解(1,1)塊對(duì)稱不定線性系統(tǒng)的廣義修正SSOR迭代法

程 軍，李正彪，鄭彭丹，張莉君

(1.曲靖師范學(xué)院教師教育學(xué)院，云南 曲靖 655011；2.曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 曲靖 655011；3.中南林業(yè)科技大學(xué)涉外學(xué)院信息與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410211；4.曲靖市特殊教育學(xué)校，云南 曲靖 655000)

在許多應(yīng)用中，需要求解一個(gè)具有對(duì)稱塊矩陣的線性方程組

(1)

其中A∈Rn×n對(duì)稱不定矩陣，B∈Rm×n(n≥m)滿秩矩陣，即秩(B)=m，向量x，f∈Rn，y，g∈Rm，該線性系統(tǒng)稱之為鞍點(diǎn)問題。

鞍點(diǎn)問題出現(xiàn)在很多科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域和工程應(yīng)用領(lǐng)域，其中A∈Rn×n在鞍點(diǎn)問題(1)中對(duì)稱正定矩陣，這里有許多不同的迭代方法來(lái)解決這個(gè)問題[1-6]。

其中A∈Rn×n在線性系統(tǒng)問題(1)中是對(duì)稱不定矩陣，關(guān)于這種情形的研究論文文獻(xiàn)還很少。本文提出了一種求解對(duì)于A∈Rn×n是稱不定矩陣線性系統(tǒng)問題的廣義MSSOR(GMSSOR)迭代方法。并分析了相應(yīng)方法的收斂性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，在選取適當(dāng)參數(shù)的條件下，GMSSOR方法比MSSOR方法具有更快的收斂速度。本論文的整體安排如下：在第2節(jié)中，我們提出了新的迭代方法，并在第3節(jié)中討論了保證其收斂性的條件，第4節(jié)給出了數(shù)值算例，證明了該方法的可行性和有效性。

1 廣義MSSOR迭代法

在本節(jié)中，針對(duì)線性系統(tǒng)(1)中A∈Rn×n是對(duì)稱不定矩陣的情況，我們提出一個(gè)矩陣迭代方法，線性系統(tǒng)(1)可以寫成如下形式：

(2)

這里A∈Rn×n是對(duì)稱不定矩陣，可以對(duì)A進(jìn)行強(qiáng)迫正定分解[7]，即

A=LDLT-E

(3)

其中LDLT對(duì)稱不定矩陣，D正定對(duì)稱矩陣，L是單位下三角矩陣，以及E對(duì)角矩陣。

首先，我們使用矩陣分解(3)來(lái)構(gòu)造如下矩陣分解形式:

(4)

其中Q非奇異且對(duì)稱的。

設(shè)

通過(guò)矩陣分解形式(4)，我們提出了解決問題(2)的迭代方法:

(5)

或等價(jià)于

(6)

這種迭代方法可以寫成以下算法。

算法

(1) 利用吉爾-默里強(qiáng)迫正定方法[7]，產(chǎn)生這樣一個(gè)矩陣分解方法A=LDLT-E;

(2) 選擇矩陣M∈Rm×n和Q，構(gòu)造抉擇分解形式(4);

(7)

該迭代方法的迭代矩陣為

(8)

2 迭代方法的收斂性分析

在這一節(jié)中，我們討論了該迭代法的收斂結(jié)果。

讓?duì)?G)表示迭代矩陣G的譜半徑，那么當(dāng)且僅當(dāng)ρ(G)<1時(shí)，這個(gè)方法是收斂的。其中λ是一個(gè)G的一個(gè)特征值，(uT，vT)T是其特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，即

(9)

同時(shí)也等價(jià)于

(10)

也就是

(11)

為了證明該迭代方法的收斂性，我們首先給出一個(gè)引理

引理[1]實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的兩個(gè)根的模均小于1的充分必要條件是|c|<1且|b|<1+c。

證明略，詳見文獻(xiàn)[8]

現(xiàn)在我們給出以下定理。

(12)

證明從(11)的第二個(gè)方程，我們得到

(λ-1)v=Q-1Mu-λQ-1Mu+λQ-1Bu

(13)

(14)

從引理可知，|λ<1|當(dāng)且僅當(dāng)

(15)

證明完成

3 數(shù)值算例

例設(shè)A=(ajj)，B=(bjj)，其中

表1 譜半徑和收斂所需的時(shí)間

4 結(jié)論

在表1中，我們列出了迭代矩陣G的譜半徑ρ(G)，以及在迭代法(7)中對(duì)于不同數(shù)值n迭代收斂所需的時(shí)間，表1表明迭代方法(7)是收斂的，且新方法是有效的。