōu)化問題近似解和弱有效解之間的關(guān)系。Chen等[13]討論了集值向量均衡問題的弱有效解和近似有效解之間的關(guān)系。

向量均衡問題是向量優(yōu)化問題的推廣，本文擬在一般線性空間中引進(jìn)集值均衡問題的近似Benson真有效解，并建立近似Benson真有效解的最優(yōu)性條件。

1 預(yù)備知識

假設(shè)X，Y，Z為一般線性空間，集合A為Y中非空子集。若A≠Y，則稱A是非平凡的。若a∈A，λ≥0有λa∈A，則稱A為錐。若錐A滿足A∩(-A)={0}，則稱A是點(diǎn)錐。集合A的生成錐定義為cone(A)={λa|λ≥0，a∈A}。

定義1.1[5]設(shè)A是Y中的一個(gè)非空子集。稱A是均衡的，如果?a∈A，?λ∈[-1，1]，λa∈A。稱A是吸收的，如果?y∈Y，?λ′>0，?λ∈[0，λ′]，λy∈A。

定義1.2[5]設(shè)S?Y，S是錐。若B是凸集，S=cone(B)且存在均衡的，吸收的凸集V使得0?B+V，則稱B是S的基。

設(shè)B是S的基，記N(0)={V?Y:V是均衡的、吸收的凸集且0?B+V}。

A的代數(shù)內(nèi)部定義為

cor(A):={a∈A|?y∈Y，?λ′>0，?λ∈[0，λ′]，a+λy∈A}

A的向量閉定義為

vcl(A):={k∈Y|?y∈Y，?λ′>0，?λ∈[0，λ′]，k+λy∈A}

若A=vcl(A)，則稱A是向量閉的。

注1.1若A是非平凡錐，則0?cor(A)。

記Y*和Z*分別為Y和Z的代數(shù)對偶，設(shè)S，K分別為Y，Z中的點(diǎn)凸錐，S的代數(shù)對偶錐S+定義為

S+={y*∈Y*|〈y*，y〉≥0，?y∈S}

S的嚴(yán)格正對偶S+i定義為

S+i={y*∈Y*|〈y*，y〉>0，?y∈S{0}}

定義1.3[14]集值映射F:X→2Y稱為在X上是廣義S-次類凸的，如果cone(F(X))+cor(S)是凸的。

設(shè)G:X→2Z,φ:X×X→2Y為集值映射，記可行集Ω={x∈X:G(x)∩(-K)≠?}。

其中P∪{0}是Y中的凸錐。

(Φ-SEPC)的向量Benson真有效解的全體記為XvBen(Φ，Ω)

下面引進(jìn)關(guān)于均衡問題的近似向量Benson真有效解的概念。

命題1.1對任意ε∈S，有XvBen(Φ，Ω)?ε-XvBen(Φ，Ω)。

(1.1)

因?yàn)棣拧蔛且S是一個(gè)凸錐，所以ε+S?S+S?S。于是

因此

由(1.1)得

部分班組長擅自將其他驗(yàn)收合格腳手架牌子拆卸，掛于未經(jīng)驗(yàn)收合格的腳手架，企圖蒙混過關(guān)。項(xiàng)目部制定制度，對于該行為予以嚴(yán)格處罰，同時(shí)，安排腳手架主管對所有腳手架掛牌情況建立臺賬，只有腳手架主管及腳手架檢查工程師擁有掛牌和移牌權(quán)利，掛牌不能使用鐵絲，必須使用腳手架主管的專用工具。最終徹底杜絕了該行為發(fā)生，避免企業(yè)形象受損。

注1.2由命題1.1得

命題1.2對任意ε1，ε2∈S，若ε2-ε1∈S，則

ε1-XvBen(Φ，Ω)?ε2-XvBen(Φ，Ω)

證明類似命題1.1的證明。

定義1.6[11]設(shè)B?Y，0?B，B是凸集，若對任意Q∈ζ(B)，存在V∈N(0)使得

Q∩(B+V)=?

其中ζ(B)={Q?Y:Q是凸集，cor(Q)≠?，Q=vcl(Q)，Q∩cone(B)={0}}。則稱B是向量緊的。

命題1.3設(shè)Y是有限維局部凸拓?fù)渚€性空間，若B是緊集，則B是向量緊的。

證明設(shè)Q∈ζ(B)，由于Y是有限維空間，cor(Q)≠?，因此int(Q)=cor(Q)[15]。由于Q是凸集且int(Q)≠?，由[16]得vcl(Q)=cl(Q)，由Q=vcl(Q)得Q=cl(Q)。因此Q是閉集。

