信道估計誤差有界時速率損失上界統計特性

徐 娟，姚如貴，高 巖，朱禮亞

1.長安大學 電控學院，西安 710064

2.西北工業大學 電子信息學院，西安 710072

1 引言

隨著無線通信業務的飛速發展與多媒體應用的急劇增加，所需的無線頻譜資源越來越多，而頻譜資源已變得越來越匱乏，因此，需要研究具有高頻譜效率的傳輸新技術。在已有的傳輸技術中，基于認知無線電網絡[1]或異構網絡[2]等技術的多層網絡頻譜共享技術[3]，均是可行且有前景的傳輸技術。

范德蒙子空間頻分復用（Vandermonde-subspace Frequency Division Multiplexing，VFDM）技術是一種新提出的提高二層網絡頻譜效率的頻譜共享技術[4-5]，宏小區（Macro Cell，MC）利用塊傳輸系統（例如正交頻分復用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）系統）中循環前綴（Cyclic Prefix，CP）對應的頻域冗余為小小區（Small Cell，SC）提供傳輸機會，并且保證SC的傳輸不會干擾自身的正常通信。采用VFDM 后，SC發射機發出的信號通過層間預編碼（Cross-Tier Precoder，CTP）被約束到SC 到MC 干擾信道的零空間里，因此VFDM 也可以被看作一種干擾對齊算法。現有干擾對齊方法是基于空間自由度，而VFDM是基于頻域自由度。

文獻[5]研究了MC 僅有一條通信鏈路時的VFDM系統，提出基于范德蒙德矩陣構建CTP的方法。當MC存在多條通信鏈路時，文獻[6]提出了一種基于子空間的CTP 設計方案。當存在多用戶時，CTP 設計可以在SC中的每個發射端上獨立進行。上述關于CTP的研究進一步擴展到非協作的多天線系統中[7-8]。文獻[9]研究了協作CTP的設計，可以顯著增加傳輸維度；同時，為了有效利用協作帶來的傳輸維度提升，研究了更有效的層內編碼設計（Intra-Tier Precoder，ITP）方案，提高整個網絡的和速率。文獻[10]進一步擴展到多小區應用場景，并借鑒干擾對齊技術設計預編碼矩陣。

然而，以上所有的研究均是基于已知理想信道狀態信息（Channel State Information，CSI）。在實際應用中，CSI 只能通過信道估計的方法獲得，然而由于信道估計誤差、量化誤差、反饋時延等因素的影響，不能獲得精確的 CSI[11]。在非理想 CSI 的情況下，SC 到 MC 的干擾不能完全消除，剩余的干擾泄漏會給MC帶來速率損失。文獻[3]提出了一種信道估計（Channel Estimation，CE）過程，并將估計的信道矩陣作為評估影響VFDM系統性能的依據。在文獻[9]中，采用與文獻[3]中相同的方法，評估了非理想CSI 條件下的協作二層網絡總速率。文獻[3]和[9]中的非理想CSI 條件下的性能評估是通過仿真完成的。考慮CE誤差服從高斯分布，文獻[12]研究了在信道估計誤差服從高斯分布時干擾泄漏上界的統計特性，建立了MC速率損失與干擾泄漏之間的關系。基于文獻[9]的研究方法，文獻[13]研究了干擾對齊系統的基于改進最小均方誤差的穩健層內預編碼設計。

實際應用中，信道估計誤差往往也是有界的。因此，本文從另外一個角度，理論研究了信道估計誤差有界情況下干擾泄漏對MC 的速率影響。首先推導出了干擾泄漏的上界，然后通過干擾泄漏與MC系統速率之間的關系，得到MC 系統速率的上界，評估出在估計誤差有界時對MC 系統速率的影響。最后給出了仿真結果驗證了本文的分析。

2 系統模型

為了集中精力評估估計誤差有界時的系統損失，考慮一個簡單的、但是通用的基于VFDM技術的二層頻譜共享網絡，如圖1 所示。第一層網絡的MC 由一個宏小區基站（MC Base Station，MBS）和一個宏小區用戶（MC User，MU）組成，采用K個子載波、循環前綴長度為L的OFDM 傳輸體制。而第二層網絡SC 由一個小小區基站（SC Base Station，SBS）和一個小小區用戶（SC User，SU）組成。MC 和 SC 共享頻譜，并且MC 對所占頻譜具有優先使用權。為了避免SC對MC產生有害干擾，SC利用CP對應的頻域冗余采用VFDM傳輸技術。為了簡化分析，假設第一層網絡MC 中MBS 和所有MU、第二層網絡SC中SBS配置單天線，且MC和SC均假設為理想符號級同步。

