分?jǐn)?shù)階Rucklidge系統(tǒng)復(fù)雜度分析及有限時(shí)間同步*

那格思，趙海燕

(1.澳洲國立大學(xué)商業(yè)與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，堪培拉 2600；2.上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，上海 201620)

1 引言

金融研究領(lǐng)域廣泛存在著混沌現(xiàn)象，具體指確定系統(tǒng)中的隨機(jī)現(xiàn)象，其廣泛存在于生活中。目前已有許多非線性系統(tǒng)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論已經(jīng)難以解釋復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象，越來越多的學(xué)者追求以數(shù)理方法解決問題。在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)非線性系統(tǒng)都是分?jǐn)?shù)階的，作為傳統(tǒng)微積分的推廣，分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)局限于當(dāng)時(shí)的背景而未得到充分發(fā)展，時(shí)至今日針對分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)已有諸多研究?；煦缋碚摰难芯渴加贚orenz系統(tǒng)[1]，而后更多混沌系統(tǒng)[2 - 6]也被廣泛應(yīng)用在圖像加密、安全通信、無人機(jī)導(dǎo)航等領(lǐng)域。但是，隨著對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)整數(shù)階系統(tǒng)僅為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的一個(gè)特例。分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動力學(xué)特性，也因此衍生出許多新的研究方法，如譜熵、C0復(fù)雜度和0-1測試法等。

分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有更加廣泛的適用范圍，尤其是在保密通信中[7]。因復(fù)雜度較高，故研究其動力學(xué)特性的文獻(xiàn)較少。目前仍需要大量研究不同分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的動力學(xué)特性，掌握分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的客觀規(guī)律。在保密通信領(lǐng)域中，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)也逐漸得到了應(yīng)用。Li等[8]首次實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步，在此基礎(chǔ)上，也提出了許多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[9 - 12]的同步方法，但同步時(shí)間均較長。為了解決這個(gè)問題，趙靈冬等[13]提出了針對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的有限時(shí)間同步理論，結(jié)合仿真結(jié)果驗(yàn)證了該理論的有效性。

本文將Rucklidge系統(tǒng)推廣至分?jǐn)?shù)階形式，利用Adomain分解法編寫算法進(jìn)行仿真，結(jié)合譜熵和C0復(fù)雜度2個(gè)動力學(xué)特性研究工具繪制其復(fù)雜度圖譜。為加快其在保密通信中的應(yīng)用速度，本文基于分?jǐn)?shù)階有限時(shí)間穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)同步控制器，對其進(jìn)行混沌同步控制。

2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)簡介

2.1 分?jǐn)?shù)階微分理論

自從分?jǐn)?shù)階微分方程提出以來，微分方程的導(dǎo)算子就有了很多定義[14]。著名的分?jǐn)?shù)階微分方程導(dǎo)算子定義有Grunwald-Letnikov (G-L)定義、Riemman-Liouville (R-L)定義和Caputo定義等。其中最常用的是G-L定義和R-L定義，而Caputo定義適用于描述微分方程初值問題。本文利用Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的定義來求解Sprott C系統(tǒng)的混沌分析。

Caputo類型導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式如式(1)所示:

(1)

其中，C表示該類型的定義為分?jǐn)?shù)階定義，α的取值為n-1 <α

Caputo微分定義涉及以下性質(zhì):

定理1[16]:

(2)

其中，q是微分算子的階數(shù)。

分?jǐn)?shù)階常微分方程的通式為:

(3)

上述微分方程的通解為:

x(t)=x(0)Eq(Atq)

其中，Eq(·)為Mittag-Leffter函數(shù)，定義如式(4)所示:

(4)

2.2 系統(tǒng)模型

Rucklidge系統(tǒng)是1992年英國學(xué)者Rucklidge在分析溶質(zhì)梯度和磁場的二維對流時(shí)提出的一種新的典型混沌系統(tǒng)[15]。Rucklidge研究了該系統(tǒng)的分岔特性，它由6個(gè)元素組成，是最簡單的非線性系統(tǒng)之一，目前已被廣泛應(yīng)用在混沌保密通信中。原始系統(tǒng)為:

(5)

修正后的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)為:

(6)

3 系統(tǒng)分解與復(fù)雜度分析

3.1 系統(tǒng)分解

基于改進(jìn)的Adomian算法[17]，本文將式(6)的非線性項(xiàng)分解為:

