淺談隨機誤差項在線性回歸模型中的應用

經典線性回歸模型是計量經濟學分析的重要工具。線性回歸模型由解釋變量、被解釋變量和隨機誤差項組成。其中，解釋變量為非隨機變量，被解釋變量為隨機變量，被解釋變量觀測值與解釋變量根據參數計算出的估計值之間的差項是一個隨量，我們稱之為隨機誤差項或隨機干擾項。

由于經濟變量之間的關系是錯綜復雜的，影響一個被解釋變量的因素有很多，從經濟變量動力學關系和經驗數據統計顯著性水平檢驗兩個方面進行判斷，我們可以將其分為重要解釋變量和非重要解釋變量。通常情況下，不同的研究者、研究目的和研究數據，會對一般性模型進行約化和簡化，得到的模型中解釋變量僅含有顯著性水平較高的因素，而將顯著性水平較低的因素統一歸入隨機誤差項。所以，隨機誤差項可以概述表示由于人們的認識以及其他客觀原因的局限而沒有考慮到的種種偶然因素。

隨機誤差項源于偶然因素。其中，偶然因素分為模型固有因素和模型設定過程中產生的、但是可以通過技術手段避免的因素。其中，固有因素又稱為“原生”的隨機誤差項，包括代表眾多細小影響因素和變量的內在隨機性;可以避免的隨機誤差項又稱為“衍生”的隨機誤差項，包括未知的影響因素、殘缺數據、數據觀測誤差以及模型設定誤差。

由以上各種因素組成的隨機誤差項，是線性回歸模型中的一個不可或缺的影響部分。線性回歸模型的參數估計服從一定的分布，而這個分布直接與隨機誤差項的概率分布相關。所以，確定隨機誤差項的概率分布是線性回歸模型參數估計的基本前提。

根據高斯-馬爾可夫定理，線性回歸模型要得到滿足無偏性、線性性和有效性的參數估計量，隨機誤差項需要滿足零均值、同方差、互不相關，并且服從正態分布。而隨機誤差項服從正態分布的理論依據是中心極限定理。中心極限定理指出，在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態分布的。也就是說，如果隨機變量X1，X2，......Xn獨立同分布，并且具有有限的數學期望和方差：E（Xi）=μ，D（Xi）=σ20（k=1，2....） ，那么，當n很大時，隨機變量近似地服從標準正態分布N（0，1）。

根據上述兩個定理，我們可以得出經典線性回歸對隨機誤差項組成部分的具體要求主要包括以下兩部分。

一、隨機誤差項包含的因素很多，并且相互獨立

根據之前分析，隨機誤差項包括代表眾多細小影響因素、變量的內在隨機性、未知的影響因素、殘缺數據、數據觀測誤差以及模型設定誤差。這些因素主要由現實生活中經濟個體決策行為的多樣性和隨機性造成的經濟變量關系的復雜性造成，這些因素大多是無法度量的，例如個人的偏好、個人對未來的預期等。同時，由于這些因素本身是隨機的，我們無法觀察到他們之間穩定的因果關系，所以可以將其理解為相互獨立的。

二、隨機誤差項包含的因素對被解釋變量的影響是很微小的。

對被解釋變量的影響很微小，是指雖然它們也是被解釋變量的影響因素，但是在一定顯著性水平下，這些解釋變量的變動不引起被解釋變量的變動。例如，在分析居民消費決定因素時，除了個人資產存量、當期收入等重要因素外，居民生活區域的超市數量、周圍人的消費水平等因素也會對居民的消費造成一定的影響，但這些影響相對較小，在統計檢驗水平上不顯著，一般在回歸模型中將其列入隨機誤差項。

根據以上分析，我們在建立線性回歸模型時，隨機誤差項的掌握實際上就是考慮“大量獨立”和“影響微小”兩個方面，我們從經濟變量之間的動力學關系和統計檢驗兩個角度進行分析。

一、研究經濟系統的動力學關系

建立線性回歸模型時，我們需要充分識別哪些因素對被解釋變量有重要影響，而哪些因素對解釋變量沒有重要影響，我們可以從經濟系統的動力學關系入手，即在經濟理論的指導下分析研究對象的實際經濟行為，從行為理論上理清變量之間的關系，從而確定該變量對被解釋變量的影響是直接的還是間接的。我們將具有直接影響的變量作為解釋變量放入模型當中，同時將雖然從內在本質意義上對被解釋變量有影響，但是從經濟主體之間的關系意義看沒有直接作用的因素從模型中予以剔除。

二、模型的統計檢驗必要性

模型設定過程時，一個被解釋變量和所有影響因素之間只能存在一種客觀的正確的關系，即模型設定必須遵循“唯一性”原則，作為研究起點的總體模型必須是唯一的，也就是說，模型應當具有“一般性”。

從統計學上講，只有首先建立”一般性”的模型，才能保證隨機誤差項滿足“基本假設”。建立“一般性”模型后，出于對模型的實用性出發，應當通過變量的顯著性水平檢驗，將顯著性水平低于實際要求的變量從模型中剔除，保留顯著水平相對較高的變量，從而使模型更具有實用性，是計量經濟學模型設立的一個思路。

但是，如果沒有經過對“一般性”模型的參數進行檢驗，直接根據個人經驗省略了部分，就相當于將這些變量計入了隨機誤差項。事實上，如果這些變量對被解釋變量的影響是統計顯著的，那么隨機誤差項將不符合“微小”的前提假設，高斯馬爾科夫基本假設隨即遭到破壞，在此基礎上建立的模型估計出的參數都是無效的。

例如，商品銷售量一般至少受到商品價格、居民收入、相關商品價格等因素的影響，假設正確的模型為Q=a+b1P+b2Y+b3P+u，此時u符合中心極限定理的基本假設。如果實際過程中，假設商品價格是影響商品需求量的唯一顯著因素，建立了Q=a+b1P+u的模型，則u= u +b2Y+b3P，其中，Y和P對Q的影響并不“微小”，所以u不再符合中心極限定理的基本假設，在此基礎上估計出的模型參數將不再是BLUE.

研究經濟系統的動力學關系分析結合統計檢驗必要性判斷，基本可以篩選出回歸模型中重要的影響變量，從而確保隨機誤差項所包含的影響因素都是獨立而微小的。

通過以上分析可以發現，對隨機誤差項的研究實際上是對回歸模型設定精確性和實用性的研究。建立線性回歸模型時，我們并不能直接確定隨機誤差項是哪些微小因素的集合，而是通過排除法將重要解釋變量之外的其他因素合并計入隨機誤差項。這種分析方法實際上是要求我們在建立計量經濟學經典線性回歸模型時應充分考慮經濟因素理論和現實兩方面的關系，充分認識一個經濟變量具體受哪些經濟變量的影響，以及這些變量的重要程度。通過行為經濟分析和數理統計檢驗兩個方法，將各個解釋變量對被解釋變量的影響水平進行劃分，并以正確的形式將重要的解釋變量引入模型。至此，對被解釋變量影響水平較低的因素，一并計入隨機誤差項，確保從理論上符合中心極限定理的基本要求，并進而得到經典線性回歸模型中獲取BLUE參數的理論依據。

作者簡介：姓名：李波濤? 性別：男? 出生年：1983 ，籍貫到市：山西省臨汾市，民族：漢，職稱：中級會計師? 學歷：在職研究生，研究方向：計量經濟學