基于變分模態分解時頻圖的軸承故障診斷

李 輝

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222）

近年來，Huang 等[1]提出的經驗模態分解（empirical mode decomposition，EMD）技術在非平穩信號處理中得到了廣泛的應用[2-5]，主要用于非平穩、非線性信號的分析，但經驗模態分解技術不僅存在端點效應、易受噪聲影響、模態混疊效應、難以有效分離多個頻率相差很小或幅值相差較大的信號等缺陷，而且還缺乏理論推導基礎，分解過程采用的篩選算法（sifting algorithm）過分依賴于應用的極值點尋找方法、上下極值包絡線的插值方法和循環停止準則，因而影響了EMD 的實際應用效果[6-7]。例如：模態混疊效應使EMD分解后的固有模態函數（IMF）不是單頻率信號，致使其物理意義模糊不清，信號特征難以有效識別；噪聲的影響使EMD 難以有效分離各模態分量，夾雜在信號中的微弱信號往往會被能量較大的信號成分淹沒。近年來，為改善EMD 的性能，學者們提出了許多改進措施，為消除EMD 模態混疊現象，Wu 等[8]提出了總體平均經驗模態分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）技術，但 EEMD 技術也難以有效提取強噪聲環境中的有用信號分量，而且還延長了信號處理時間，增加了計算負擔，難以取得預期的效果。許多學者也針對EMD 的缺陷，提出了新的信號分解方法[9-12]，如同步壓縮小波變換（synchrosqueezed wavelettransform，SWT）、經驗小波變換（empiricalwavelet transform，EWT）等，并取得了一些較理想的效果。最近，美國學者Dragomiretskiy 等[13]基于變分計算和窄帶信號分析理論，提出了變分模態分解（variational mode decomposition，VMD）信號分析方法，并成功應用于心電圖（electrocardiogram，ECG）信號分離。VMD 不僅避免了模態混疊現象，而且能從強背景噪聲中有效提取各個固有模態分量，提高了計算效率、信號分離的可靠性和信噪比。本文簡要介紹VMD 的基本原理，給出其計算算法，并對VMD 不足之處進行完善，將該方法與時頻圖相結合，提出基于變分模態分解時頻圖的軸承故障診斷方法，并應用VMD 時頻圖方法對齒輪箱軸承的故障進行識別，提高了軸承故障診斷效果。

1 變分模態分解（VMD）的基本原理

變分模態分解[13]的主要思想是利用變分法將時域信號x（t）分解為一系列固有模態函數uk（t）的和，每個固有模態函數在頻域內，對其中心頻率ωk是緊支的而且稀疏，變分模態分解利用交替方向乘子算法（ADMM）優化方法同時優化計算出各個固有模態函數及其中心頻率。步驟如下：

（1）計算每個固有模態函數uk（t）的Hilbert 變換，記為

約束于

利用二次懲罰項和增廣拉格朗日乘子法（augmented Lagrangian multiplier method）將式（1）表示的約束優化問題轉化為無約束優化問題

式中：λ 為拉格朗日乘子；α 為信號噪聲方差。

式（2）表示的無約束優化問題可以采用交替方向乘子算法優化方法進行求解，即

②重復循環；

n←n+1

for k=1 ∶K

對于所有ω≥0，更新拉格朗日乘子λ

這樣，對于一個時間序列信號x（t），使用變分模態分解（VMD）技術可以得到

即時間序列信號x（t）可表示為若干個固有模態函數（IMF）和一個殘余信號的和。

對比VMD 與EMD 的信號分解過程可知，VMD與EMD 技術的主要區別如下：

（1）VMD 不采用循環方式，而是一次分解出所有的固有模態分量，因而計算效率更高；而經驗模態分解（EMD）技術采用循環的方式，每循環一次，只篩選出一個固有模態函數（IMF），然后再進行下次循環，直到最后的殘余信號為一個單調函數時，篩選過程才停止。

