新工科背景下線性代數教學改革與探索

楊威 高淑萍 陳懷琛 李兵斌

摘? 要：以國家精品在線開放課程《實用大眾線性代數》為例，根據新工科背景下人才培養的成果導向理念，對線性代數教學進行改革，通過課程體系簡潔化、教學內容形象化、應用實例多樣化、MATLAB深入化及信息技術全面化等教學理念的應用，使得線性代數學以致用，培養了學生運用理論知識解決實際問題的能力。

關鍵詞：新工科;成果導向;線性代數;MATLAB;MOOC

中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）05-0008-05

Abstract： Taking "Applied Popular Linear Algebra with MATLAB" of the national quality MOOCs as an example. According to the OBE concept of personnel training under the background of emerging engineering education， the teaching of linear algebra is reformed. By using the teaching methods of concise curriculum system， visualization of teaching content， diversification of application examples， deepening of MATLAB and comprehensiveness of information technology， it is trained ability to solve practical problems by using theoretical knowledge.

Keywords： emerging engineering education（3E）; outcome based education（OBE）; linear algebra; MATLAB; MOOCs

一、新工科背景下人才培養新理念

隨著我國經濟轉型、國家戰略的實現及新經濟快速發展，對新型工科人才需求增加，2016年，新工科概念首次提出，2017年初正式拉開了全國范圍工程教育改革的帷幕。新工科的人才培養理念是用成果導向替代學科導向，成果導向又由以學生為中心、反向設計和持續改進三個理念組成。以學生為中心的教學內容主要取決于學生學什么，教學方法主要取決于學生怎么學，教學評價主要取決于學生學得怎么樣。教學本質就是“教學生學”，教學生“樂學”、“會學”、“學會”。教學目的是：“教為不教，學為會學”。反向設計理念是針對傳統的正向設計而言的，反向設計是從需求開始，由需求決定培養目標，再由培養目標決定畢業要求，再由畢業要求決定課程體系。成果導向是反向設計、正向實施，這時“需求”既是起點又是終點，從而最大程度上保證教育目標與結果的一致性[1]。

二、新工科背景下線性代數教學存在的問題

線性代數是所有高校工科專業的一門重要基礎課程，同時它也是工程數學中最重要的組成部分，它還是學生學習后續課程的前提和工具。隨著新技術的高速發展，線性代數也滲透到工程、經濟、信息、社會等各個領域。在新工科的教育改革中，很多高校對公共基礎課程都進行了壓縮。以西安電子科技大學為例，線性代數課程從原來的56學時壓縮到40學時，課時減少了近1/4。然而線性代數具有高度抽象、邏輯嚴密、符號獨特等特點，因此很多初學者覺得這門課難理解;另一方面，新工科的人才培養新理念要求培養適應未來工程發展需求的具有可持續性競爭力的應用型工程人才[1]。線性代數內容抽象、課時又減少，而對人才培養又提出了新的要求，在這樣的新工科背景下，線性代數課程的教學改革就顯得非常重要。

目前，大多國內高校數學類課程教學模式落后，以教師為中心的現象仍然普遍存在，課堂填鴨式教學讓學生苦不堪言。教學內容陳舊，缺乏應用案例，沒有把MATLAB與線性代數相結合。教學評價單一，僅僅通過期中和期末考試來評定學生成績。這些都嚴重影響了學生創新思維的培養。

三、新工科背景下線性代數教學改革

美國在1990年對線性代數課程改革提出以下建議：1.教學大綱必須響應其他學科的需求，在學生后續課程的學習中能感受到線性代數的作用。2.線性代數應從具體實際例子出發引出概念和理論。3.計算機技術必須應用在線性代數教學中[2]。

從2005年開始，西安電子科技大學對線性代數課程進行了長期、持續的改革與探索，教育部“使用信息技術工具改造課程項目”——用MATLAB和建模實踐改造工科線性代數子項目帶動了全國19所大學進行改革試點，其改革成果得到教育部數學教指委的高度認可，首批國家精品在線開放課程《實用大眾線性代數》就是持續改革的成果之一[3]。

（一）課程體系簡潔化

根據新工科人才培養的成果導向理念，課程體系的制定要從人才培養的需求入手，而新工科背景下，需要大量的可持續競爭力的應用型工程人才。《實用大眾線性代數》以方程組為主線，從方程組出發，引出矩陣的定義、矩陣運算及應用、行列式、向量空間及特征值特征向量。表1給出了它與同濟大學數學系編寫的《工程數學線性代數》（第六版）在課程體系上的差異[4][5]。該課程刪減了一些工程中不常用的復雜概念，增加了一些工程應用內容，降低了課程難度和理論門檻，減少了課時量，使大一學生及工作多年的工程技術人員都能容易掌握。課程體系的建立與新工科背景下人才培養理念相吻合。

