換熱網絡優化中換熱單元生成頻次的影響分析及策略改進

蘇戈曼，崔國民，肖媛，趙倩倩

（上海理工大學新能源科學與工程研究所，上海200093）

換 熱 網 絡（heat exchanger networks，HENs）是過程系統的重要環節，通過對冷熱物流進行合理的換熱匹配以實現熱量回收，對提升節能水平和生產經濟性有重要意義。HENs 的綜合優化由Rudd[1]首次提出，而當前優化方法主要包括分布優化法與同步優化法[2]。分步優化法[3-5]通過將原問題分解成子問題以降低計算復雜性，但忽略了子問題間的制約關系，且不能兼顧優化整型變量和連續變量，優化結果較差。同步優化法[6-9]通過建立HENs的混合整數非線性規劃模型（mixed-integer nonlinear programming，MINLP），對整型變量與連續變量進行同步優化，優化效果較好。

1990年Yee等[9]提出一種經典的同步優化方法，在該方法中，確定性和啟發式優化算法被引入以求解分級超結構模型（stage-wise superstructure，SWS）。其中確定性方法包括外部逼近法[10]、分支定界法[11]、填充打洞函數法[12]等，借助精確的數學理論求解MINLP 問題，但受制于問題的非凸非線性，易在求解過程中陷入局部極小值。啟發式方法包括模擬退火算法（simulated annealing，SA）[13-14]、遺傳算法（genetic algorithm，GA）[15-16]、粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）[17-18]等，這類方法對數學模型依賴性小，計算效率較高，全局搜索能力較強，更適用于HENs優化問題。在啟發式方法的應用過程中，換熱單元生成方式已有一定研究。Luo 等[19]在GA 基礎上結合SA 并提出結構控制策略與局部優化策略，強化換熱單元生成；Huo等[20]建立了GA和PSO的雙層算法，利用GA生成換熱單元，產生HENs網絡結構；Zhang等[21]基于混沌蟻群算法提出一種結構進化策略，通過設定換熱單元個數調控結構進化方向；Peng等[22]基于SA算法，通過蒙特卡羅隨機抽樣模型對換熱單元進行隨機生成與消去；此外，肖媛等[23]提出強制進化隨機游走算 法 （random walk algorithm with compulsive evolution，RWCE）應用于SWS 模型，通過設置最小換熱量和一定的概率模型來控制換熱單元的生成和消去，實現了整型變量與連續變量的同步優化，優化效果較好。然而SWS 以“級”為單位，每級內換熱匹配總數與順序固定，使得換熱單元生成受限，常需要通過增加級數來實現換熱單元的生成。同時，變量維度隨著級數增加呈指數級擴大，導致計算規模過大，優化效率低下。

2018 年，肖媛[24]提出節點非結構同步模型（node-wise non-structural superstructure， NWNSS），該模型取消“級”的概念，并以節點形式表征換熱單元的匹配位置，通過冷熱流體上節點的隨機匹配生成新的換熱單元，換熱單元生成自由，增大了結構靈活發展的空間。該作者將RWCE 應用于NW-NSS 模型，與基于SWS 模型的RWCE 算法相比，前者充分發揮了算法隨機靈活的特點，在表現形式上將換熱單元的生成操作與連續變量優化進行分離處理，使得對優化路徑的調節更為直觀、方便。其中換熱單元生成操作涉及生成概率與生成個數兩個參數，分別控制優化過程中換熱單元生成頻率和結構進化時換熱單元生成個數。本文將二者定義為換熱單元生成頻次，其對整型變量與連續變量影響重大，對優化過程的調控至關重要，但目前仍缺乏從該角度出發對整型變量與連續變量的影響進行考察的研究，也急需一種方法合理地調控整型變量與連續變量的優化頻率。

為了探究換熱單元生成頻次對整型變量與連續變量優化的影響，本文采用基于NW-NSS 模型的RWCE算法，通過調整算法中的生成概率與生成個數以獲得不同的生成頻次，進而跟蹤不同生成頻次下整型變量與連續變量的優化狀態及年綜合費用?；诖?，提出一種策略合理調整換熱單元生成頻次，從而提升算法優化性能。