（2）VMD 利用變分原理和窄帶信號分析理論，通過交替方向乘子算法（ADMM）優化方法，在頻域內尋找每個固有模態函數的中心頻率，以確保分解出的各固有模態函數（IMF）為窄帶信號，因噪聲為寬帶信號，因此VMD 分解的各固有模態函數受噪聲影響很小，既保證了幅值小的信號分量不被幅值大的信號分量淹沒，又提高了信號分解的準確性和可靠性，能保證一次分解出全部的固有模態函數。而經驗模態分解（EMD）技術，每一次循環篩選，均需計算出信號x（t）上的所有極大值點以及極小值點，并分別用3 次樣條函數擬合所有極大、極小值點，從而分別得到被分解信號x（t）的上、下包絡線，然后經過復雜計算，篩選出一個固有模態函數（IMF），因而經驗模態分解技術易受噪聲影響，甚至有時會嚴重影響信號篩選的準確性。

2 基于VMD 的信號仿真

下面用一個仿真信號來驗證VMD 的有效性，仿真信號由以下信號成分組成

式中：n（t）為均值為 0 的白噪聲。

仿真信號由一個掃頻信號x（1t）、200 Hz 正弦信號x（2t）和調頻信號x（3t）（基頻為396 Hz、調制頻率為20 Hz）組成，以仿真不同頻率、不同能量的信號成分。通過該仿真信號，驗證VMD 信號分解的可靠性和準確性。

圖1 為仿真信號各信號分量的時域圖，采樣點數為1 000，采樣頻率fs為1 000 Hz，采樣時間為1 s。圖2為疊加高斯白噪聲后的合成信號，合成信號的峰值信噪比 PSNR 為 17.071 1，信噪比 SNR 為 6.822。

圖3 為圖2 所示的仿真信號VMD 分解的結果，VMD 將仿真信號分解為3 個信號分量u1~u3，其中，u1為仿真信號中的掃頻信號分量x（1t），u2為仿真信號中200 Hz 的正弦信號分量x（2t），u3為仿真信號中基頻為396 Hz 的調頻信號分量x（3t）。

圖1 仿真信號分量時域圖

圖2 噪聲合成信號

圖3 變分模態分解

圖4 重構合成信號

由u1、u2和u3重構的合成信號如圖4 所示。從圖3 和圖4 可以看出：由于VMD 方法根據信號分量的窄帶前驗知識對各信號分量的中心頻率進行了合理估計，不僅有效提取了染噪信號中的不同信號分量，降低了信號中的噪聲影響，提高了信噪比，而且也沒有產生模態混疊現象。重構信號的信噪比為10.153 6，峰值信噪比為17.566 7，重構信號的均方根誤差MSE為0.095 568 4，提高了信號的信噪比。圖5 為重構信號的時頻分布（VMD），在時頻平面內，VMD 將圖 2 中的3 個信號分量進行了有效分離。圖3、圖4 和圖5 表明：VMD 在時域和時頻域中都能有效地將合成信號中具有不同時間尺度特征的信號分量篩選出來，有效降低噪聲影響，消除模態混疊效應，使篩選出的固有模態函數具有確定的物理意義，因而VMD 是一種有效的信號處理方法。

圖5 重構信號的時頻分布（VMD）

為了驗證VMD 的有效性，將VMD 與EMD、EEMD進行對比。圖6 為圖2 所示仿真信號的EMD 分解結果，EMD 將染噪信號分解為8 個信號分量c1~c8和1個殘量，從圖6 中EMD 分解結果看，因EMD 產生了嚴重的模態混疊，且噪聲對分解結果也產生了嚴重影響，因此不能從時域內判斷c1~c8與原信號中各個信號分量的對應關系。EMD 分解后的時頻圖（Hilbert-Huang transform，HHT）如圖 7 所示。從圖 7 中可以看出，HHT 圖中僅顯示了掃頻信號分量x1（t），而原信號中的正弦信號x2（t）和調頻信號分量x3（t）沒有有效顯示，表明EMD 受噪聲影響大，有用信號被淹沒在噪聲中，且產生了嚴重的模態混疊，導致各有用信號分量不能有效分離，信號能量分散在整個時頻平面內。

總體平均經驗模態分解（EEMD）如圖8 所示，重構信號的時頻分布（EEMD）如圖9 所示。EEMD 將染噪仿真信號分解為9 個信號分量c1~c9和1 個殘量，從圖8 中可以看出，c1為合成信號中的掃頻信號分量，而仿真信號中正弦信號分量和調頻信號分量也被完全淹沒在噪聲信號中，不能有效分離。

