通才萊布尼茲的數學成就

巴英

摘要：本文介紹了通才萊布尼茲的數學成就，其中主要是他對微積分的貢獻，其次還有涉及他在數學符號的引用、復數、拓撲學、二進制和代數學里的工作。

關鍵詞：微積分;高階導數;交錯級數;復數;拓撲學;二進制;代數學

1 通才萊布尼茲

戈特弗里德·威廉·萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646-1716）生于德國，于萊比錫大學專攻法律，取得哲學學士學位。之后他遠離家鄉萊比錫，遠赴紐倫堡，憑借《論組合的藝術》獲得阿爾道夫大學哲學博士學位。 萊布尼茲是歷史上罕見的跨學科跨領域式的通才，被譽為17世紀的亞里士多德。他做過外交官，同時還是數學家、哲學家、法學家、歷史學家、語言學家、地質學家、符號學家，另外還在邏輯學、力學、光學、流體靜力學、氣體學、航海學和計算機方面做了重要工作。總體而言，他在數學和哲學領域的貢獻更卓越一些。

2 萊布尼茲在數學上的杰出貢獻

2.1微積分方面

微積分是17世紀最偉大的發現，M.克萊因曾總結到，微積分的參與者是17世紀的十幾個大數學家和幾十個小數學家、以及有關天文學家和物理學家。而這之中，做出了杰出貢獻的當屬牛頓和萊布尼茲。歷史上，關于微積分的發現發生過知識產權的爭論。起因是萊布尼茲曾經于1672年訪問巴黎，1673年訪問倫敦，期間與了解牛頓的人有過通信，之后于1684年發表微積分著作。另一方面，牛頓早于萊布尼茲十年就有了微積分的研究，但是發表卻在1687年，晚了萊布尼茲三年。這樣，英國數學家捍衛牛頓，歐洲大陸數學家支持萊布尼茲，兩派之間持續互相攻擊數年。事實證明，牛頓的大部分結果都先于萊布尼茲，但是萊布尼茲也是獨立發明者。歷史的蓋棺定論是，牛頓和萊布尼茲幾乎同時獨立發現微積分。

萊布尼茲在微積分方面的研究成果如今滲透在大學公共課《高等數學》和數學專業基礎課《數學分析》的許多分支，有很多公式和定理直接以他的名字命名。其中最著名的便是牛頓-萊布尼茲公式，它反映了函數局部和整體的關系，或者說是定積分與不定積分的關系。不僅如此，公式本身也完美地解決了定積分的計算問題。可以說，牛頓-萊布尼茲公式屬于微積分的奠基石公式，這是一元函數微積分的頂峰。

牛頓-萊布尼茲公式? 如果f（x）在[a，b]上可積，f（x）在[a，b]上連續，至多除有限個點外F'（x）=f（x），則

萊布尼茲還推演出兩個函數乘積的高階導數公式，外觀十分類似于二項式定理，這個公式在導數的階數越高時，越能彰顯它的優越性，很大程度地簡化了高階導數的計算。

萊布尼茲公式? 如果函數u=u（x）和v=v（x）都在x處具有n階導數，則

萊布尼茲特別研究過交錯級數，獲得了以下的萊布尼茲判別法，用于判斷交錯級數的收斂性，十分簡約實用。

萊布尼茲判別法 如果交錯級數 滿足條件：

那么級數收斂，且其和s≤u1，余項rn有|rn|≤un+1。

2.2符號學方面

數學從某種意義上來說，就是一門符號的學科。萊布尼茲很早就意識到數學符號的作用，在他看來，好的數學符號可以幫助人們減輕思維負累，甚至有可能是數學成功的關鍵。萊布尼茲是富于想象的，他花費很多時間，選擇富有提示性的符號，而這些恰恰是牛頓不重視也不擅長的。比如在微分學里，萊布尼茲用dx和dy表示微分，用dy/dx表示導數，用dn表示n階微分。又如在積分學里，用∫表示積分（求和sum的首字母s拉長），從形式和含義上都無比經典。之后的二重積分、三重積、n重積分以及各類曲線積分和曲面積分的符號也由此類似延展得到。于是整個微積分學形成了完整獨立的符號系統，并且延用至今。這些簡約、得體、適用的符號，進一步促進微積分的發展，已是不爭的事實。

2.3復數方面

人類對復數的接納經歷了漫長的階段。 事實上，早在公元1世紀希臘數學家海倫在研究金字塔時，就已經隱約發現有復數的存在，但是直到16世紀意大利學者卡當才首次在求根公式中引入，17世紀笛卡爾予以命名虛數，18世紀歐拉首創虛單位i，最后18世紀末才受到重視和關注。這之中，萊布尼茲也曾經困惑地說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄的兩棲物。”盡管如此， 萊布尼茲還是深入地討論過復數的性質，得出復數的對數并不存在，共扼復數的和是實數的結論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結論是正確的。萊布尼茲大膽地讓虛數參與到運算中來，正是這份勇氣和開創，讓對復數的研究大大推進不少。

2.4拓撲學方面

1679年，萊布尼茲在他的著作《幾何特性》里，試圖闡述幾何圖形的基本性質，在采用特別的符號表示后，經過運算產生產生新的性質。這類基于數學分析的需要而產生的一系列幾何問題，類似于研究地形地貌的學科，萊布尼茲稱之為位相學分析，現在稱之為拓撲學。拓撲學主要就是研究“拓撲空間”在“連續變換”下保持不變的性質，簡單的說，拓撲學是研究連續性和連通性的一個數學分支。分形幾何的創始人本華·曼德博十分肯定萊布尼茲的海量研究工作，他認為分形幾何理論是在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求到支持的，并且萊布尼茲實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。

2.5二進制方面

1679年，萊布尼茨發明了二進制，并對其系統性深入研究，完善了二進制。他曾斷言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。有意思的是，當萊布尼茲從傳教士那里了解到中國文化中的周易八卦，便認為陰陽說就是二進制的中國版，兩者具有互通性。此外，萊布尼茲還創立了符號邏輯學的基本概念，發明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機。這一切，為計算機的現代發展奠定了堅實的理論和實踐基礎。”

2.6代數學方面

在代數學中的線性代數分支里，萊布尼茲還對線性方程組進行過研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。

3.結束語

1716年，萊布尼茲病逝于漢諾威，孤獨而安靜，沒有像牛頓一樣安葬在威斯敏斯特大教堂的科學家之角為后人瞻仰。馬克思在給恩格斯的信中寫道：我是佩服萊布尼茲的！

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系主編，高等數學上、下冊（第七版），高等教育出版社，2006年。

[2]M.克萊因，古今數學思想，上海科學技術出版社，1985年。

[3]林永偉、葉立軍編著，數學史與數學教育，浙江大學出版社，2004年。