查找錯因 紓解“因式分解”之惑

楊秀園

運算是數學的靈魂，因式分解作為等式的恒等變形運算，也是每年中考數學的必考內容。根據教材知識點，同學們除了應該掌握提公因式法、分組分解法、公式法、十字相乘法等基本方法外，還應該結合不同的多項式，靈活選擇特殊的分解方法，如換元法、拆項添項法、主元法等，以提高因式分解解題能力。當然，該節內容也是初中數學的教學難點，很多學生在對因式分解的方法和技巧學習時出現共性錯誤，通過梳理這些錯因，有針對性地施以指導，讓因式分解迎刃而解。

一、在因式分解中概念模糊的共性錯誤與成因剖析

將一個多項式轉換為幾個整式的積的形式，就是對多項式進行因式分解。在實際解題中，很多學生會對因式分解的概念產生錯誤理解，以致于在對多項式進行因式分解時，分解不徹底，未能化成“積”的形式。如某題中：，在進行因式分解時，有學生這樣做：原式=。很顯然，從概念來看，最終化解的式子并非“積”的形式，而是“減”式。之所以出現這種錯誤，與學生對“積”的形式理解不到位有關。觀察該多項式可以發現后半部分符合，因此，可以將后半部分進行組合，將原式化成。所以說，概念混淆，導致最終因式分解未能轉換成“積”的形式。不過，還有學生雖然認識到“積”的形式，但卻忽視“整式”的積的形式。如在某題中：，對該多項式進行分解時，有學生這樣做，原式=。看似是“積”的形式，但對于因式部分卻不是整式，正確的解法應該運用十字相乘法，將原式=。在因式分解中，數式分解是有范圍的。如某題中：，有學生在對原式進行分解時，將原式=，從有理數范圍來看，這種解法是正確的，但對于實數范圍而言，顯然是錯誤的。應該將原式=。另外，有些學生在對多項式進行分解時，忽視了“恒等變形”。如某題中：，有學生這樣解，將原式=，通過對原式中的每一項都乘以“2”，使其符合平方差公式法，但對于原式，卻破壞了因式分解的“恒等性”，因此，需要將提出來，得到原式=。

二、在因式分解中分解方法不熟練的共性錯誤與成因剖析

在基本的因式分解方法學習中，一些學生對解法不熟練，使得解題錯誤千差萬別。現著重就其共性錯誤進行梳理，提醒學生能夠從這些錯誤中不斷糾正，提高解題正確率。提公因式法是最基本的因式分解方法，在進行公因式提取時，要對多項式的每一項進行細致對照，不能漏項。如某題中，該多項式的每個部分都有，可以作為公因式提取出來，另外，對于各項的系數，“20”、“15”、“5”，都有公因式“5”，但有學生在運用提公因式法時，將原式=。觀察該“積”的形式，顯然是存在漏項。剖析其原因，一方面可能是學生馬虎，粗心造成的，另一方面可能是對“分配律”理解不深刻，正確的解法應該是原式=。無獨有偶，當公因式在提取時，如果前面有“負”號，則括號內的各項要變號。但有學生忽略變號問題。如某題中：，梳理各項，都有公因式“”，由于第一項為“負號”，所以在提取時要將“”作為公因式，后面的各項符號要變化。正確的解法應該是原式=。在運用十字相乘法時，有學生未能將“ab=q”且“a+b=p”作為必要條件，導致因式分解錯誤。如某題中：，很多學生通過十字相乘法，得出“”，于是便將原式=，但仔細觀察學生的解題過程發現，雖然滿足“ab=q”，但對于“”，所以原式分解方法是不正確的。在運用分組分解法時，需要把握各組之間仍有公因式可提，或者各組還可以運用其他分解法來繼續分解。但一些學生，僅僅關注各分組的分解，卻忽視兩組間的分解。如某題中：，將原式=，導致該式分解中未能實現“積”的形式。剖析其原因，主要是學生在提取公因式時，忽視了兩組間的繼續分解，應該對分組進行優化，確保兩組間能夠繼續分解。正確的解法應該是原式=。

三、在因式分解中對特殊解法的靈活運用

在中考數學試題命題中，除了對基本概念、算理、方法的考查外，還會適當延伸和增加試題難度。以因式分解類題型為例，除了常規分解因式方法外，學生還要能夠根據不同的多項式特點，選擇合理的分解技巧和方法，來化繁為簡，化難為易。如某題中：，觀察該多項式，似乎沒有公因式可提取，采用分組法也難以分解，因為沒有一次項。這時，我們可以利用拆分法，將“5”進行拆分為“1”和“4”，來創造因式分解的條件。由此，原式=，前者可以利用立方和公式，轉換為，后者可以利用平方差公式，轉換為，最終得到。除了拆分，還可以采用添項法，來構成便于因式分解的多項式。如某題中，觀察該多項式，無法直接進行因式分解。但可以通過添加，再減去兩個項，則將原式轉換為，前三項可以構成平方和公式，與后面的構成平方差公式，從而讓因式分解得以完成。需要強調的是，同學們在進行多項式拆項、添項時，一定要觀察多項式結構，要確保后續各項間能夠進行繼續分解。

總之，因式分解對學生數學知識、技能、思維、方法考查較高，學生在進行多項式分解時，要細心，要靈活選擇適當的分解方法，特別是面對常規方法無法解決的多項式時，要嘗試從添加項、換元法、巧妙組合等途徑，來創造條件，突破難點，激活數學思維，提高解題能力。

（作者單位：遵義市湄潭縣大蘆學校）