基于混合編碼的測量設備無關量子密鑰分發的簡單協議*

杜聰王金東? 秦曉娟魏正軍於亞飛張智明

1)(華南師范大學,廣東省量子調控工程與材料重點實驗室,信息光電子科技學院,廣州510006)

2)(廣東理工職業學院工程技術系,廣州510091)

(2020年1月29日收到;2020年7 月2日收到修改稿)

1 引 言

量子密鑰分發(quantum key distribution,QKD)是指一種通過在公開信道中傳輸量子態來使通信雙方之間分享密鑰的方法,它的安全性是由量子力學的基本原理,而不是計算復雜度來保證的,所以從理論上保證了密鑰傳輸的絕對安全.自1984年Bennett和Brassard提出了第一個QKD協議——BB84協議[1]以來,QKD在理論和實驗上都得到了快速的發展[2,3].盡管無條件安全性是QKD的主要優勢,但在實際應用中,由于設備的不完美性可能帶來的安全隱患使它的應用前景飽受爭議.人們普遍認為缺乏完美的單光子源和探測器的固有損耗會使系統產生安全漏洞并限制傳輸距離,進而降低QKD的應用性能[2].但幸運的是,Lo,Curty和Qi在2012年提出測量設備無關量子密鑰分發(measurement device independent quantum key distribution,MDI-QKD)協議[4,5],它不僅可抵御所有針對測量端的攻擊漏洞,而且當它與誘騙態方法結合[6,7]時,還可以顯著提升系統的傳輸距離.由于這些優點,到目前為止,MDI-QKD已經吸引了領域內大量的關注,并且出現了大量的理論[8?16]和實驗[17?22]的后續工作.值得注意的是,在2016年,有兩個里程碑的實驗被報道出來.在第一個工作中,Yin等[23]利用低損耗光纖和參數優化技術將MDI-QKD的距離延長到了404 km.在第二個工作中,Comandar等[24]利用種子激光器技術將MDI-QKD系統的時鐘頻率提高到了1 GHz.但是,相對于原始的BB84協議來說,MDIQKD的安全碼率仍然比較低,一種解決方案就是基于高維(high dimensional,HD)編碼的QKD協議.

目前大多數有關HD QKD協議的工作都集中于通過提升光子的某一種自由度的希爾伯特空間維度來提升QKD協議的信息容量[25],例如基于空間模式、基于時間能量糾纏光子對以及基于軌道角動量的HD QKD協議等[26?31], 其中, Ali-Khan等[26]在2007年完成第一個基于時間能量糾纏光子對的HD QKD協議,而在2017年,Sit等[29]在渥太華進行了基于軌道角動量的HD QKD協議的實地測試實驗,這些工作有力地證明了HD QKD協議的可行性.HD QKD協議不僅可以在一個自由度(degree of freedom,DOF)上進行編碼,還可以同時在多個DOF上進行編碼,即混合編碼協議[32].例如2010年wang等[33]提出的基于DPS編碼和偏振編碼的HD QKD協議,2019年Mao等[34]提出的基于RRDPS和偏振編碼的HD QKD協議.最近,有人提出利用HD編碼來提升MDI-QKD協議的安全碼率,例如Dellantonio等[31]在2018年提出的兩種分別基于空間和時間模式的HD MDIQKD協議和Cui等[35]于2019年提出的基于空間模式和偏振模式的混合編碼HD MDI-QKD協議,但是這兩種協議在實際應用上都面臨一些困難,前者提出的基于空間模式編碼的方案中其解碼裝置需要更多的單光子探測器,基于時間模式編碼的方案中對其編碼裝置的帶寬要求更高,而后者提出的混合編碼方案需要分辨高維貝爾態,所以目前該協議在實驗上仍然是一個挑戰[25].

本文提出了一種另外一種基于相位和偏振的混合編碼HD MDI-QKD協議.該協議利用了光子的相位和偏振兩種自由度進行編碼[4,8?9],但是解碼裝置還是和原MDI-QKD協議一樣,只利用了4個單光子探測器(single-photon detector,SPD)進行部分貝爾態檢測(bell-state measurement,BSM)[4],因此該協議完全可以利用現有實驗條件實現.而且該協議不需要用戶端增加其設備的重復頻率就可以增加系統的安全碼率,所以該協議可能在未來具有潛在的應用前景.

本文的安排如下.第2節詳細介紹了本協議的編解碼規則.第3節在考慮某些實際情況的影響下,得出該協議的安全碼率,并且進行數值仿真,證明該協議對于安全碼率的提升.第4節討論該協議的實驗實現需要滿足的條件并且在第5節給出本文的結論.