?n∈+設(shè)則存在bn∈B，vn∈V0使由B是緊集得存在nk∈+使得nk→+時(shí)，bnk→b0。由得ynk→b0∈B。又由于ynk∈Q且Q是閉集，因此b0∈Q，于是b0∈B∩Q?Q∩cone(B)。由0?B得b0≠0，因此Q∩cone(B)≠{0}，矛盾。

引理1.1[4]設(shè)F:X→2Y是集值映射。cor(S)≠?，則下列陳述等價(jià):

(ⅰ)F在X上是廣義S-次類凸的;

(ⅱ) vcl(cone(F(X)+S))是凸集。

引理1.2[6]假設(shè)cor(S)≠?，則下列陳述等價(jià):

(ⅰ) cone(F(X)+cor(S))是凸的；

(ⅱ) ?u∈cor(S)使得?x1，x2∈X，?λ∈(0，1)，?ε>0

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?cone(F(X))+S

引理1.3[16]設(shè)A是Y中的非空子集，C是Y中的的非平凡的凸錐。如果cor(C)≠?，則

(ⅰ)A+cor(C)=cor(vcl(A+C));

(ⅱ) vcl(cone(A)+C)=vcl(cone(A+C));

(ⅲ) vcl(A+C)=vcl(A+cor(C))。

引理1.4[17]設(shè)A是Y中的非空子集，則A+=(vcl(A))+。

引理1.5[17]設(shè)C?Y是非平凡點(diǎn)凸錐，A是Y中非空子集。如果vcl(cone(A)+C)是凸的，則下列陳述只有一個(gè)成立:

(ⅰ)A∩(-cor(C))≠?;

(ⅱ)A+∩C+≠{0}。

引理1.6[18]設(shè)s*∈S*{0}，s∈cor(S)，則s*(s)>0。

命題1.4若F在X上是廣義S-次類凸的，P是點(diǎn)凸錐，S?P，則F在X上是廣義P-次類凸的。

證明由于F在X上是廣義S-次類凸的，因此cone(F(X))+cor(S)是凸的，由引理1.2，?u∈cor(S)使得?x1，x2∈X，?λ∈(0，1)，?ε>0有

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?cone(F(X))+S

由S?P得u∈cor(P)且?x1，x2∈X，?λ∈(0，1)，?ε>0有

εu+λF(x1)+(1-λ)F(x2)?cone(F(X))+P

再由引理1.2可知cone(F(X))+cor(P)是凸集，因而F在X上廣義P-次類凸的。

引理1.7[18]設(shè)S，K分別是Y，Z中的凸錐，則(S×K)+=S+×K+。

引理1.8[18]設(shè)Q1?Y，Q2?Z。若cor(Q1)≠?，cor(Q2)≠?，則

cor(Q1×Q2)=cor(Q1)×cor(Q2)

定理1.1設(shè)S和Q為Y中兩個(gè)錐，S∩Q={0}，B是S的基，?V0∈N(0)使得Q∩(B+V0)=?。則存在點(diǎn)凸錐P使得S{0}?cor(P)且Q∩P={0}。

矛盾。

2 Benson真有效意義下集值均衡問題最優(yōu)性條件

由0?cor(P)得cor(P)?P{0}于是

(2.1)

φ(X)∩-(cor(P)×cor(K))=?

(2.2)

(2.3)

于是

由(2.3)得

由0∈S得

因此

與(2.1)矛盾。

由φ在X上是廣義S×K-次類凸的、S×K?P×K及命題1.4知φ在X上是廣義P×K-次類凸的，所以vcl(cone(φ(X)+P×K))是凸集，由(2.2)、引理1.4及引理1.7知存在(s*，k*)≠(θY*，θZ*)使得

(s*，k*)∈(P×K)+

(2.4)

且

(s*，k*)∈(φ(X))+

(2.5)

由(2.5)得

即

(2.6)

由(2.4)知s*∈P+，k*∈K+。下證s*≠0。

反證法，若s*=0，則k*≠0，代入(2.6)得

k*(G(x))≥0，?x∈X

(2.7)

由假設(shè)得存在z1∈G(x′)使得z1∈-cor(K)。

由k*∈K+{0}得k*(z1)<0。由(2.7)得k*(z1)≥0，矛盾。由S{0}?cor(P)及引理1.6有s*(S{0})>0，因此s*∈S+i。

證明在定理2.1中，令ε=0，則存在s*∈S+i，k*∈K+使得

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

定理2.2假設(shè)

(ⅱ) 存在s*∈S+i，k*∈K+使得

證明由(ⅱ)得

(2.12)

由x∈Ω得存在zx∈G(x)使得zx∈-K，由k*∈K+得k*(zx)≤0，因此k*(G(x))∩(-，0]≠?。由(2.12)得于是

再由s*(S)≥0得

因此

由引理1.3有

由s*∈S+i得s*(-S{0})<0。因此

于是