分形集上Lipschitz 函數的Hermite?Hadamard?Fejér 型不等式

時統業

（海軍指揮學院， 江蘇 南京211800）

0 引言

對于［a，b］上的凸函數f，成立下面的Hermite?Hadamard 不等式

文［2］對于滿足M－Lipschitz 條件的函數給出由式（1）生成的差值的估計.

定理1［2］設函數f在［a，b］上滿足M－Lipschitz 條件，即存在常數M，使得對于任意x、y∈［a，b］，有｜f（x）－f（y）｜≤M｜x－y｜，g是［a，b］上的正的可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

文［3］對于（m，M）－Lipschitz 函數給出式（2）的推廣.

定理2［3］設f是［a，b］上的（m，M）－Lipschitz 函數，g是［a，b］上的正的可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

楊小軍在文［4］中系統闡述了建立在分形空間上的局部分數階微積分的相關理論.局部分數階導數和局部分數階積分的定義可參見文［4］，這里不再贅述. f∈Cα（I）表示f在區間I?R 上局部分數階連續. f∈Dα（I）表示f在區間I?R 上局部分數階可導. f的局部分數階導數記為表示f在區間［a，b］?R上的α階局部分數階積分.

引理3［5］（局部分數階積分的換元法） 設f（x）在［a，b］上連續，函數x＝g（t）滿足條件：

引理4［6］（局部分數階微分中值定理） 設函數F（x）在［a，b］上連續，在（a，b）上α階局部分數階可微，則對于任意x0、x∈［a，b］，x0＜x，存在ξ∈［x0，x］，使得

引理5［5］（局部分數階定積分上限的函數的導數） 設f∈Cα［a，b］，0＜α≤1，積分上限函數定義為

定義1［7］設區間I?R，函數f：I→Rα，若對任意u、v∈I和任意λ∈［0，1］，有

則稱f是I上的廣義凸函數.

定理3［7］（廣義凸函數的Hermite?Hadamard 型不等式） 設上的廣義凸函數，則有

定理4［8］（廣義凸函數的Hermite?Hadamard?Fejér 型不等式） 設上的廣義凸函數，g：［a，b］→Rα是非負的局部分數階可積函數且關于

本文目的是在（m，M）－Lipschitz 條件下給出由式（6）生成差值的估計.為方便起見，記

1 主要結果

定理5設f∈Cα［a，b］，f是［a，b］上的α階（m，M）－Lipschitz 函數，g：［a，b］→Rα是［a，b］上非負的局部分數階可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

其中利用了下面事實：

利用引理5 得

由已知條件有

綜合式（12）～（14）和式（17），則式（7）右邊兩個不等式得證.當f在［a，b］上滿足α階（m，M）－Lipschitz 條件時，－f在［a，b］上滿足α階（－M，－m）－Lipschitz 條件.對函數－f應用已證結論，則式（7）的左邊兩個不等式得證.

推論1設f在［a，b］上滿足（m，M）－Lipschitz 條件，g是［a，b］上非負的可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

證明在定理5 中取α＝1 即可得證.

推論2設f∈Cα［a，b］，f在［a，b］上滿足α階（m，M）－Lipschitz 條件，g：［a，b］→Rα是［a，b］上非負的局部分數階可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

注1式（19）是式（4）在分形集的推廣.

推論3設f∈Cα［a，b］，f在［a，b］上滿足α階（m，M）－Lipschitz 條件，則有

證明在定理5 中取g（x）≡1，并利用引理2，則推論3 得證.

推論4設f∈Cα［a，b］，f在［a，b］上滿足α階（m，M）－Lipschitz 條件，則有

定理6設f∈Cα［a，b］，f是［a，b］上的α階（m，M）－Lipschitz 函數，g：［a，b］→Rα是［a，b］上非負的局部分數階可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

因為f是［a，b］上的α階（m，M）－Lipschitz 函數，所以有

綜合式（22）～（23）得Δ2≤φ2（ε）.其中：

于是有

綜合式（24）～（27）得

綜合式（28）～（29），則式（21）成立.

注2式（21）給出式（5）在分形集中的推廣.

推論5設f在［a，b］上的（m，M）－Lipschitz 函數，g是［a，b］上非負的可積函數且關于（a＋b）／2 對稱，則有

證明在定理6 中取α＝1 即可得證.

推論6設f∈Cα［a，b］，f是［a，b］上的α階（m，M）－Lipschitz 函數，則有

證明在定理6 中取g（x）≡1，并利用引理2，則推論得證.