自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵多目標參數優化及試驗

徐高歡，孫培峰，謝榮盛,2

（1. 浙江水利水電學院機械與汽車工程學院，杭州 310018；2. 先進水利裝備浙江省工程研究中心，杭州 310018；3. 浙江省農村水利水電資源配置與調控關鍵技術重點實驗室，杭州 310018）

0 引 言

差速泵是利用差速機構驅動葉輪差速轉動實現容積變化的新型容積泵。由于差速泵具有排量體積比大、脈動可控、容積效率高等優勢[1-2]，適用于大型植保機械，可以取代農業機械常用容積泵，如大型植保機械的柱塞泵、隔膜泵等[3-6]，脈動可控和高效率的植保泵，可提高植保機械施藥效果[7-12]。

非圓齒輪驅動機構是差速泵較為理想的驅動形式，相比多桿驅動機構、萬向節驅動機構等，非圓齒輪的旋轉運動慣性力小、結構緊湊[13]。較早應用于差速泵的非圓齒輪驅動機構是變形偏心圓齒輪[2]，結構簡單可靠，適用于差速泵驅動，但其偏心圓節曲線調整參數主要是偏心率和變形系數，可調參數少，調整量有限，調整精度不高，不利于進一步優化設計，很難優化壓力脈動、流量、排量及困液等問題。本課題組曾提出傅里葉非圓齒輪驅動差速泵，其脈動率、不根切最大模數等性能得到有效改善，其原因是傅里葉節曲線的調整參數為 8 個，改善了節曲線局部優化精度，但是不根切最大模數較小，限制了差速泵負載能力[14]。在變性高階比傅里葉非圓齒輪驅動的六葉片差速泵研究中，曾通過增加變性系數提升傅里葉節曲線局部優化能力，改善了差速泵容積腔的變化規律，其脈動率明顯降低，但是較大變性系數會導致排量和不根切最大模數變小，變性系數可調范圍在1～1.1 之間，存在優化的局限性[15]。另外通過試驗研究發現，高階比的六葉片差速泵由于葉片差動范圍較小，在轉速較低的工況下，對泵的密封性非常敏感，導致自吸能力較差，為此該設計僅適合高轉速小排量工況。

為進一步提升差速泵性能，課題組突破標準解析型函數及其組合表達非圓齒輪節曲線的約束，提出利用k次 B 樣條曲線設計非圓齒輪節曲線，可根據控制點構成的控制多邊形精準控制節曲線的局部形狀，進而精準控制非圓齒輪副傳動比的局部值[16]，但是自由節曲線非圓齒輪驅動差速泵的性能優化方法仍需研究。本文以六葉片差速泵驅動的最優1∶3 階變性傅里葉節曲線為基礎，設計k次B 樣條節曲線控制點邊界，再利用功效系數法設計多目標參數優化綜合性能評價函數，運用改進遺傳算法計算獲得自由節曲線控制點 Pareto 解，最后搭建差速泵試驗臺進行試驗驗證。

1 六葉片差速泵結構特點和原理

六葉片差速泵主要由驅動非圓齒輪副和具有徑向滑動功能的差速六葉片組成，驅動非圓齒輪副為1∶3階自由節曲線非圓齒輪副。泵體內的6 個葉片，其中3 個葉片組成第一滑動葉輪，另外 3 個葉片組成第二滑動葉輪，第一滑動葉輪和第二滑動葉輪的葉片相互間隔，2 對自由節曲線非圓齒輪副分別驅動第一滑動葉輪和第二滑動葉輪，可以實現2 個間隔葉輪在周轉過程中按照設計規律進行周期性差動，實現容積泵功能，如圖1 所示，六葉片差速泵共有6 個容積腔分別為A、B、C、D、E、F，每個容積腔隨葉輪旋轉一周經過第一、第二和第三吸液口，實現3 次吸液，且都經過第一、第二和第三排液口，實現3 次排液，在吸、排液某一時刻，其中有3 個腔同時進行吸液或者排液。即六葉片差速泵的葉輪完成一個周轉，6 個容積腔可以完成 18 次排液，出口流量在一個周期內將出現 6個波峰。

圖1 自由節曲線非圓齒輪驅動的六葉片差速泵Fig.1 6-blade differential pump driven by non-circular gear with free pitch curve

本文差速泵葉片是滑動葉片設計，如圖1b 所示，第一滑動葉輪安裝第一滑軌通過移動副連接，第二滑動葉輪安裝第二滑軌通過移動副連接，所有葉片可沿著滑軌徑向滑動，第一、第二滑軌分別由第一、第二從動非圓齒輪驅動。葉片滑動過程如圖 2 所示，葉片轉動前，葉片弧面和泵殼內部存在較大間隙，啟時腔內壓力不足，潤滑液膜未形成，大間隙有利于減少磨損，隨著葉片的轉速增加，弧殼間隙減少，容積腔開始沖滿液體，在壓力作用下間隙開始形成潤滑液膜，當葉片轉速達到正常工況，容積腔液體具有一定壓力，弧殼之間產生極薄的潤滑壓力液膜。在離心力作用下，滑動葉片具有自動補償葉片弧面磨損功能，且轉速越高密封越好。為防止燒蝕，葉片一般使用具有自潤滑功能材料，本文使用聚四氟乙烯加工葉片。