2 協議介紹

圖1基于混和編碼的MDI-QKD協議原理圖.其中,LD為光源,Pol-M,PM和IM分別為偏振調制器、相位調制器和強度調制器,DL為光延時線,BS為50:50的光分束耦合器,PBS為偏振分束器,DH和DV為單光子探測器.首先,Alice和Bob分別通過Pol-M將偏振信息加載到光脈沖上,然后又通過PM和IM加載時間-相位信息.Charlie將接收兩者發出的光子并進行部分BSM,然后公開其測量結果.Alice和Bob通過基比對然后利用Charlie所公開的BSM結果就能在他們原始密鑰之間建立關聯Fig.1.Schematic diagram of MDI-QKD protocol based on hyper-encoding.LD is the light source.Pol-M,PM and IM are polarization modulator,phase modulator and intensity modulator,respectively.DL is the optical delay line,BS is the 50:50 optical beam splitter,PBS is the polarization beam splitter,DH and DV are single-photon detector.First,Alice and Bob load the polarization information to the light pulse through Pol-M,respectively,and then load the phase information through PM and IM.Charlie or Eve will receive the photons emitted by both and perform part of the BSM,and then disclose their measurements.Alice and Bob can correlate their original keys by comparing the basis information and using Charlie's published BSM results.

本節提出了一種基于混合編碼的MDI-QKD協議,該協議編碼部分利用了相位編碼MDIQKD[8]和偏振編碼MDI-QKD[4]的方法,解碼部分的裝置與原始提出的偏振編碼MDI-QKD協議一樣,利用4個單光子探測器組成了一個部分BSM裝置,如圖1所示.假設Alice和Bob都擁有完美的單光子源,忽略信道和SPD的損耗以及暗計數.而在下一節中會分析某些實際情況對該協議的影響.本協議的編碼過程與BB84協議類似,不同之處在于要同時利用偏振和相位這兩個自由度對光脈沖進行調制.首先Alice和Bob分別從兩組共軛的偏振基Z基和X基中隨機選取一個偏振態,然后通過Pol-M將偏振比特(Po-bits)信息加載到光脈沖上.接著光脈沖通過50∶50的分束器(BS)和光延時線(DL)后被分為參考和信號兩種模式,在Alice端的兩個模式分別標記為ar,as,在Bob端的兩個模式分別標記為br,bs,如果相位態在Z基中選取,那么相位比特(Ph-bits)將只加載在參考光脈沖中或者信號光脈沖中,另外一個模式的光脈沖會被IM損耗掉,如果Ph-bits在X基中選取,那么信號光脈沖在經過PM時會被隨機加載{0,π}兩種相位.特別指出,編碼過程中偏振基和相位基的選擇是獨立的.可以看出,兩個發送端相位基和偏振基的不同選擇共有16種可能的組合類別,下面將詳細討論這些組合的BSM結果,并且給出對應的解碼規則.

2.1 相位比特在X基中選擇

首先考慮相位比特在X基中選取的情況,在不考慮編碼誤差的情況下,Alice和Bob制備的量子態可以表示為

其中,θa和θb分別表示Alice和Bob所調制的相位,j,k表示所調制的偏振態.此處忽略了全局相位.為了更好理解所提出的協議,本節后面的討論中會忽略實際情況下器件的非理想特性,包括量子信道中的損耗,環境擾動對偏振態和相對相位的影響以及單光子探測器的暗計數等的影響.

接下來,將詳細介紹該協議的解碼過程.從(1)式可以看出,到達Charlie端進行干涉的光子模式分為兩大類,一類是雙光子干涉,包括第一項和第四項,另一類是單光子干涉,包括中間兩項.因此,后文會繼續分為兩種情況討論BSM的結果以及對應的解碼規則.

2.1.1 雙光子干涉

對于雙光子干涉的一類,加載的相位ei(θa+θb)對最后的干涉結果不起作用,即相位編碼信息會舍棄掉.因此,在后面的討論中忽略相位因子.由式可得雙光子干涉的兩項可以分別寫為

在不引起歧義的情況下,后文中量子態的下標都會和上式中最后一項一樣被省略.上式中UBS表示50∶50的BS對光子產生算符的作用,具體可以表示為

其中,x(x=r,s),y(y=j,k)分別表示量子態的時間模式和偏振模式,上式假設BS對量子態的時間模式和偏振模式沒有影響.