1 NW-NSS模型

1.1 問題描述

本文采用NW-NSS 模型，熱流體數為NH，冷流體數為NC，每股流體上布置一定數量的節點，通過隨機方式分別選定熱流體、冷流體上的某節點，形成一個換熱匹配，只要該匹配滿足約束條件，則認為是有效匹配。以2×2 算例為例，其NW-NSS模型如圖1所示。

其中，i、j 分別為熱、冷流體編號；SUMH、SUMC分別為每股熱、冷流體上的節點總數；NUMH,i、NUMC,j分別為每股熱、冷流體上的節點編號；此外，設置PH為某一熱節點位于所有熱流體中的編號、PC為某一冷節點位于所有冷流體中的編號；設置NCi,NUMC表示第i股熱流體上的第NUMi個節點對應的冷節點編號PC，NCj,NUMC表示第j 股冷流體上的第NUMj個節點對應的熱節點編號PH。NW-NSS模型中熱、冷節點自由匹配，且換熱匹配節點編號不重合，因此可由NCj,NUMH,i、Qi,NUMH,i或NCj,NUMC,j、Qj,NUMC,j確定一個換熱匹配和換熱量大小。為便于觀察，NW-NSS模型中的換熱匹配可根據其在流股上的相對位置將其垂直處理，處理后的NW-NSS模型如圖2所示。

1.2 目標函數

換熱網絡NW-NSS 模型以最小年綜合費用（total annual cost，TAC）為目標，主要包括換熱單元、冷公用工程和熱公用工程的費用，其目標函數如式(1)所示。

式中，FFIX為換熱單元固定投資費用；E 為判斷換熱單元存在與否的0-1邏輯變量；CA為換熱單元面積費用系數；β 為換熱單元面積費用指數；Ai,NUMH,i為換熱單元的換熱面積；ACU,i、AHU,j分別為冷、熱公用工程換熱面積；CCU、CHU分別為冷、熱公用工程運行費用系數；QCU,i、QHU,j分別為冷、熱公用工程換熱量。

1.3 約束條件

（1）換熱網絡每股流體上的出口溫度應滿足目標溫度，溫度約束如式(2)、式(3)所示。式中，THout,i、TCout,j分別為熱、冷流體出口溫度；THtar,i、TCtar,j分別為熱、冷流體的目標溫度。

（2）換熱網絡結構中單股流體的總換熱量等于該流體上所有換熱單元換熱量與流體末端公用工程換熱量的總和，熱平衡式如式(4)、式(5)所示。式中，W 為流體熱容流率；THin,i、TCin,j分別為熱、冷流體進口溫度。

圖1 NW-NSS模型

圖2 垂直處理后的NW-NSS模型

（4）對于冷、熱公用工程均有熱平衡式如式(7)、式(8)所示，其中為熱流體流經最后一個換熱單元的出口溫度，為冷流體流經第1 個換熱單元的出口溫度。

（5）此外，還包含換熱面積、換熱量非負約束［式(9)、式(10)］以及換熱單元最小傳熱溫差約束［式(11)、式(12)］，本文最小傳熱溫差ΔTmin均取值為0℃。

2 強制進化隨機游走算法

采用RWCE 算法的NW-NSS 模型在優化之初不存在任何換熱匹配，通過連接隨機選定的熱、冷節點生成新的換熱匹配，而后對該新結構進行下一步的選擇、變異操作，最后判斷是否滿足終止條件。該過程中換熱單元的進化和生成分開進行，RWCE算法具體流程如下。

2.1 種群初始化

產生包含N 個個體的初始種群，每個個體Qn,k（n=1,2,…,N；k=1,2,…,Nk）代表一個Nk維的換熱網絡結構（Nk為換熱單元數目）。個體初始解不進行換熱匹配，每股流體的末端均采用公用工程換熱使其達到目標溫度。

2.2 存在的換熱匹配進化

對種群內已存在的換熱匹配換熱量（Qn,k,it＞0；n=1,2,…,N；k=1,2,…,Nk）進行隨機游走，實現個體進化，同時設置換熱量最小值以控制換熱單元的消去。換熱量隨機游走公式如式(13)所示。

