夯實知識與技能 提升能力與素養

湯 偉

（安徽省淮南市洞山中學，安徽 淮南 232001）

一、試題呈現

如圖1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P 為△ABC 內部一點，且∠APB=∠BPC=135°。

（1） 求證：△PAB ∽△PBC。（2）求證：PA=2PC。（3）若點P 到三角形的邊AB、BC、CA 的距離分別為h1、h2、h3，求證

圖1

二、核心素養視角下的特色解讀

1.題目簡潔，層次分明

本題延續了安徽省中考壓軸題的出題模式，考查學生的幾何綜合知識。試題呈現簡明扼要，起點低，基礎性強，層次分明，梯度明顯，學生可以拾級而上，逐步深入。第（1）問證明三角形相似，題目中已有一明確條件∠APB=∠BPC=135°，只需再找一組角相等即可證明。學生可以通過內角和求得∠PCB+∠PBC=45°，由△ABC 是等腰直角三角形推知∠PBA+∠PBC=45°，證得∠PCB=∠PBA，從而證得△PAB∽△PBC。第（2）、（3）問既有沿用第（1）問的基礎性解法，也有利用“截長補短”的通性通法，還有構造基本圖形的特殊性解法，這為不同思維層次的學生搭建了不同的平臺。

2.解法多樣，彰顯素養

本題解法多樣，特別是第（2）問證法多樣，解題中既可以聯系第（1）問的結論，利用相似的性質解決問題，也可以利用“截長補短”的通法解決線段倍分問題，利用“全等變換”尋找基本圖形或者構造基本模型解決問題，為學生提供了多角度、多層次思考問題的空間，既能考查能力一般的學生所應具備的素質，又能分辨出優秀學生具備的較強模型構造能力和綜合運用能力。第（1）、（3）問解法相對單一，本文主要對第（2）問的解法展開討論。

三、第（2）問具體解題思路

1.思路1：以“四基”為本，回歸教材本源

2.思路2：以方法為脈，凸顯通性通法——截長補短

解法2：在線段PA 上截取PM=PC，可知△PCM是等腰直角三角形，易證△ACM≌△CBP，可得AM=CP，于是PA=PM+MA=2PC，也可進行補短，“截長補短”是把線段的和差倍分問題轉化成線段相等問題，是把問題化難為易的常見解題策略。

3.思路3：以思想為魂，突出數學本質——全等變換

解法3：（旋轉）圖略。將△CAP 繞點C 逆時針旋轉90°，使CA 與CB 重合，易證△CPM、△PMB 是等腰直角三角形。可得PC=2PC，于是PA=2PC。

解法4：（翻折+共圓）將△CBP、△CAP 分別沿直線CB、CA 翻折，由∠ACN+∠BCM=180°證得N、C、M三點共線。由∠BMC+∠BAC=180°證得A、B、C、M 四點共圓，可得∠NMA=∠CBA=45°，可證△MNA 是等腰直角三角形，于是AN=NM=2CP，即PA=2PC。全等變換是幾何綜合題考察的重中之重，特別是“圖形的旋轉”與“圖形的翻折”逐漸變成中考題型甚至是壓軸題的必考內容，這類問題集中考查學生對旋轉、軸對稱、平移變化的性質的理解，以及對變換后的幾何圖形的數量關系、位置關系、形狀關系的探究，有效考查學生觀察、操作、猜想、驗證、推斷等各種數學能力。

4.思路4：以能力為意，豐富知識內涵——綜合運用

解法5：（構造“弦圖”）過點B 作BM⊥CP 于點M，易證△ACP≌△CBM。同解法3。

解法6：（構造“十字架”+共圓）由“十字架”模型圖可證CM=BN，由∠NPM+∠NBC=180°證得P、M、B、N 四點共圓，又∠BPM=∠BPN=45°，可得BM=BN，于是tan∠BCN=，可得PA=2PC。

解法7：（構造“手拉手模型”）以CP 為直角邊向右側構造等腰直角三角形，△CAB 與△CPM 構成“手拉手模型”結構圖，可得△CAP≌△CBM。以下過程同解法3。

解法8：（相似+共圓）過點C 作CM⊥AB 于點M。∠CPA=∠CMA=90°，證得A、M、P、C 四點共圓，∠PCM=∠PAM，∠APM=∠ACM=45°，可證△PCM∽△PAB，可得PA=2PC。

四、教學導向分析

1.夯實基礎知識，培養幾何直觀

本題設置由易到難，梯度明顯，從基本知識與技能出發，考查數學的核心知識，即學生利用幾何直觀尋找、構造數學模型解決問題的能力，讓各個層次的學生均能夠有所思考。在教學中，教師要充分利用教材素材，夯實學生的基礎知識、基本結論，滲透基礎數學思想方法，讓學生展開數學“悟”的過程，通過精心設計問題，培養學生的幾何直觀。

2.聚焦通性通法，突出數學思想

在教學中，教師要重視訓練、培養學生的邏輯推理與幾何直觀能力。較復雜的幾何圖形都是由兩個或者兩個以上的基本圖形整合而成，學生只要能從復雜圖形中分離出解決問題所需的基本模型，把復雜問題化繁為簡、化未知為已知，問題便迎刃而解。

3.注重綜合運用，提升核心素養

本題的多種解法是綜合運用“幾何與圖形”相關知識，考查學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力。在新課標理念下，數學教學必須強調知識的整體性和連貫性，讓學生感數學各章節知識之間的互相聯系，這有助于提升學生核心素養，提高學生的數學綜合應用能力。

五、結語

在日常教學中，教師要強調數學知識的整體性和結構性，讓學生感受數學知識的相互聯系，要充分挖掘典型問題的內在數學價值與遷移功能。教師要讓學生真正理解基本圖形的本質特征，具備模型意識，讓學生發現，甚至能夠構造出所需基本圖形，提高學生綜合運用數學知識解決問題的能力，增強學生思維的靈活性與創造性，提升學生思維的廣度與深度，促進學生全面發展。