圖1 基于VFDM的二層網絡模型

在 MC 和 SC 接收機處接收到的信號y1∈ CK×1 和y2∈ CK×1 可以表示為[3]：

其中，x1∈ CK×1 和x2∈ C(K+L)×1為 MBS 和 SBS 發射的信號向量；為MU 和SU 接收到的加性高斯白噪聲。分別表示 MBS 到MU、SBS 到 MU、SBS 到SU 和 MBS 到 SU 的信道矩陣，gi表示第i個等效信道的增益，i=0,1,…,K-1；F∈CK×K是離散傅里葉變換矩陣，其中是循環前綴插入矩陣；T(hsr)∈CK×(K+L)是由信道沖激響應構成的 Toeplitz 矩陣 (s,r=1,2) ，其形式如下：

為了抑制SC 到MC 的干擾，需要引入CTPC∈C(K+L)×L，因此，SC的發射向量可寫為：

其中，s2∈C(K+L)×L是 SC 發送的經過 ITP 編碼的，且。

將式（4）代入式（1）中，則可以得到：

其中，第二項為SC 對MU 的干擾。為了消除SC 對MC的干擾，設計的CTP需要滿足下式：

由式（6）可知，預編碼器矩陣C必須在H21的零空間內，其具體設計方法在第3章進行介紹。

以上的分析是基于理想CSI條件的。然而，在實際的應用中，由于估計誤差、量化誤差或反饋時延，SBS可能無法獲得準確的CSI，獲得的H21是有誤差的，存有誤差的信道矩陣H21可建模為：

由式（5）、式（7）和式（8）可知，在MU 處接收的信號為：

其中第二項ΔH21Cs2為由于信道估計誤差引起的干擾泄漏，干擾泄漏直接影響了MC的系統速率。后續將會分析信道估計誤差有界條件下的干擾泄漏和系統速率損失的上界。

3 層間預編碼的設計

為了保證SC 的傳輸不會干擾MU 的接收，考慮非理想CSI，必須設計滿足式（8）所示的約束關系的CTP矩陣[3，6-8]。基于奇異值分解（Single Value Decomposition，SVD），H21可以寫為：

其中，U∈ CK×K和V21∈ C(K+L)×(K+L)為酉矩陣，Λ∈CK×(K+L)為對角陣，對角線元素λi，i=1,2,…,K是H?21的K個奇異值，且λ1≥λ2≥…≥λK。令Λ=(Λ10)，其 中Λ1∈CK×K。 令其 中V1∈CK×(K+L)，V2∈CL×(K+L)。因為V21是酉矩陣，所以有則公式（10）兩端同時乘以得到：

因此，層間預編碼矩陣C可設計為：

4 有界信道估計誤差對系統速率的影響

4.1 干擾泄漏分析

由式（9）可知，由于信道估計誤差的存在，使得所設計的CTP 不能完全消除SC 對MC 的干擾，從而引起干擾泄漏，導致系統可達速率降低。本節重點分析由于信道估計誤差而引起的系統速率損失。首先，令：

由于干擾向量ε的每個符號都有相同的統計性質，所以只對其中的任意一個符號進行研究。選擇ε的第i個符號作為分析，則有：

其中，(ΔH21)i表示矩陣 ΔH21的第i行。

當信道估計誤差是有界時，令：

第i個發送符號的干擾泄漏為：

下面簡單分析一下干擾泄漏上界：

公式（16）所示的第i個發送符號的干擾泄漏可進一步計算為：

其中，e(i)表示C的第i列，第四個等式是基于的假設得到的。

公式（17）中每一項都有相同性質，對第k項分析如下：

由公式（17）和公式（18）可得到第i個發送符號的干擾泄漏上界為：

4.2 系統速率損失分析

這一節，首先推導出速率損失與干擾泄漏之間的關系，然后利用干擾泄漏的統計特性，進一步分析速率損失的統計特性。需要注意的是，基于前面的分析，不同符號的干擾泄漏有相同的統計特性，在以下的分析中，只分析給定符號的速率損失。