（二）教學內容形象化

新工科人才培養強調了以學生為中心，教師考慮的最重要的問題是“學生怎樣能學好”，這就要求發揮教師的主觀能動性，把線性代數抽象概念形象化是教師的首要任務。

1. 幾何概念全方位引入

線性代數與幾何緊密相關，線性代數許多概念、公式和定理都可以得到幾何意義的解釋，另一方面，線性代數理論也為幾何問題提供了有效的解決方法。所以把幾何含義融入線性代數教學中，首先可以提高學生學習興趣，幫助學生了解相關概念的背景;其次可以把抽象問題形象化，使學生在形和數的統一中進一步體會到抽象概念的內涵，從而培養了學生抽象思維能力和解決實際問題的能力[6]。

《實用大眾線性代數》課程全方位地把幾何概念引入到課程各章中，表2給出課程涉及的部分幾何含義[4]。

2. 類比思想的應用

適當地運用類比思想可以讓學生的思維從熟悉的知識向新知識轉移，從而更容易掌握新知識[7]。在線性代數的教學中類比思想分為兩類。一類是線性代數本身內容之間的類比，比如用低階行列式類比高階行列式，用低維向量類比高維向量等，這種類比實質上就是由簡單到復雜、由特殊到一般的思想方法。另一類是其他知識和線性代數知識間的類比，表3給出了幾個類比的典型實例。

3. 分類方法的應用

分類是一種很好的形象化教學方法。通過分類，學生可以更好地理解和記憶線性代數繁多概念和公式，也更容易從中發現規律和解決問題的方法。表4對線性代數的一些概念進行了分類[8]。

4. 列表與概念圖的應用

列表和概念圖是形象化教學的又一方法。從心理學角度出發，人對圖表的記憶力會比單純的文字強很多，圖表可以將細碎的知識以簡單的形式有組織有次序的表達出來。一個有效的列表或概念圖能夠把人腦中隱性知識顯性化、可視化，可以開發學生智力，培養學生的創新能力。圖1給出了矩陣可對角化的判斷定理框圖，圖2給出了矩陣等價、相似與合同之間的邏輯關系框圖。

5. 突破思維慣性

新工科人才培養強調了以學生為中心，教師就必需充分了解學生，學生“學會了”、“會學了”才是好的教學效果。對于剛進大學的學生而言，必須突破原有的數學思維慣性，才能很好的掌握線性代數知識。突破思維慣性最好的方法之一就是“錯講教學法”和“錯例解析法”。“錯講教學法”是教師課堂設計一個錯誤的結論，讓學生分析討論;“錯例解析法”是把學生出錯題目作為例題講解討論。表5給出矩陣運算中最容易出錯的問題[8]。

（三）應用實例多樣化

新工科成果導向理念的核心之一就是反向設計，從人才“需求”出發來制定教學環節，在新工科背景下，需要大量的工程實用人才，所以線性代數的應用就顯得極為重要。

1. 從應用實例出發引出線性代數概念

教師應該廣泛地聯系生活場景及其他相關學科，從學生熟悉和感興趣的問題出發，引出線性代數概念[9]。比如，可以從一些生活場景實例引出矩陣加法和乘法運算概念;可以從力對物體做功的物理知識引出向量的內積運算;可以從0沒有倒數引出奇異矩陣的概念。

2. 制作后續課程相關應用實例

線性代數是很多后續課程的基礎和工具，學生通過了解線性代數在后續課程的應用，不僅可以提高學習線性代數的興趣，同時也為后續課程的學習打下了基礎。《實用大眾線性代數》課程針對：電路、力學、信號與系統、數字信號處理、空間解析幾何、測量學、動漫技術、自動控制系統、機器人運動學、文獻管理及經濟管理等后續課程給出了相關應用實例[4]。

3. 制作不同專業背景的應用實例

根據不同學科和專業的學生，引導學生提出和學科專業相關的實際問題，分析并討論用線性代數來解決問題的方法，可以培養學生的創新性思維能力[6]。例如可以為經濟管理專業學生講解生產成本、管理決策的例子;為信息工程專業學生講解信息編碼的例子;為計算機專業學生講解動漫技術的例子等。

《實用大眾線性代數》課程給出了大量工科后續課程和不同專業的應用實例29個，視頻總時長300余分鐘，其比例占到課程總內容的1/3[3]。

（四）MATLAB應用深入化

線性代數存在繁瑣的矩陣運算，隨著矩陣階數的增加其運算量急劇增加，尤其在解決實際問題的數學建模過程中，計算機的應用就勢在必行。目前，MATLAB軟件已經流行于線性代數的教學和學習中，幾個簡單的MATLAB命令就能實現線性代數的各種運算。學生可以利用MATLAB實現矩陣模型的建立和求解，同時解決實際問題的能力也得到了提高[10]。