圖2 葉片滑動過程Fig.2 Process of blade Sliding

2 差速泵參數優化目標函數

根據差速泵大排量、低脈動率和具有一定負載能力的要求，其排量子目標求解最大值，脈動率子目標求解最小值，由于目標值的數量級和量綱不同，將進行歸一化和一致化處理，把子目標統一轉換為綜合目標評價問題。不根切最大模數的子目標mmax設置為有效邊界，在設定邊界內取 1 表示有效，超出邊界的取0 表示無效，差速泵綜合性能優化則使用子目標功效系數求解幾何平均進行綜合評價。

2.1 非圓齒輪不根切最大模數子目標函數

六葉片差速泵的驅動非圓齒輪利用k次B 樣條曲線設計非圓齒輪節曲線，通過控制點改變控制多邊形，確定節曲線的點坐標，且可以任意控制曲線形狀[17-20]，如圖3 所示，該節曲線稱為自由節曲線，表達式為[16]

式中Pi為第i個控制點；ti為參數節點向量；為B樣條函數；k為樣條函數階次；n為迭代總次數。

根據式（1）可得自由節曲線向徑表達式為

圖3 自由節曲線控制點與節曲線Fig.3 Control point and free pitch curve

主動非圓輪和從動非圓輪節曲線曲率半徑1ρ、2ρ(mm)的計算公式[13-14]如下

其中

式中a為非圓齒輪副的中心距，mm；φ為節曲線向角，rad；Cx為節曲線坐標x值，mm；Cy為節曲線坐標y值，mm；為節曲線x方向一階導數；′為節曲線y方向一階導數；C x′為節曲線x方向二階導數；Cy ′為節曲線y方向二階導數。

非圓齒輪節曲線的最小曲率半徑為

根據非圓齒輪設計理論，不產生根切時允許齒輪的最大模數mmax的條件為[21]

根據加工齒條刀參數[21]，一般取α0=20°，

齒頂高系數hα0= 1，則不產生根切時允許齒輪的最大模數mmax為

非圓齒輪的輪齒要有一定承載能力，則模數要足夠大，對于開式齒輪傳動，根據經驗方法初選模數要大于1.5[22]，本文為了使差速泵適應大載荷工況，設置模數優化閾值增加30%，根據標準模數表，mmax 設置為大于2.0。

2.2 脈動率子目標函數

六葉片差速泵的瞬時流量q(mL)為

式中 1φ為主動非圓齒輪瞬時轉角，rad；h為葉片厚度，mm；ω為輸入軸角速度，rad；R為葉片外圓弧半徑，mm；r為葉輪軸半徑，mm；V為差速泵容積，mL；t為時間變量；S； 1ψ為第一滑動葉輪轉角，rad； 2ψ為第二滑動葉輪轉角，rad。

瞬時流量脈動率σ(%)為

式中qmax為最小瞬時流量，mL；qmin為最大瞬時流量，mL；為平均流量，mL。

脈動率進行歸一化處理，轉換為功效系數G2為

2.3 排量子目標函數

根據試驗差速泵葉輪尺寸，葉片展角為30°，根據六葉片差速泵工作原理，差速泵的排量S為[17]

式中 ?ψmin為差動葉片最小張角，rad；Vmin為封閉腔最小容積，mL； ?ψmax為差動葉片最大張角，mL；Vmax為封閉腔最大容積，mL。

將排量進行歸一化處理，轉換為功效系數G1為

2.4 綜合性能評價方法

根據多目標規劃原理，以差速泵排量S、脈動率σ、不根切最大模數mmax為子目標，利用子目標換算的 3 個功效系數幾何平均構建綜合目標評價函數G[23-27]，將多目標問題轉換為單目標問題。該方法可以避免單一目標過度而影響綜合性能評價結果。六葉片差速泵自由節曲線控制點多目標優化流程如圖4 所示，最后利用遺傳算法尋找使目標值G最大的自由節曲線控制點的Pareto 解[28-29]。

圖4 差速泵多目標參數優化流程Fig.4 Multi objective parameter optimization process of differential pump

3 驅動機構參數優化

3.1 優化軟件編寫

根據計算模型，構建遺傳算法的適應值計算程序，利用自由節曲線初始控制點建立遺傳算法優化區域描述器，包括模式和邊界信息，再調用遺傳算法GA 子程序，通過模式的選擇、交叉和變異作用，高于種群平均適應值的控制點模式在子代中將指數增長，即較優的解得以保留，通過 200 代的遺傳優化，以實現六葉片差速泵綜合性能的多目標參數優化。