式中，Qn,k,it、Q'n,k,it+1為第n個個體第k個換熱單元隨機游走前后的換熱量；α1、α2是(0,1)之間的隨機數；ΔL 是最大游走步長；Zk為控制是否參與進化的0-1變量，如式(14)所示，δ為進化概率，r1為(0,1)之間的隨機數。

在進化操作后，通過最小換熱量Qmin判斷是否消去該換熱匹配，具體操作如式(15)所示。

若某個換熱匹配在優化過程中被消去，則對應熱、冷節點編號也相應歸零，而沒有被消去的換熱量則為隨機游走后的有效換熱量。

2.3 生成新的換熱匹配

為保證結構進化能力，針對流體上未產生換熱單元連接的位置，從冷、熱流體上隨機選擇m對節點（m即為個體單次進化中換熱單元生成個數）進行匹配，通過以一定概率隨機生成換熱單元實現整型變量與連續型變量的交替優化，并按式(16)賦予換熱量

式中，Qmax為生成新生成換熱單元換熱量最大值；φ 為換熱單元生成概率；r2為(0,1)之間的隨機數。

2.4 選擇與變異

式中，Qn,it為隨機游走前個體n 的解；Qn,it+1為被選擇進入下一代的解；φ 為接受差解概率；γ 為(0,1)內均勻分布的隨機數。

2.5 終止條件

當個體游走的迭代步數達到ITmax時，結束迭代，否則返回個體隨機游走繼續優化。

3 換熱單元生成頻次的影響分析

基于NW-NSS 模型的RWCE 算法將換熱單元生成與換熱量優化分開處理，其中換熱單元生成操作直接影響優化過程，并且該操作由生成概率與生成個數兩個參數共同決定，因此本文將結合具體算例對這兩個參數的作用進行分析。

3.1 換熱單元生成概率的影響

以9SP[25]為例（算例參數見表1），觀察并分析φ 對RWCE 優化過程的影響。設置優化參數N=1、SUMH=50、SUMC=50、ΔL=90、δ=0.5、φ=0.001、ITmax=1×108，m 均為2，φ 分別取0.01、0.05、0.1、0.2、0.3。

表1 9SP算例參數

換熱網絡優化以TAC 作為目標函數，TAC 的變化情況可反映算法優化質量與效率。鑒于此，本文通過觀察TAC 下降情況來分析換熱單元生成概率的影響。如表2所示，統計了因新生成換熱單元導致最優TAC 更新的次數D1，未生成換熱單元時最優TAC 更新的次數D2，因新生成換熱單元導致當前TAC 下降的次數D3，未生成換熱單元時當前TAC下降的次數D4，同時記錄各生成概率下最終優化結果TAC。

表2 不同換熱單元生成概率下TAC變化情況統計

從表2中可以看出，在整個優化過程中，D2與D4分別多于D1與D3，即TAC 的下降多數通過固定結構的連續變量優化得到。同時，隨著φ 增大，D2、D4減少而D1、D3增加，表明整型變量相對優化頻率增多，使結構變異能力增強、連續變量優化削弱。反之，φ 減小時，D2、D4增多而D1、D3減少，雖連續變量優化更為充分但整型變量優化相對優化頻率減少，導致結構變異能力較弱。另外，φ過大或過小將分別造成連續變量優化不充分或整型變量優化不充分，且對應TAC 均較差，因此應根據算例特點選擇適當的φ。

3.2 換熱單元生成個數的影響

同樣選取9SP 算例，采用RWCE 進行優化，φ取0.1，m分別取1、2、3、4、5，其他優化參數不變。通過統計在不同生成個數下的D1～D4（表3），分析換熱單元生成個數對RWCE 優化過程的影響。

表3 不同換熱單元生成個數下TAC變化情況統計

從表3中可以看出，當m為1時，D1、D3最多，生成換熱單元后的結構變化較小，最易于被保留，結構更新較為頻繁，但也易造成結構還未進行徹底的連續變量優化就被新結構取代；此后，隨著m增多，D1、D3均減少，即單次生成的換熱單元越多，新生成結構越難優于當前最優結構，甚至可能出現不可行解，在優化過程中可能被直接舍棄，導致結構更新次數減少。同時，當m 較?。? 個及以下）時，D2、D4隨著m的增加而增大，即單次生成多個換熱單元時結構更新較慢，使得當前的最優結構有足夠的時間進行連續變量優化；然而，當m 較大（3個以上）時，D2、D4卻隨著m的增加而減小，即單次換熱單元生成個數的增加造成結構更新次數減少，可能出現始終對同一固定結構進行連續變量優化，并逐漸趨于該固定結構下的局部最優解，因此難以再通過連續變量優化使得費用下降。為進一步驗證m 過大對進化的影響，另設置m 為10、15、20，統計結果見表4。