(7)

(8)

令初始變量為：

則有：

將變量變換成對應(yīng)系數(shù)值可得:

(9)

同理可計(jì)算得到后5項(xiàng)系數(shù):

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

非線性系統(tǒng)的方程可以表示為如下形式:

(15)

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果編寫算法對其進(jìn)行仿真，混沌圖像和時(shí)域圖像的仿真有助于分析其動態(tài)特性。為驗(yàn)證算法的正確性，令q=1,起始點(diǎn)為:

[x(0),y(0),z(0)]=[1,1,1]

參數(shù)a=2，b=6.7,步長h=0.01，仿真時(shí)間T=150 s，得到的混沌圖像和時(shí)域圖像如圖1所示。從圖1中可看出，系統(tǒng)是混沌的。

Figure 1 Phase diagram of system (6)圖1 系統(tǒng)(6)的相圖

利用新算法求解出的相圖與相同系數(shù)下整數(shù)階Rucklidge系統(tǒng)一致，驗(yàn)證了算法的正確性。通過多次取值仿真發(fā)現(xiàn)，單靠取值仿真很難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的混沌變化范圍。為解決這一問題，下節(jié)將采用復(fù)雜度研究工具進(jìn)一步研究其動力學(xué)特性。

3.2 復(fù)雜度分析

本節(jié)將分別從譜熵復(fù)雜度和C0復(fù)雜度2個(gè)角度來分析系統(tǒng)(6)的動力學(xué)行為復(fù)雜度。譜熵復(fù)雜度分析的第1步是根據(jù)系統(tǒng)方程從混沌序列中去除直流信息，其運(yùn)算公式如下所示:

(16)

其中，N為序列數(shù)組個(gè)數(shù)。

然后對x序列進(jìn)行傅里葉變換：

(17)

可得相對功率譜Pk為：

(18)

因此，譜熵SE(N)為：

(19)

根據(jù)以上分析流程，取參數(shù)a=2,b=6.7，步長h=0.01，對其譜熵復(fù)雜度和C0復(fù)雜度隨階數(shù)q變化的曲線進(jìn)行數(shù)值模擬，仿真結(jié)果如圖2所示。

Figure 2 Curves of SE complexity and C0 complexity圖2 SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度變化曲線

如圖2所示，隨著階數(shù)q的增加，系統(tǒng)的SE復(fù)雜度和C0復(fù)雜度均有所降低。從變化趨勢來看，階數(shù)越靠近1，其各項(xiàng)復(fù)雜度值越低，尤其是C0復(fù)雜度，下降幅度最大。相對而言，譜熵復(fù)雜度的降幅僅為C0復(fù)雜度的一半，但僅一個(gè)參數(shù)的變化還不能反映系統(tǒng)的總體復(fù)雜度。

圖3和圖4為階數(shù)q和參數(shù)a都變化時(shí)的復(fù)雜度圖譜。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)參數(shù)不變時(shí)，階數(shù)越靠近1，其譜熵復(fù)雜度和C0復(fù)雜度均在降低，反之亦然。對于參數(shù)b，當(dāng)階數(shù)q不變時(shí)，系統(tǒng)的復(fù)雜度在b=3附近出現(xiàn)最低值，隨著參數(shù)b遠(yuǎn)離3，其復(fù)雜度逐漸增大。圖譜中還存在一些白色區(qū)域，通過單一仿真發(fā)現(xiàn)其為無意義且無法計(jì)算的區(qū)域。

Figure 3 SE complexity (when b and q change)圖3 SE復(fù)雜度(b和q變化)

Figure 4 C0 complexity (when b and q change)圖4 C0復(fù)雜度(b和q變化)

Figure 5 SE complexity (when a and q change)圖5 SE復(fù)雜度(a和q變化)

Figure 6 C0 complexity (when a and q change)圖6 C0復(fù)雜度(a和q變化)

類似地，參數(shù)a≈3時(shí)，2個(gè)復(fù)雜度均取最小值，與參數(shù)b具有同樣的漸變規(guī)律，如圖5和圖6所示。不同的是，參數(shù)a在其最小值附近的無意義區(qū)域比參數(shù)b的小很多，但其在q<7,a>4這一片扇形區(qū)域無意義，有個(gè)別有意義的點(diǎn)復(fù)雜度也極高。圖中未繪制出的參數(shù)為無意義的范圍，即q的取值為[0.4,1]，參數(shù)a和b為系統(tǒng)參數(shù)，其取值范圍與整數(shù)階相同。