圖6 經驗模態分解（EMD）

圖7 EMD 分解后的時頻圖

通過以上分析，分別對比時域分解圖3、圖6 和圖8，時頻分布圖 5、圖 7 和圖 9，可以看出：VMD 不僅能有效提取染噪信號中的微弱有用信號分量，對染噪信號進行有效降噪，并能有效消除模態混疊效應的影響，而且計算時間快，計算時間對比如表1 所示。故可以得出結論：VMD 從含噪信號中提取有用信號分量的能力優于經驗模態分解方法和總體平均經驗模態分解方法，VMD 受噪聲的影響因素較小，在噪聲環境下，有用信號分量的分離比較穩健，且不產生模態混疊現象。

圖8 總體平均經驗模態分解（EEMD）

圖9 重構信號的時頻分布（EEMD）

表1 計算時間對比

3 基于VMD 時頻圖的軸承故障檢測

采用某型號齒輪箱輸入端軸承進行實驗，滾動軸承型號為208，在不影響軸承使用性能的情況下，使用線切割機床，在滾動軸承外圈、內圈上沿軸承厚度方向各加工一處深1 mm、寬0.5 mm 的微型小槽，以分別模擬滾動軸承外圈、內圈局部裂紋故障，并由式（11）和式（12）計算軸承故障特征頻率[4]。

滾動軸承外圈故障特征頻率為

滾動軸承內圈故障特征頻率為

式中：D 為滾動軸承中徑；d 為滾動體直徑；z 為滾動體的個數；α 為接觸角；fr為滾動軸承內圈的轉動頻率。

實驗測試系統為多分析儀系統B&K3560，振動傳感器型號為B&K 4508。電動機額定轉速為1 500 r/min，采樣頻率為32 768 Hz。208 滾動軸承的幾何尺寸數據為：D=97.5 mm；d ＝ 18.33 mm；z=10；α =0°。根據式（11）、式（12）計算得到滾動軸承內圈的轉動頻率、滾動軸承外、內圈故障特征頻率為

3.1 軸承內圈故障診斷

圖10 為滾動軸承內圈故障時采集的振動信號。在滾動軸承內圈表面存在局部裂紋情況下，當滾動軸承的內圈隨軸旋轉時，滾動軸承的滾珠不斷撞擊軸承內圈的局部裂紋，將產生峰值較高的高頻振動信號系列，但由于滾動軸承內圈故障振動信號受傳遞路徑和其他零部件的影響，因而軸承內圈故障振動信號易被噪聲淹沒，信噪比較低。因此，簡單地根據滾動軸承內圈故障振動信號的時域波形特征很難有效診斷軸承故障，需要進行進一步的處理和分析。

圖10 滾動軸承內圈故障振動信號

圖11 為軸承內圈故障振動信號經高通濾波后計算的包絡譜，在滾動軸承內圈故障特征頻率處存在明顯的峰值，但由于受噪聲影響及高通濾波頻帶選擇的原因，不僅滾動軸承內圈故障特征頻率的分辨率較低，而且在滾動軸承內圈特征頻率及其高倍頻處，也沒有出現以軸的旋轉頻率為間隔的邊頻帶信息，邊頻帶信息模糊不清，因此滾動軸承內圈故障特征既不典型也不清晰。

圖11 軸承內圈故障的包絡譜

圖12 VMD 分解信號分量

圖12 為軸承內圈故障振動信號VMD 分解的結果，共 4 個分量 u1~u4和 1 個殘余信號。在圖 12 中，u1~u4信號分量中存在比較明顯的周期性瞬態沖擊，為滾動軸承內圈局部裂紋故障引起的高頻沖擊振動信號所致，殘余信號分量Res 為低頻噪聲。對比圖12 和圖10 可知：由于VMD 能有效從強噪聲環境中分離出有用的信號，更能突顯軸承內圈故障引起的高頻沖擊振動，因而有利于提高軸承故障診斷的準確性和可靠性。