考慮非理想信道估計，即存在信道估計誤差時，第i個符號可達系統速率可計算為：

其中，對數運算符中分子表示第i個接收符號的功率，這里假設發射符號是歸一化的。

而理想CSI條件下第i個符號可達理論速率為：

由式（20）和（21）得到，由于非理想CSI造成的速率損失可計算為：

在高信噪比時，公式（22）可以簡化為：

由式（18）和（23）可得到第i個符號速率損失上界為：

5 數值仿真結果與分析

本章將給出一些仿真結果驗證推導過程的正確性。仿真中參數設置如下：子載波的數目K=64，循環前綴長度L=16。本文數值仿真采用(L+1)徑Raileigh衰落信道模型，信道沖激響應的分布假設為hsr～。

設定δmax=0.01，每個MC 符號速率下界的仿真結果如圖2 所示（以下系統速率均指MC 每個符號的系統速率，且速率下界等于理想速率減去公式（24）所示的速率損失上界）。由圖2 可以看出，在信噪比較低時，MC系統的速率下界與理想CSI 條件下系統可達速率相差不多，主要是因為在低信噪比下，信道噪聲是影響系統速率的主要因素，信道估計誤差帶來的速率損失不顯著。而當信噪比較高時，信道估計誤差對系統速率帶來的影響遠大于噪聲帶來的影響，此時理想CSI條件下的MC 系統速率與信道估計誤差有界條件下的系統速率都會隨著SNR的增大而增大，但差距越來越明顯。

圖2 每個MU可達符號速率下界

圖3給出了在δmax=0.01 時，200個信道實現條件下的MC 可達速率。如前面所述，當SNR 較小時，系統速率的下界非常逼近理想CSI時系統的速率，但隨著SNR的增大，系統速率下界逐漸低于MC 系統的理想速率，信道估計誤差的影響逐漸顯著。由圖3 還可以看出，MC系統存在信道估計誤差時，得到的速率一直界于理想系統速率（即最大系統速率）與系統速率下界之間，全部覆蓋下界與系統速率的最大值之間的所有可能情況。

圖3 δmax=0.01 時200個信道實現對應每MU可達速率

圖4進一步給出了200個信道實現條件下的MC可達平均速率。由圖4可以看出，平均速率界于理想信道速率和系統速率下界之間。

圖4 δmax=0.01 時MC系統可達平均速率

圖5給出了MC系統仿真的平均速率損失和公式（24）推導的理論速率損失上界的對比，以驗證公式推導的正確性。從圖5中可以看出，理論推導的速率損失和真實的速率損失很接近，但又稍微大于真實速率損失，其原因是在推導過程中，為了簡化分析，對公式（23）做了近似。因而得到的公式（24）中的理論速率損失上界是一個稍微放大的臨界值。

圖5 δmax=0.01 時每MU速率損失上界隨SNR變化情況

不同的信道估計誤差，對速率損失上界影響也不同。圖6 給出了符號速率損失上界隨δmax變化的趨勢。由圖6 可以看出，在不同的信噪比和不同的δmax下，理論速率損失上界跟真實的速率損失上界都很接近。在特定的信噪比下，隨著信道估計誤差的上界δmax的增大，速率損失也隨之增大。但是推導的速率損失上界與真實的速率損失上界始終保持一致。當信噪比變化時，也會有相同的結論。上述結論也進一步證實了理論推導的正確性。

圖6 不同δmax 和SNR時每MC符號速率損失上界

6 結束語

針對基于VFDM技術的二層頻譜共享系統，本文研究了在有界信道估計誤差的情況下干擾泄漏對MC 的速率影響。首先研究了信道估計誤差在有界時干擾泄漏的上界，然后建立干擾泄漏與MC系統可達速率之間的關系，得到MC 系統速率損失的上界，評估出估計誤差有界時對MC 系統速率損失的影響。最后給出了仿真結果證實推導的正確性。本文研究結果對評估實際系統性能具有一定的指導意義。下一步擬進一步研究信道估計誤差服從高斯分布或者有界時SC的性能損失評估，以及存在信道估計誤差時的穩健設計。