沖擊激勵下磁懸浮轉子系統的響應特性分析

鄒博，徐園平，周瑾

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

磁懸浮軸承因其剛度阻尼可調，被廣泛應用于轉子系統的主動抑振中[1-2]。目前，許多學者正在開展其應用技術的相關研究[3]。然而，學者們在磁懸浮轉子系統的沖擊響應特性上的研究還不夠深入。LAWRENCE Hawkins等[4]使用地形模擬器激振，測試了車載立式磁懸浮飛輪抗基礎沖擊的性能。M O T Cole等[5]對柔性轉子系統施加沖擊載荷，比較了3種控制策略下轉子的沖擊響應情況。ZHU Changsheng[6]使用力錘對試驗臺施加沖擊力，研究了沖擊幅值、脈寬和基礎振動模態對磁懸浮轉子系統振動特性的影響。實際應用中，沖擊信號的組成十分復雜。在不同波形沖擊下，沖擊幅值和脈寬對響應特性的影響隨之不同。同時，當碰到電機故障或葉片磨損時，轉子承受的不平衡力會產生波動，沖擊響應特性也會隨之不同。針對這一問題，本文重點研究沖擊激勵和不平衡波動對磁懸浮轉子系統響應特性的影響。

1 沖擊激勵時磁懸浮轉子系統的運動方程

沖擊激勵過程中，假設低速旋轉的磁懸浮轉子系統仍然處于剛性狀態。轉子質心處的動坐標系為O1xyz，其中，x軸和y軸沿著轉子的法向，z軸沿著轉子的軸向。坐標系O2XYZ固定在地面作為參考坐標系。在初始時刻，兩坐標系各個軸相互平行，X軸和Y軸的正向分別偏離重力方向135°。磁懸浮轉子系統的模型圖如圖1所示。其中，l1、l2分別為兩端磁軸承的電磁鐵到質心的距離，ls1、ls2分別為兩端保護軸承到質心的距離。磁懸浮軸承的結構參數如表1所示。

圖1 磁懸浮轉子系統的模型圖

假設垂向沖擊時，轉子系統的底座只產生平移運動。將轉子的動能T、勢能V和耗散能D代入Lagrange方程中，即可以得到沖擊激勵時轉子的運動微分方程式(1)。

表1 磁懸浮軸承的結構參數

(1)

其中：函數L=T-V；qi為廣義坐標；Qi為廣義力。轉子的運動微分方程為

(2)

其中：qc=[x,y,α,β]T為質心處轉子的位移；f為電磁力向量；Fg為重力向量；M為質量矩陣；G為陀螺矩陣；B為轉換矩陣；Fu為不平衡力向量；Fb為基礎平移振動所等效的慣性力，即

(3)

為了便于研究，將電磁力轉化為彈性力和阻尼力，并將位移統一轉化為保護軸承處轉子的位移，則轉子的運動微分方程為

(4)

其中：qs=[xs1,ys1,xs2,ys2]T為保護軸承處轉子位移；K、C分別由磁懸浮軸承的支承剛度阻尼矩陣所組成。位移向量之間的轉化關系為qc=Rqd和qc=Tqs。其中：qd=[x1,y1,x2,y2]T為電磁鐵處轉子的位移。

2 磁懸浮轉子系統的沖擊響應計算

將電磁力的表達式代入式(2)并簡化，將其轉化到頻域，即可推導出磁懸浮軸承的等效剛度阻尼為

(5)

其中：Ki為力-電流系數矩陣；Kx為力-位移系數矩陣；Ga、Gc和Gs分別為功率放大器、PID控制器和傳感器的傳遞函數矩陣；ω為轉速。

為了簡化分析，在后面的分析過程中，統一忽略基礎振動時磁懸浮軸承支承特性的變化，并不計交叉剛度阻尼和耦合剛度阻尼的影響。為不失一般性，選擇半正弦脈沖沖擊和矩形脈沖沖擊進行研究。轉子的結構參數如表2所示。

根據相關辨識試驗可知，磁懸浮軸承的支承剛度阻尼較小[7]，不妨將兩端磁懸浮軸承沿各個方向的剛度、阻尼均設定為1×106N/m和700N·s/m。令轉速為100r/s，偏心距為5μm，沖擊幅值為10g，脈寬為20ms。采用龍格庫塔法計算位移，取初始時刻的狀態值為0，仿真時間為2s，沖擊信號作用于1s時。將觀察時間段縮小至0.98s～1.08s，觀察左端保護軸承處轉子的位移，如圖2所示。

表2 計算用轉子的結構參數

圖2 兩種沖擊激勵下轉子的響應圖

可以看到，轉子的最大沖擊響應幅值均出現在沖擊激勵過程中。注意，轉子會由于靜變形而偏離平衡位置。實際應用中，由于磁懸浮軸承反饋控制環節的作用，磁懸浮轉子系統會在平衡位置處波動。

3 沖擊響應幅值的影響因素分析

將沖擊幅值從1g增加到12g，脈寬從2ms增加到40ms，轉速為100r/s，偏心距為5μm，支承參數的數值不變，觀察轉子響應幅值的變化，如圖3和圖4所示。

圖3 半正弦沖擊幅值和脈寬的影響圖

圖4 矩形沖擊幅值和脈寬的影響圖

從圖3中可以看到，隨著沖擊幅值的增大，半正弦沖擊下位移增大的速度隨著脈寬波動而改變，且在小脈寬條件下位移增大的速度最大。從圖4中可以看到，當脈寬>5ms時，矩形沖擊下位移增大的速度基本上不受脈寬波動的影響。對比圖3和圖4可以發現，當沖擊幅值為12g，脈寬>5ms時，矩形沖擊下的位移均大于半正弦沖擊下的位移。

令轉速從50r/s增加到250r/s，偏心量從5μm增加到40μm，沖擊幅值為10g，脈寬為20ms，支承參數按照式(5)計算，且仍然只考慮直接剛度阻尼的影響，計算轉子的沖擊響應幅值，如圖5和圖6所示。分析時取傳感器Gs(s)=20 000V/m，PID控制器的比例系數kP=3，積分系數kI=1，微分系數kD=0.002，時滯系數Tf=0.000 1，功率放大器Ga(s)=0.36A/V，力-電流系數為ki=58.77N/A，力-位移系數kx=-2.64×105N/m。

圖5 半正弦沖擊下轉速和偏心量的影響圖

圖6 矩形沖擊下轉速和偏心量的影響圖

從圖5和圖6中可以看到，隨著偏心量的增大，位移增大的速度會隨著轉速波動而改變，且當轉速<100r/s時，位移增大的速度較小。當轉速>100r/s時，增大偏心量會導致轉子的位移迅速增大。可見，在高速條件下，應盡量考慮減小轉子的偏心量。對比圖5和圖6可以發現，矩形沖擊下的最大響應幅值明顯大于半正弦沖擊下的最大響應幅值。

4 結語

通過分析兩種典型沖擊激勵下轉子的響應特性，得出如下結論：

1) 隨著沖擊幅值的增大，半正弦沖擊下位移增大的速度會隨脈寬波動而改變。而當脈寬>5ms時，矩形沖擊下位移增大的速度基本上不受脈寬波動的影響。

2) 隨著偏心量的增大，兩種沖擊載荷激勵下位移增大的速度均會隨轉速波動而改變，且在轉速低于100r/s時位移增長的速度比較小。

3)矩形沖擊下轉子更易撞上保護軸承。在高速條件下，減小偏心量有助于提高其抗沖擊的能力。因此，實際應用中應盡量減小轉子的偏心量。