可以看到，m過大時，幾乎沒有可以通過整型變量優化更新TAC 的結果（D1、D3極少），通過固定結構下的連續變量優化更新TAC 次數也大幅減少（與表3 中D2、D4相比），驗證了單次生成過多換熱單元使得結構性能變差且難以被保留，個體長期在原結構基礎上進行連續變量優化，從而陷于該結構的局部極值，使得連續變量優化因難以突破局部極值而逐漸減少，最終優化結果也較差。因此，在優化過程中m不宜過大，取值一般不超過5。

表4 換熱單元生成個數過大時TAC變化情況統計

4 生成參數動態調節策略

從上述分析得知，調節生成概率與生成個數可以協調連續變量優化和整型變量優化。個體在優化過程中的狀態是變化的，若在過程中以相同的頻次生成換熱單元，則忽略了整型變量與連續變量優化的合理時機。因此提出生成參數動態調節策略，通過跟蹤個體優化進程，調整各個體生成概率與生成個數，從而維持合理的換熱單元生成頻次。

4.1 生成參數動態調節策略

在RWCE 算法的優化過程中，整型變量頻繁變化易缺乏充分的連續變量優化，反之連續變量優化時間過長則整型變量優化能力較弱，導致結果陷入局部極值。

本文提出生成參數動態調節策略，即在優化過程中跟蹤觀察個體TAC 變化情況，設置TAC 停滯的迭代步數閾值Cmax。當個體TAC停滯累積步數大于Cmax時視為個體長期停滯，此時給予一定幅度的結構變異擾動，調整生成概率與生成個數，當個體TAC 停滯累積步數小于Cmax時，仍以原生成概率與生成個數進行優化，以此改善換熱單元生成頻次。具體操作如式(19)～式(21)所示。

式中，φnew為改進后的生成概率；mnew為改進后的生成個數；Cit+1為個體TAC 停滯的迭代步數累積值。為防止因缺乏結構變異能力導致TAC 長期停滯，在TAC 長期停滯時，以較大φ'和較小m'優化，從而提高結構進化能力；為保證較優的結構有充分的連續變量優化，在TAC下降時，以較小φ和較大m優化，從而提高局部搜索能力。具有生成參數動態調節策略的改進RWCE 算法（improved RWCE，IRWCE）流程如圖3所示。

圖3 IRWCE算法流程

4.2 有效性分析

仍選用9SP算例，對比改進前后的RWCE算法優化曲線如圖4所示。RWCE算法優化曲線如曲線1、曲線2所示，其中曲線1取φ=0.2、m=1，曲線2取φ=0.04、m=5，IRWCE算法優化曲線如曲線4所示，取Cmax=104、φ=0.04、m=5、φ'=0.2、m'=1，其他優化參數不變。

圖4 9SP算例TAC曲線對比

改進前生成概率與生成個數均為定值，其優化路徑（曲線1、曲線2）均在4000 萬步左右停滯，最終優化結果費用較高。改進后生成概率與生成個數隨個體TAC 進化情況動態變化，其優化路徑（曲線3）以更快的速度得到了更優的解，并且在優化后期仍保持一定的下降趨勢。通過對比可以看出，采用IRWCE 算法優化效率明顯高于原始RWCE算法，在優化過程中既保證了充分的連續變量優化，又提高了結構變異能力。

5 算例驗證

將IRWCE 算法應用于兩個基準算例，并以年綜合費用為評價優化質量的指標驗證其優化性能。

5.1 算例1

算例1 取自文獻[26]，包含10 股熱流體與5 股冷流體，具體參數見表5。分別采用RWCE算法與IRWCE算法應用于該算例，優化參數見表6，改進前后除新增參數m'、φ'、Cmax外，其余優化參數均不變。

