從齊次核向非齊次核發(fā)展的Hilbert 型積分不等式的研究進展

洪勇

（1.廣東白云學院 數(shù)學教研室， 廣東 廣州510450； 2.廣東財經(jīng)大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院， 廣東 廣州510320）

0 引言

根據(jù)Hilbert 型積分不等式的基本理論，式（1）等價于

文［1］對近百年來，齊次核的Hilbert 型積分不等式的研究進展與現(xiàn)狀進行了詳細論述. 從中可以看到齊次核的Hilbert 型積分不等式研究由淺入深、由具體到抽象的發(fā)展歷程和所取得的豐碩成果. 另一方面，伴隨著齊次核情形的研究，各種非齊次核情形的討論也同時展開，并也取得相應(yīng)的研究成果（見［2－10］）. 本文對從齊次核到非齊次核Hilbert 型積分不等式理論的發(fā)展，論述其研究脈絡(luò).

1 兩種重要的非齊次核

若函數(shù)K（x，y）滿足條件：對t＞0，有K（tx，ty）＝tλK（x，y），則稱是λ階齊次函數(shù).最早的Hilbert 積分不等式［11］

都是齊次核的情形，其中的常數(shù)因子都是最佳的.

齊次核情形的Hilbert 型積分不等式的討論相對容易，非齊次核的情形，其研究難度則要大很多.多年的探討，主要對下面的兩類非齊次核取得較好的成果，形成了完整的理論體系.

一是設(shè)λ1λ2＞0，G（u，v）是λ階齊次函數(shù)，令

一般地K（x，y）不是齊次函數(shù)，只有當λ1＝λ2＝λ0時，K（x，y）是λλ0階齊次函數(shù).我們稱K（x，y）為具有參數(shù)（λ，λ1，λ2）的擬齊次函數(shù).顯然K（x，y）＝G（xλ1／yλ2）是具有參數(shù)（0，λ1，λ2）的擬齊次函數(shù).擬齊次函數(shù)具有如下性質(zhì)：t＞0 時，有

二是設(shè)λ1λ2＞0，若K（x，y）＝G（xλ1yλ2），則K（x，y）一般都是非齊次函數(shù).對此類非齊次函數(shù)，顯然它具有性質(zhì)：t＞0 時，有

2 若干非齊次核情形的Hilbert 型積分不等式

隨著權(quán)函數(shù)方法的創(chuàng)立，在研究齊次核的同時，人們也對一些具體的非齊次核Hilbert 型不等式進行探討，通過選取適當?shù)拇钆鋮?shù)a、b，獲得許多優(yōu)美的具有最佳常數(shù)因子的不等式.

以上這些不等式的常數(shù)因子之所以都是最佳的，其原因在于作者對搭配參數(shù)a、b進行了精心的選取.若隨意選取搭配參數(shù)，則所得常數(shù)因子一般不會是最佳值.

作者根據(jù)自己豐富的經(jīng)驗選取了適當?shù)拇钆鋮?shù)后，還需利用各種實分析技巧對權(quán)函數(shù)進行估算.因此每得到一個這種非齊次核的最佳Hilbert 型積分不等式往往都比較艱難.

3 最佳搭配參數(shù)的充要條件

選擇搭配參數(shù)a、b，根據(jù)H?lder 不等式，利用權(quán)函數(shù)方法，可得

其中：α（a，b）及β（a，b）是與a，b相關(guān)的兩個數(shù)，而

對于某種特征的核，討論其最佳搭配參數(shù)a、b所滿足的條件對于Hilbert 型積分不等式理論顯然具有重要意義.例如當K（x，y）是擬齊次核或K（x，y）＝G（xλ1yλ2）（λ1λ2＞0）的非齊次核時，a和b為最佳搭配參數(shù)的條件是什么呢？ 若能找到其充要條件，就能夠構(gòu)造出無窮無盡的此類核的Hilbert 型不等式，從而對Hilbert型不等式的研究將進入一個新的階段.通過對大量文獻的分析，借鑒齊次核情形的討論方法，我們得到了如下的兩個定理.

那么

那么

其中：W0＝｜λ1｜W2（a，q）＝｜λ2｜W1（b，p）.

注：定理7 和定理8 的證明將在另文中給出，在此不祥述.

若是我們令

則式（5）的常數(shù)因子最佳的充要條件是Δ1＝0； 式（7）的常數(shù)因子最佳的充要條件是Δ2＝0.今后稱Δ1是式（5）中a、b為最佳搭配參數(shù)的判別式； Δ2是式（7）中a、b為最佳搭配參數(shù)的判別式.其中的常數(shù)因子是最佳的.

根據(jù)定理7，式（9）成立，且其常數(shù)因子是最佳的.

其中的常數(shù)因子

是最佳的.

故a、b是最佳搭配參數(shù).又因為

根據(jù)定理8，知式（10）成立，其常數(shù)因子是最佳的.

4 構(gòu)建Hilbert 型積分不等式的參數(shù)條件

前面已經(jīng)解決了選取最佳搭配參數(shù)的問題，將Hilbert 型不等式的研究推向一個新的階段.進一步，我們應(yīng)該考慮的是在什么參數(shù)條件下可以構(gòu)建Hilbert 型不等式？ 例如當K（x，y）是具有參數(shù)（λ，λ1，λ2）的擬齊次核時，參數(shù)λ、λ1、λ2、p、q、α、β在什么情況下存在常數(shù)M＞0 使式（11）成立？

且當式（11）成立時，其最佳常數(shù)因子M0＝infM是什么？ 這樣的問題實際上就是由式（2）定義的算子T何時有界及如何求算子范數(shù)的問題.

目前，這些問題得到較好的解決，詳見定理9 和定理10.

收斂，那么

（ii）當式（12）成立時，其最佳常數(shù)因子為

收斂，那么

（ii）當式（13）成立時，其最佳常數(shù)因子為

其中的常數(shù)因子

是最佳的.

根據(jù)定理10，知本例結(jié)論成立.