三階時滯泛函微分方程的振動性

侯曉磊

山西工商學院計算機信息工程學院，山西 太原 030006

文獻[1]研究了方程((r2(t)r1(t)y′)′)′+p(t)y′+q(t)f(y)=0，利用廣義Riccati變換建立了該方程至少存在一個振動解的充分條件.文獻[2]進一步研究了形式為((r2(t)r1(t)y′)′)′+p(t)y′+q(t)f(y(g(t)))=0的三階非線性時滯微分方程的振動性.文獻[3]研究了

(a)r1,r2∈C[T0,+∞),r1>0,r2>0;

(b)q∈C[T0,+∞),q(t)≥0且當t趨于無窮大時q(t)≠0;

(c)p∈C1[T0,+∞),p(t)≥0;

(e)f∈C1(-∞,+∞)∩C1(-∞,0)∩C′(0,+∞),uf(u)>0,f′(u)≥0(u≠0);

在以上研究的基礎上，本文討論的是下列三階時滯泛函微分方程的振動性

(r2(t)(r1(t)y′(t))′)′+p(t)y′(t)+q(t)f(y(σ1(t)),y(σ2(t)),...,y(σk(t)))=0t≥T0

(1)

這里T0>0，此方程滿足下列條件：

(a)r1,r2∈C[T0,+∞),r1>0,r2>0;

(b)q∈C[T0,+∞),q(t)≥0且當t趨于無窮大時q(t)≠0;

(c)p∈C1[T0,+∞),p(t)≥0;

1 準備工作

引理1 假設

(2)

是非振動的,如果y(t)是方程(1)的一個非振動解,那么如果存在一個T1≥T0,對于所有的t≥T1,有y(t)L1y(t)>0或y(t)L1y(t)<0.

證明 設y(t)是方程(1)的一個最終正解,存在一個T1≥T0對于所有的t≥T1時,總有y(t)>0,y(σi(t))>0(σi(t)≥T1).顯然x(t)=-L1y(t)是二階非齊次微分方程

(3)

的解.下證方程(3)的所有是非振動的.令z(t)是(2)式的一個解,z(t)>0.設x(t)是方程(3)的一個解，如果它有兩個相鄰的零點b,c(b0,t∈(b,c),x′(b)≥0,x′(b)≤0,并有

(4)

(5)

將(2)式乘以x(t)減去(3)式乘以z(t)有

x(t)(r2(t)z′(t))′-z(t)(r2(t)x′(t))′=-q(t)z(t)f(y(σ1(t)),y(σ2(t)),...,y(σk(t)))=0

即

r2(t)(x(t)z′(t))-(x′(t)z(t))′=-q(t)z(t)f(y(σ1(t)),y(σ2(t)),...,y(σk(t)))=0

(6)

將(6)式從b到c積分得

矛盾,所以對于所有的t≥T1,有y(t)L1y(t)>0或y(t)L1y(t)<0.

(7)

若y(t)是方程(1)的一個非振動解,并且當t充分大時,有y(t)L1y(t)≥0,那么存在一個T2≥T1,使得對于所有的t≥T2時有

L0y(t)Lky(t)>0k=0,1,2L0y(t)L3y(t)≤0

(8)

證明y(t)是方程(1)的一個非振動解,我們不妨設y(t)>0,顯然

L0y(t)L0y(t)=y2(t)>0L0y(t)L1y(t)=y(t)L1y(t)>0

由L3y(t)≤0知L2y(t)是遞減函數,不妨設L2y(t)≤0,那么存在一個正數M1，使

(9)

(10)

易證每個具有V2性質的非振動解y(t)是無界的.

p2′(t)≥0φ(t)≥0φ′(t)≥0

(11)

(12)

2 主要結果

其中,C=L2y(T),得L2y(t)<0.矛盾.