將BB84協議的四種偏振態代入(4)式中就可以得到BSM的結果.顯然,該協議的解碼過程與偏振編碼MDI-QKD協議類似,唯一的區別是前者可能在r和s兩個時刻發生符合計數事件.根據Charlie公布的符合計數事件和Alice與Bob所使用的基,他們就可以知道其數據比特之間的關聯性.這里以一個簡單的例子進行說明,當j=H,k=V時,有:

類似地,可以寫出|Ψ4?的表達式.因此,當BSM出現以下四種符合計數情況時,可認為是成功事件,即:

a)事件D1:a端的兩個探測器在r時刻或者s時刻同時響應;

b)事件D2:a端的DV探測器和b端的DH探測器在r時刻或者s時刻同時響應;

c)事件D3:a端的DH探測器和b端的DV探測器在r時刻或者s時刻同時響應;

d)事件D4:b端的兩個探測器在r時刻或者s時刻同時響應;

其他的情況也可以做類似的分析,下面分析單光子干涉的情況.

2.1.2 單光子干涉

對于單光子干涉的情況,入射態的剩余兩項經過50∶50分束器的作用后的結果可以由式得到:

上式中利用到了從(5)式和式推導得出的公式:

其中x=j,k.從式和式可以看出,干涉的結果與偏振態有關,下面將分類討論.

1)j=k且j,k∈Z,下面以j=k=H為例.將j,k代入(8)式和(9)式中可得:

由于相位基匹配,那么現在可能出現兩種干涉結果,當θa?θb=0 時, ei(θa?θb)=1,此時干涉的結果為

而當θa?θb=±π時,ei(θa?θb)=?1,此時干涉的結果為

由于這種干涉結果完全公開了編碼的偏振態信息,因此偏振信息需要被舍去.但是,這兩項的干涉結果并沒有泄露相位信息,因此Alice和Bob可以利用與相位編碼MDI-QKD協議相同的方式來獲取Ph-bits信息.即,當兩發送方偏振態都在Z基中選擇時,且出現在r時刻a端和b端的DH(DV)探測器同時響應的事件,或者s時刻a端和b端的DH(DV)探測器同時響應的事件時,兩者Ph-bits相同,當出現r時刻a端的DH(DV)探測器和s時刻b端的DH(DV)探測器同時響應的事件,或者r時刻b端的DH(DV)探測器和s時刻a端的DH(DV)探測器同時響應的事件時,兩者Ph-bits相反.

2)j=k且j,k∈Z,下面以j=H,k=V為例.同樣將j,k代入(8)式和(9)式中可得:

可以看出,上面兩式內部的8個子項各不相同,因此兩式的直接相加或相減并不能消去任何一個子項.此時的干涉結果表明,BS不僅抹去了輸入態的路徑信息,同時也把相位信息抹去了.但是,正因為入射態的路徑信息被抹去了,那么最終的干涉結果只能表明兩個發送方所加載的偏振態的相互關系,而沒有泄露關于兩個發送方所編碼信息的確切值,因此,可以利用此探測結果來獲取Pobits信息.即,當兩發送方偏振態都在Z基中選擇時,干涉結果為r時刻和s時刻各有一個探測器響應,而且這兩個探測器所代表的偏振態不相同時,Alice和Bob的Po-bits翻轉.

3)j=k且j,k∈X,下面以j=k=+為例.同樣將j,k代入(8)式和(9)式中可得:

容易看出,上兩式除了中間兩項的符號相反外,其余部分都相同,即|ψ2?1?=|ψ3?1?,|ψ2?4?=|ψ3?4?,|ψ2?2?=?|ψ3?2?,|ψ2?3?=?|ψ3?3?.利用這個規律可以簡化后面的計算.當θa?θb=0 時,ei(θa?θb)=1,此時干涉的結果為

而當θa?θb=±π時,ei(θa?θb)=?1 ,此時干涉的結果為雖然上面兩種干涉結果完全不相同,似乎可以用來獲取Ph-bits信息,但是這只是在j=k=+條件下的特殊情況,事實上從下部分j=+,k=?的推導結果可以看出,干涉的結果會受到偏振態和相位的共同影響,所以此類情況的解碼規則將在下部分一起介紹.