采用RWCE 算法，優化結果如圖5所示，TAC為5467884USD/a。采用IRWCE 算法，得到結構如圖6所示，TAC為5178068USD/a，較RWCE算法的結果節省了289816USD/a，結果對比見表7，較文獻最優結果[29]減少了55219USD/a。

對比結構圖5、圖6 可以看出，采用生成參數動態調節策略后由于根據個體狀態調整生成概率與生成個數，促進了個體結構進化，獲得了性能優于原算法的結構。此外，這兩個結構的C4 流體都未參與匹配，這是因為C4 流體溫位較高，與熱流體匹配時換熱溫差小甚至可能出現溫度交叉，形成的結構性能差且無法被保留。

5.2 算例2

算例2取自文獻[30]，包含7股熱流體與3股冷流體，算例參數見表8。將RWCE 算法與IRWCE算法分別應用于算例2，優化參數見表9。采用RWCE 算法的結構如圖7 所示， TAC 為8862550USD/a；采用IRWCE 算法的結構如圖8 所示，TAC為8693753USD/a。

表5 15SP算例參數

表6 15SP算例優化參數

圖5 采用RWCE算法得到的結構圖（TAC為5467884USD·a-1）

圖6 采用RWCE算法得到的結構圖（TAC為5178068USD·a-1）

表7 算例1結果對比

因該算例固定投資費用為零，所以在采用IRWCE 算法的優化過程中，因增加結構擾動而新生成的換熱單元更容易被保留下來，最終得到換熱單元較多的優化結果（圖8），更直觀地體現了IRWCE 算法提升結構變異能力的作用。同時，由于該算例面積費用指數為1，換熱單元面積費用正比于換熱面積，因此流體匹配相同的相鄰換熱單元合并前后費用不變，合并圖8中方框內的換熱單元后結構如圖9 所示。對比圖9 與圖7 結構，改進后費用下降了168797USD/a，提高了算法的優化質量。表10 記錄了文獻與本文結果的具體數據，采用IRWCE 算法取得了優于文獻的結果，較文獻最優結果[32]下降了14230USD·a-1。

表8 10SP算例參數

表9 10SP算例優化參數

圖7 采用RWCE算法得到的結構圖（TAC為886255USD·a-1）

圖8 采用IRWCE算法得到的結構圖（合并前，TAC為8693753USD·a-1）

圖9 采用IRWCE算法得到的結構圖（合并后，TAC為8693753USD·a-1）

表10 算例2結果對比

5.3 算例3

算例3為包含13股熱流體和7股冷流體的大規模算例[33]。算例參數見表11，其中固定投資費用為4000USD/a、面積費用系數與指數分別為500 和0.83。將IRWCE 算法應用于該算例，優化參數見表12，優化后所得結構如圖10 所示，TAC 為1403139USD/a。與現有文獻TAC 對比見表13，采用IRWCE 算法優化后TAC 較文獻[37]下降了9662USD/a。

6 結論

本文探究了HENs 優化中換熱單元生成頻次對優化的影響，并提出生成參數動態調節策略。得出以下結論。

表11 20SP算例參數

表12 20SP算例優化參數

（1）換熱單元生成概率越大時，整型變量相對優化頻率增加，結構變異能力較強，但不利于連續變量持續優化；生成概率越小時，固定結構下連續變量的相對優化頻率增加，但結構變異能力較弱。

（2）單次進化中換熱單元生成個數較少時，結構變化小易被保留，結構更新較快，但容易缺乏充分的連續變量優化；生成個數較多時，新結構變化較大易被舍棄，造成長期以固定結構優化，連續變量優化充分，但結構更新較慢。此外生成個數過多，加劇了結構更新遲緩，導致優化陷入固定結構下的局部極值，連續變量優化因難以突破局部極值而逐漸減少。

（3）生成參數動態調節策略根據個體TAC 變化情況調整換熱單元生成頻次，使得個體優化既保持適當的整型變量優化能力又滿足充分的連續變量優化。改進后的算法優化15SP、10SP 和20SP 算例，均獲得相對文獻更優的結果。結果表明該策略使得換熱單元生成頻次更符合個體優化狀態，有效地提高了算法的優化性能。

圖10 采用IRWCE算法得到的結構圖（TAC為1403139USD·a-1）

表13 算例3結果對比

符號說明