從高考卷里看立體幾何能力的培養方向

鄭擁軍

摘 要：每年高考很平常的一份高考數學卷子里，涵蓋了大量的、多方面的信息，在這里只談高考數學卷子里透露出來的立體幾何能力方面的培養方向，其主要有：空間想象力的構建能力的培養、空間幾何邏輯推理論證能力的培養和運算能力的培養。

關鍵詞： 能力;培養方向;幾何直觀能力;空間想象力

邏輯推理能力? 運算能力? 動手操作? ?轉化? 知識鏈

如果你是一名高中數學的一線教師，你也會關注每年高考的數學考卷，看看里邊考查了哪些內容和知識點，再從考查的內容和知識點里了解考察了哪些數學思想、方法和能力等方面的東西，以便在日后的常規課堂教學中，重點滲透這些數學思想、方法和能力等方面的培養。在這里，筆者專門抽出“立體幾何”這部分內容來看看，就高考卷子里透露出了哪些數學能力方面的培養方向，談談自己的一些看法。

一、高考數學卷中，從選擇、填空題中透露出來的立體幾何能力的培養方向—空間想象力的構建能力。

首先，在常規的高考卷子里，“立體幾何”這一內容的考點，基本上是以“一小一大”（一道選擇題或填空題和一道大題）的面孔出現。小題是放在選擇或填空題中，主要以判斷點、線、面的位置關系（含三視圖位置關系）的題型呈現，考查的是空間想象力，也就是說，在高考的數學卷子里首先透露了立體幾何的“空間想象力的構建能力”作為一個首要的培養方向。因此，需要我們在日常的課堂教學中把“空間想象力的構建能力”不間斷地滲透到課堂教學之中去就顯得尤為重要，同時，這也是避免學生在剛開始系統學習立體幾何時，學習中出現用類比初中學習平面幾何的方法照搬到高中學習立體幾何當中來，從而導致出現在空間中“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的類似錯誤。因此，在學生剛開始系統學習立體幾何時，需要通過動手操作結合實物模型來培養幾何直觀能力，在此基礎上再利用圖片和幾何畫板等動態畫來初步鍛煉空間想象力，最后逐步學會利用較為抽象的直觀圖進行空間想象，這是個循序漸進的過程。故此，在學生剛開始學習立體幾何時，每次遇到判斷空間點、線、面位置關系的時候，我都是讓他們利用好身邊的文具或物件，把筆或者是直尺之類的物件想象成直線，把課本或者是桌子之類的物件想象成平面，讓他們自己或者和同桌合作，然后按照題目所給的條件和要求擺出各種實物體在空間位置和形狀，在運動變化的過程中觀察展示出來的各種位置的微妙變化和不同的位置關系，以實現從具體到抽象的過渡中逐步形成空間想象力的構建。這樣的擺一擺，看一看，想一想的實驗方法親歷體會次數多了，各種空間的位置關系都慢慢地在他們的腦海中形成了動態的、變化的象電影般的影像，空間想象力也在他們的腦海當中一步一步地建立起來了。這是一種簡單容易而又是一種非常行之有效的空間想象力的構建方法。為了推廣這種空間想象力的構建方法，我還和本校數學科組的另一個課題組聯合，借班找了高一的一個班上了一節《立體幾何序言實驗課》，這一節課，共提出立體幾何初步的七個問題，完成六個實驗，效果良好，學生也在親自動手的實驗中，親身體驗到了這種獲得知識樂趣的過程，有頗高成就感。而且，高中課程標準對“立體幾何”初步的定位就是培養學生的空間想象能力和幾何直觀能力，這點從序言課開始就應該是立體幾何教學的努力方向和目標。作為序言課，激發學生的學習興趣是至關重要的，因為興趣是學習的最好的老師。