4 有限時(shí)間同步

4.1 有限時(shí)間同步理論

本節(jié)根據(jù)Zhao等[13]提出的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性理論，對分?jǐn)?shù)階Rucklidge進(jìn)行有限時(shí)間同步控制。其理論敘述如下:

定理2一般的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)滿足下列條件:

(20)

v=x(xq)T

(21)

當(dāng)a>0,b>0,0

(a+b)c≤ac+bc

(22)

令式(6)為驅(qū)動系統(tǒng)，參數(shù)q=0.99，將其自變量進(jìn)行變換可得:

(23)

則其對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為:

(24)

u1,u2,u3是根據(jù)定理設(shè)計(jì)的控制器，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的誤差如下所示:

e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3

(25)

則誤差系統(tǒng)為:

(26)

可得控制器為:

(27)

根據(jù)有限時(shí)間穩(wěn)定理論可知，系統(tǒng)在ts內(nèi)是可達(dá)到同步且穩(wěn)定。

(28)

顯然，同步時(shí)間t是指數(shù)函數(shù)的形式，當(dāng)q<1時(shí)，時(shí)間t隨著底數(shù)的增大而增大，即控制參數(shù)k>0時(shí)k越大，同步時(shí)間越長，反之亦然；而參數(shù)對同步時(shí)間的影響目前無法通過推導(dǎo)得出。

證明根據(jù)誤差系統(tǒng)和控制器，同步誤差為:

(29)

通過推導(dǎo)式(20)可得：

(30)

結(jié)合不等式(a+b)c≤ac+bc可得：

(31)

因此有：

(32)

□

顯然，上式的證明結(jié)果滿足定理2，也即該誤差系統(tǒng)可以在t時(shí)間內(nèi)同步。

4.2 數(shù)值仿真

本節(jié)將利用Matlab模擬同步過程。取步長h=0.001，仿真時(shí)長T=6 s。為了便于觀察同步結(jié)果，初始點(diǎn)設(shè)為:

[x(0),y(0),z(0)]=[5,0.5,2]

[x1(0),y1(0),z1(0)]=[-5,0,-2]

取參數(shù)a=2，b=6.7，控制器的參數(shù)k=1,β=0.8，仿真結(jié)果如圖7和圖8所示。

Figure 7 Synchronization error curve圖7 同步誤差曲線

從圖7可以看出，添加控制器后2 s內(nèi)，同步誤差e1,e2,e3均趨近于零。即使迭代初始誤差相當(dāng)大，也不影響同步效果。從單個(gè)誤差變換情況來說，對于x變量的同步效果是最好的，起始誤差大，同步時(shí)間最短。相反地，y變量的同步效果最差，在起始誤差僅為0.5的情況下仍有較大波動，從圖8中也能觀察到此現(xiàn)象?？傮w來說，達(dá)到同步后，系統(tǒng)十分穩(wěn)定，同步時(shí)間極短。

Figure 8 State variable curve圖8 狀態(tài)變量曲線

從圖8不難看出，變量同步過程非常短，同步后的魯棒性非常好。達(dá)到同步后，穩(wěn)定性也很好。

5 結(jié)束語

對于金融領(lǐng)域的研究，無異于捕捉非線性系統(tǒng)的變化趨勢和對其進(jìn)行有效的控制，利用二維復(fù)雜度變化圖譜可清晰地看出非線性系統(tǒng)隨參數(shù)變化的趨勢。從仿真結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，譜熵和C0圖譜均表明在分?jǐn)?shù)階情況下系統(tǒng)的復(fù)雜度數(shù)量級更高，復(fù)雜度取決于系統(tǒng)階數(shù)和參數(shù)。同時(shí)，本文還基于有限時(shí)間穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)控制器對其進(jìn)行同步控制，證明了該控制器的有效性。仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)能在較短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步。利用該方法，同樣可對任意新出現(xiàn)的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)進(jìn)行同步控制，對于金融非線性系統(tǒng)的研究意義較大。