在交互界面設計方面，通過MATLAB 的GUI 設計建立控制點初始參數、差速泵基本參數、遺傳算法參數及計算結果的交互界面，最終完成自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵綜合性能多目標優化軟件編寫。

3.2 多目標參數設置

1）優化控制點邊界確定

選用經過優化的1∶3 階傅里葉節曲線為控制點選取源，通過離散后每30 個序列間距提取1 個控制點，共取12 個坐標點作為初始控制點，在保證節曲線產生齒廓不產生根切的情況下，設置控制點坐標的最大值和最小值，作為多目標優化的參數邊界。為了讓自由節曲線封閉，增加設置3個輔助控制點，其中控制點K13=K1，K14=K2，K15=K3。具體如圖5 和表1 所示。

2）初始參數設置

根據試驗差速泵尺寸，通過人機交互方式，輸入葉片半徑為90 mm，葉片厚度為50 mm，葉片展角30°，葉輪軸半徑為 20 mm，設置參數，遺傳算法參數，遺傳算法種群數40 個，遺傳代數200 代，變量二進制位數40，種群個體選擇比例0.9，交叉率0.80，變異概率前100 代0.15，后100 代0.025，遺傳代數200 為優化終止條件。自動優化出差速泵進出口的結構參數和自由節曲線的 12個控制點的Pareto 解。

圖5 12 個獨立控制點和3 個輔助控制點的設置Fig.5 12 independent control points and 3 auxiliary control points

表1 12 個自由節曲線獨立控制點邊界Table 1 Boundary of 12 independent control points of free pitch curve mm

3.3 優化結果

將遺傳算法的編碼規則、種群、選擇、交叉和變異的參數及控制點的邊界條件輸入程序，計算得到 8 組自由節曲線控制點的 Pareto 解和排量、脈動率和不根切最大模數mmax，具體如表2 所示。

由表2 可知，排量在2 600.5 mL 的解分布最多，占比為62.5%，排量為2 540.0 mL 的最少，占比為37.5%。脈動率基本在 1 40%左右波動，區別很小。不根切最大模數mmax在 2 .5～2.6 mm 的解分布最多，占比為 8 7.5%，在2.5 mm 以下的解分布最少，占比為12.5%。第2 組的排量、脈動率和不根切最大模數mmax的綜合性能最優，排量保持在 2 600.5 mL 和mmax為 2 .60 mm 都為 P areto 解中的最優值，而脈動率為139.6%，相比最小值139.3%增加0.2%，差異不明顯，對差速泵的綜合性能影響不大，為此我們在Pareto 解選擇序號2 的解為最優自由節曲線的控制點。

自由節曲線經過多目標參數優化后，容積腔的變化規律得到改善，較優化前的1∶3 階傅里葉節曲線非圓齒輪驅動差速泵排量2 539.9 mL 增加2.4%，單泵脈動率較優化前的156.2%降低10.6%。

表2 自由節曲線12 個獨立控制點Pareto 解及對應的排量、脈動率和mmax 的值Table 2 Pareto solutions of 12 independent control points of free pitch curve and corresponding values of displacement, pulsation rate and mmax

由表2 中編號為2 的控制點生成的最優自由節曲線，如圖6a 所示，優化后的節曲線在優化前的傅里葉節曲線基礎上微調，主要將曲率半徑較小位置調大和曲率半徑較大位置調小，實現自由節曲線的不根切最大模數mmax的最大化，節曲線最小曲率半徑得到優化，不根切最大模數mmax增加了 30.0%，大幅度提升非圓齒輪承載能力。

在 3 個子目標及功效系數法綜合評價之下，不根切最大模數mmax和排量達到最優，脈動率為較優，最終解出最優自由節曲線控制點坐標，其生成的齒廓如圖6b 所示。該優化結果初步表明，自由節曲線在最優1∶3 階傅里葉節曲線進行優化是有效的，得益于自由節曲線具有更好的局部優化能力。

圖6 自由節曲線優化結果Fig.6 Optimization result of free pitch curve

4 六葉片差速泵試驗

為進一步驗證自由節曲線多目標優化的有效性，搭建試驗臺對優化前、后的自由節曲線非圓齒輪驅動的六葉片差速泵性能進行試驗比較，試驗用的非圓齒輪、差速泵及試驗臺如圖7 所示。

圖7 自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵試驗臺Fig.7 Test-bed of differential pump driven by non-circular gear with free pitch curve