另一方面，MATLAB還有很好的繪圖顯示功能，教師可以利用MATLAB編寫課件和動畫，使線性代數教學變得更加生動，不僅提高了學生的學習興趣，而且加深了對概念的理解，同時也提高了學生的理解能力和思維能力[6]。

以下分別給出三個利用MATLAB軟件計算并繪制圖形的實例，圖形非常形象地反映出線性代數概念的幾何含義。圖3給出一個二元非齊次線性方程組無解的示意圖，并用最小二乘法求得一個近似解（用“*”表示）;圖4給出一個三元非齊次方程組有唯一解的示意圖;圖5給出四個二次型對應的二次曲面，從圖5中可以非常形象的理解正定、負定、半正定及不定的概念[10]。

《實用大眾線性代數》課程把MATLAB軟件深入應用到整個課程的應用實例中，針對每一個應用實例，都給出了用MATLAB軟件實現線性代數運算的程序，這大大地提高了學員數學建模的能力[4]。

（五）信息技術全面化

新工科背景下的教育教學改革內容之一就是信息技術與課程深度融合。所謂信息技術與課程整合，是在移動互聯網技術、數字技術和人工智能技術等新一代信息技術支持下，將新技術創造性集成融合于課程和教學，以追求學生自主、合作、探究和高效學習為目的的教育信息化過程。信息技術與課程的融合從初級到高級分別為：動態的課堂演示、單機的數學實驗和全交互的網絡教學。慕課（MOOC）、微課（SPOC）等在線課程形態的出現，顛覆了傳統的教育觀、教學觀和學習觀，引發了教學方式和學習方式的深度變革。作為教師，應該把各種信息化技術應用到線性代數的教學中，以提高學生學習興趣，培養學生學習能力。

《實用大眾線性代數》MOOC提供了：視頻、圖片、課件、動畫、論文、程序、作業及試題等各種了教學資源，并且從內容上和難易程度上都進行了分類，學員可以自由選擇，提高了學習效率和效果。其次，學員可以根據自身情況安排學習計劃，使慕課學習與平時的學習和工作并行不悖。慕課的開放性對學員也有很強的吸引力，學員可以快速、靈活、高效、免費地學好線性代數知識。

四、結束語

根據新工科的人才培養理念，線性代數的教學目標應該根據學生在后續課程和今后工作與研究中的需要來制定，所以課程體系簡潔化、應用實例多樣化及MATLAB深入化就成為線性代數教學改革的重點。教學方法和教學手段要以學生為中心展開，所以教學內容形象化、信息技術全面化不僅提高了學生學習興趣，發揮了學生學習主動性，同時也培養了學生自主學習能力。

《實用大眾線性代數》于2017年12月獲國家首批精品在線開放課程。從2016年10月至今已經在中國大學MOOC平臺連續播放六期，學員總數達七萬余人。根據新工科成果導向新理念，教學效果的評價是由學生來決定，以下給出了該MOOC的部分學員評價。

“我覺得應用才是大學里每一門課程的教育目的，同時也覺得中國的大學教育真的應該改革了，希望以后更多人能在這門課程上受益。”

“線性代數有了MATLAB才真正把理論和計算相融合，這門課合適工程應用的人群。”

“我一直認為數學必須結合計算機才是最正確的學習和教學方法，這樣才更能將抽象的地方形象的表現出來。”

“工程數學立足實踐，讓人會用才是根本。毫不夸張的說，這門課為我開啟了一個新世界。”

“相逢恨晚！之前從未聽過如此實用接地氣的線性代數，作為機械工程從業者對老師表示感謝”。

以上評價說明本MOOC真正做到了學以致用，提高了學生運用理論知識解決實際問題的能力，為培養可持續性競爭力的應用型工程人才奠定了基礎。

參考文獻：

[1]姜曉坤，朱泓，李志義.新工科人才培養新模式[J]高教發展與評估，2018，34（2）：17-24.

[2]朱琳，蔣啟芬.國外線性代數的教學研究述評[J].數學教育學報，2018，27（1）：79-83.

[3]楊威，高淑萍，陳懷琛.慕課背景下MATLAB與線性代數應用的融合[J].高等數學研究，2019，22（3）：60-62.

[4]陳懷琛.實用大眾線性代數（MATLAB版）[M].西安：西安電子科技大學出版社，2014.

[5]同濟大學數學系.工程數學線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.

[6]楊韌，張志讓.以能力培養為中心的線性代數課程建設與改革[J].高等理科教育，2014，117（5）：87-90.

[7]張莉，周羚君.類比方法在線性代數教學中的應用[J].大學數學，2014（12）：67-69.

[8]楊威.線性代數名師筆記[M].西安：西安電子科技大學出版社，2014.

[9]姜浩哲，汪曉勤.美國《線性代數及其應用》教材中的數學文化研究[J].高等理科教育，2019，145（3）：74-80.

[10]楊威，高淑萍.線性代數機算與應用指導（MATLAB版）[M].西安：西安電子科技大學出版社，2009.