為了驗證VMD 的有效性，給出了軸承內圈故障振動信號經VMD 信號分解后，由u1~u4信號分量重構信號的時頻圖，如圖13 所示。

從圖13 中可以看出，由滾動軸承內圈局部裂紋故障產生的周期性的瞬態沖擊信號系列，在基于VMD的時頻譜圖中得到了很好的刻畫，圖13 中周期瞬態沖擊的時間間隔為滾動軸承內圈故障的特征周期＝0.006 734 s。所以，基于VMD 時頻譜圖技術能有效識別滾動軸承內圈局部裂紋故障。通過上述分析可知：圖12、圖13 的實際處理結果與理論分析一致。因此，驗證了VMD 時頻譜圖技術在滾動軸承故障診斷中的正確性和有效性，提高了在噪聲環境下軸承故障診斷的可靠性，為軸承故障診斷提供了一種有效方法。

圖13 滾動軸承內圈故障振動信號的時頻圖（VMD）

為了突顯VMD 的優勢，給出了圖10 軸承內圈故障振動信號的EMD 分解信號分量，如圖14 所示。

圖14 EMD 分解信號分量

從圖14 可以看出，EMD 將振動信號分解為10 個分量c1~c10和1 個殘量，其中c1~c4為軸承內圈故障引起的高頻沖擊，但由于EMD 時域分辨率較低，軸承內圈故障引起的周期性瞬態沖擊不太明顯，c5~c10為EMD 因模態混疊產生的無用分量。

圖15 為EMD 分解后的時頻圖，由于噪聲對EMD分解影響大，不能有效消除噪聲的影響，且產生了嚴重的模態混疊現象，因此從圖15 看出：軸承內圈故障振動信號的能量分散在了整個時頻平面內，時頻分辨率很低，因而不能有效識別軸承的故障類型。對比圖13 和圖 15 可知：VMD 與EMD 相比，不僅能提高時域分辨率，而且能提高時頻域分辨率，能從噪聲環境中有效提取軸承內圈故障振動信號的特征，提高了軸承故障診斷的可靠性和準確性。

圖15 軸承內圈故障振動信號的時頻圖（EMD）

3.2 軸承外圈故障診斷

由于滾動軸承外圈固定在減速器箱體上，軸承外圈是相對靜止的，因此當滾動軸承外圈存在局部裂紋故障時，軸承外圈故障點到加速度傳感器之間的振動信號的傳遞路徑保持不變，而且分布到滾動軸承故障點的靜態載荷密度不變化，因此旋轉的滾動體不斷撞擊軸承外圈局部裂紋產生的高頻振動信號，其頻域故障特征表現為：出現滾動軸承外圈故障特征頻率及其高次諧波，且各次諧波幅值按指數規律逐漸遞減[14]。

圖16 為軸承外圈存在局部裂紋故障的振動信號，圖17 為軸承外圈故障信號VMD 分解的結果，共4個分量u1~u4和1 個殘余信號，其中u1~u4信號分量中呈現出比較明顯的周期性瞬態沖擊現象，為軸承外圈局部裂紋故障引起的高頻沖擊振動系列所致，殘余信號分量為低頻噪聲信號。軸承外圈故障振動信號VMD分解后的時頻圖如圖18 所示。

從圖18 可以看出，VMD 時頻譜圖很好地描述了滾動軸承外圈局部裂紋產生的周期性瞬態沖擊現象，且瞬態沖擊系列的時間間隔等于滾動軸承外圈故障的特征周期為0.009 852 s，與理論分析吻合。

圖16 滾動軸承外圈故障振動信號

圖17 VMD 分解信號分量

圖18 軸承外圈故障振動信號的時頻圖（VMD）

4 結 語

本文介紹了基于VMD 時頻圖的滾動軸承局部裂紋故障診斷方法。VMD 綜合利用了維納濾波和信號變分的優點，通過交替方向乘子算法進行優化計算，通過分解可一次獲得信號中蘊含的不同固有特征的固有模態函數，不僅能有效提取淹沒在強噪聲環境中的微弱信號分量，而且能有效消除模態混疊效應現象，極大地提高了信噪比。基于VMD 時頻圖的軸承故障診斷方法能有效診斷軸承故障類型，其性能優于傳統經驗模態分解方法和總體平均經驗模態分解方法。