差速泵試驗臺的電機功率為5 kW，利用變頻器進行調速控制，為避免高速造成額外的機械和流體沖擊，變頻器設定輸入軸的低轉速為 300 r/min。由于主動齒輪和從動齒輪的階數比為 1∶3，為此葉輪的平均轉速為100 r/min，旋轉一周的周期為 0.6 s。由于泵源脈動具有高頻的特點，目前主要基于瞬態高頻壓力變送器來測量和計算脈動率，在相同試驗環境下，差速泵輸出口的高頻壓力脈動可以表征不同自由節曲線非圓齒輪驅動差速泵泵源脈動強度。本文試驗使用愛爾AE-H 高頻壓力變送器，供電電壓為24 V，量程為0～1 MPa，電壓輸出為0～10 V，測量精度為±0.5%，數據采集裝置使用阿爾泰的采集卡和采集軟件，參考輸入軸轉速范圍，根據采樣定理將采集卡的采樣頻率設置為2 kHz。差速泵出口高頻瞬態壓力測試壓力變送器如圖7c 所示，通過采集軟件將實時電壓變化值實時轉換為壓力值，測量差速泵瞬態壓力和脈動率，如圖8 和表3 所示。

從圖 8 可知，自由節曲線控制點經過優化后，不改變節曲線的階數比，壓力曲線的周期不發生變化，因為自由節曲線選取的初始控制點已經為較優值，本文多目標優化是局部微調。優化前后壓力曲線差異較為明顯，差速泵出口壓力波峰寬度增加，主要原因是經過優化的自由節曲線在傳動比差值最大處的轉角范圍增加，葉片最快差速范圍得到擴展，該變化有利于降低脈動率和增加排量，能最大限度改善綜合性能。

圖8 自由節曲線差速泵單泵出口壓力曲線對比Fig.8 Comparison of pressure of single differential pump of free pitch curve

表3 優化前后自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵性能試驗比較Table 3 Performance comparison of six blade differential pump driven by non-circular gear with free pitch curve before and after optimization

根據表 3 數據，首先對優化前、后試驗值進行對比分析，經過多目標優化后自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵的每分鐘排量增加3.3%，容積效率增加1%，主要原因是差速泵性能改善，該結果可用于修正理論計算模型。不根切最大模數為2.6 mm，依據模數的國家標準系列，優化后非圓齒輪的實際齒廓模數2.5 mm，較優化前增加25.0%，按照齒輪傳動相關理論，模數增加可顯著提高非圓齒輪承載能力。差速泵實際脈動率降低3.1%，相比理論脈動率降低的幅度減少，主要原因是試驗中差速泵出口的紊流對泵源壓力脈動有增強作用，如圖 8 的壓力曲線會存在高頻波動，但是優化后脈動率降低的趨勢是一致的。由于實際脈動率降低，腔內流體的沖擊減弱，泵的間隙泄漏減少，為此容積效率有所提升。

對理論值和試驗值進行對比分析，自由節曲線優化前的不根切最大模數為2.0 mm，因符合模數標準，實際齒輪模數選不根切最大模數，脈動率的理論和試驗值僅相差2.43%，容積效率為87%。自由節曲線優化后的不根切最大模數為 2.6 mm，根據標準模數的規定，實際齒輪模數選擇2.5 mm，因理論和實際齒輪模數相差0.1 mm，影響了實際的傳動規律，為此脈動率的理論和試驗值相差9.99%，容積效率增加1%。多目標參數優化計算結果和試驗結果在差速泵 3 個子目標性能改善趨勢上基本一致，驗證了自由節曲線經過多目標參數優化對提升差速泵綜合性能是有效的。

5 結 論

1）根據六葉片差速泵設計原理，建立自由節曲線非圓齒輪驅動差速泵多目標參數優化計算模型，主要建立差速泵排量子目標、脈動率子目標和不根切最大模數子目標計算模型和 3 個功效系數，并利用幾何平均構建差速泵綜合性能目標評價函數。

2）利用較優節曲線的 12 個初始控制點，構建多目標優化的控制點參數邊界，根據遺傳算法、子目標模型和差速泵綜合性能目標評價函數編寫差速泵的優化軟件，計算結果表明，自由節曲線多目標參數優化可明顯提升不根切最大模數，有效增加排量并降低脈動率，可顯著提升差速泵的綜合性能。

3）對優化后的自由節曲線非圓齒輪驅動的差速泵進行試驗研究，在相同泵殼容積和測試環境下，經過多目標優化后，自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵的每分鐘排量增加3.3%；不根切最大模數為2.6 mm，按照國家標準模數系列，非圓齒輪的實際齒廓模數 2.5 mm，增加 25%，可大幅度提高非圓齒輪承載能力；差速泵單泵脈動率降低3.1%，流體的沖擊減弱，泵的間隙泄漏減少，容積效率有所提升。計算結果和試驗結果都表明多目標參數優化對提升自由節曲線非圓齒輪驅動六葉片差速泵綜合性能有效。