二、高考數學卷中，從解答題里品出來的立體幾何能力的培養方向—嚴謹的邏輯推理論證能力。

其次，在常規的高考數學卷子里，“一大”是以解答題的面孔出現，以證明及計算面積、體積、角與距離的方式考查。證明是考查學生的邏輯推理、論證的能力;面積、體積、角與距離大小的計算是考查學生的運算能力。因此，在高考的數學卷子里其實還透露了立體幾何這種在空間里面的邏輯推理論證能力和運算能力的這些的培養方向，也是一個重要的可持續發展的培養方向。對于證明，最基本條件是要有比較好的空間想象能力，以已理解掌握的定理、公理、性質，推論、概念等作為大前提，再結合題目給的條件作為小前提的基礎上，用三段論完成演繹推理的推理論證過程。所以說，讓學生掌握扎實的基礎知識和培養學生的審題能力也很重要。因此，要幫助學生夯實基礎，就要讓學生在課堂上對定理、公理、性質，推論、概念等這些基礎的知識在理解的基礎上牢固記憶，再由淺入深的運用、總結，就很快達到熟能生巧的高度。也就是說，先從“看見證明想判定，看見條件想性質”去審題，達到溝通未知與已知，通過轉化思想，把未知問題轉化到已知問題去解決，再用三段論去完成演繹推理論證的過程，即大前提加小前提再通過正確的推理論證過程得到結論。通過這樣的高效訓練，學生的邏輯推理論證能力也就很快得到提高，從而達到從量變到質變的目標，也是我們的培養方向。為此，我選了《線面垂直的性質》這個內容，上了一節校級公開課，其里面充分既體現了“線線垂直、線面垂直、面面垂直” 知識間的相互轉化過程，也體現了“線面垂直、線線平行” 知識間的相互轉化過程，這是邏輯推理論證能力的培養，也是一種解題能力培養的點滴，也是一種邏輯推理論證能力培養的提升過程。這節課，也受到學校聽課師生的一致好評。

三、高考數學卷中，從解答題里悟出來的立體幾何能力的培養方向—空間幾何的計算能力。

高考的數學卷子里對立體幾何透露出來的運算能力的培養方向其實是一個綜合的考量。既源于對空間圖形的空間想象力的構建，又與對定理、公理、性質，推論、概念的正確理解有關，再加上適當的邏輯推理論證和準確清晰的公式記憶、運用整合在一起，只有具備這樣的完整的知識鏈才能夠有效提高立體幾何的計算能力。因此，我們只有具備了良好的空間想象能力、嚴謹的邏輯推理能力、正確的相關概念理解和準確的公式記憶，并恰到好處做好“（圖形）缺什么，找什么;（公式）要什么，求什么”，也就是說，我們會“作”、會“證”、才能更好地“求”，也只有具備了會“作”、會“證”的能力，我們立體幾何“求”的計算能力才能得到很好的提升。

總的說來，在看起來很普普通通的一份高考卷子里透露出來的立體幾何能力的培養方向主要有：空間想象力的構建能力、嚴謹的空間幾何的邏輯推理論證能力和運算能力。表面看來，這些能力好像是相互獨立的，不過，仔細品味琢磨考量，你會驚奇的發現這些能力其實它們既是一脈相承的、環環相扣的，又相輔相承的，互助互長的;這高考卷子里面其實包含了很多高深的學問和哲理，也有很多東西值得我們去研究學習的。

參考文獻：

[1] 網絡下載.? 立體幾何序言（實驗課）的教學設計與說明

[2] 文衛星. 立體幾何引言課教學設計[J]. 數學通報，2005（5）：21-24

綱要

一、高考數學卷中，從選擇、填空題中透露出來的立體幾何能力的培養方向—空間想象力的構建能力。

二、高考數學卷中，從解答題里品出來的立體幾何能力的培養方向—嚴謹的邏輯推理論證能力。

三、高考數學卷中，從解答題里悟出來的立體幾何能力的培養方向—空間幾何的計算能力。