4)j=k且j,k∈X,下面以j=+,k=+為例.此條件下的推導過程與上一種情況類似,這里不再贅述,下面直接寫出結果.當θa?θb=0 時,ei(θa?θb)=1,此時干涉的結果為

將(22)式、(23)式與(20)式、(21)式比較可得, 在θa?θb=0(±π) 時,|H0H0?,|V0V0?,|0H0H?,|0V0V?(|H00H?,|V00V?,|0H H0?,|0V V0?)這四種量子態被探測到的事件都會發生,不會隨著初始偏振態而變化,而剩下幾種量子態被探測到的事件是否會發生受到偏振態的影響.定義事件

表示|H0H0?,|V0V0?,|0H0H?,|0V0V?這四種量子態中某個量子態被探測到的事件.同樣可以寫出:

那么可以將第3類和第4類情況的BSM結果歸納在表1中.

表1當相位比特在X基中選擇時,本協議單光子干涉的第3類和第4類情況的BSM結果比較Table 1.BSM results for class 3 and class 4 cases of single-photon interference in this protocol are compared when phase bits are selected in the X basis.

由表1可知,在第三類和第四類情況下,只要事件A0(A1)發生,那么就可以斷定發送方的Phbits相同(相反).對于B0和B1事件,發送方可以通過公布其Po-bits的信息, 來獲取Ph-bits的信息.

5)j與k所代表的Po-bits相同,且j∈Z,k∈X,下面以j=H,k=+為例.將j,k的值代入(8)式和(9)式中可得:

可以看出,干涉結果的最后兩項與第1類情況的干涉結果,即式和式的結果一樣,所以用同樣的方法可以從這兩項提取出Ph-bits信息.而前面8項所引起的響應結果顯然無法提取任何有效信息.

由于對稱性,容易得出關于偏振基不匹配的其他三種情況的干涉結果也是類似的,這里就不再贅述.上文對所有相位比特在X基中選擇的情況進行了討論,下文將分別討論相位比特在Z基中選擇和相位比特在不同基中選擇的情況.

2.2 相位比特在Z基中選擇時

接下來討論相位比特在Z基中選擇的情況.假設用l和m和分別表示Alice和Bob選取的Ph-bits,即l(m)=0(1)時表示Alice(Bob)選擇的Ph-bits為0(1).下面分情況討論解碼過程.

1)l=m且l,m∈Z,下面以l=m=0為例.此時Alice和Bob入射的量子態為

顯然,(32)式與(1)式中的|?1? 相同,因此干涉結果和解碼過程與雙光子干涉類完全一樣.

2)l=m且l,m∈Z,下面以l=0,m=1為例.此時Alice和Bob入射的量子態為

容易得出,光脈沖對經過BS后路徑信息會被抹去,而Po-bits信息會被泄露出來,所以這種條件下,通信雙方無法提取任何Po-bits信息,但是卻可以獲取所有的Ph-bits信息.即當相位態在Z基中選擇時,無論通信雙方偏振基的選擇是什么,只要Charlie端公布的探測結果為r時刻和s時刻分別各有一次探測器響應,那么就可以斷定兩者的Ph-bits是相反的.

2.3 相位比特在不同的基中選擇時

接下來討論當相位比特的基不匹配的情況.根據l,m是否相等以及屬于兩種不同的基,可以分成四種不同的情況討論,但是又根據Alice和Bob的對稱性以及比特0,1之間的對稱性,發現只需要討論其中一種情況就夠了.下面以為例,此時輸入態可以寫為

顯然,上式無法提取任何Ph-bits信息,但是上式前半部分卻可以提取出Po-bits信息,其解碼規則與雙光子干涉的情況也是一樣的.綜上所述完成了所有情況下的解碼規則的介紹,結果整理在表2中.

2.4 高信息容量

本節將分析在理想單光子源的情況下,本文提出的協議與原始協議相比的優勢.在后文中將比較在誘騙態協議下的優勢.

將本協議所有情況下的信息容量總結在表3中.假設選擇兩種基的概率相等,那么由表中的數據可以計算出本協議每個光子傳送的信息容量,即光子利用效率為11/32,而原始MDI-QKD協議,無論是基于相位編碼還是偏振編碼,其光子利用效率都只有1/4,那么容易得出本協議相比于原始MDI-QKD協議提升的效率為

上式證明了在本協議相對于原始MDI-QKD協議在光子利用效率上的提升.

表2本協議的解碼規則,其中flip表示比特翻轉,No flip表示比特相同,C0表示事件{在r時刻和s時刻分別有且只有一個探測器響應},0表示沒有成功事件Table 2.The decoding rules of this protocol,where flip represents the bit flip,No flip represents the same bit,C0 represents the event{there is only one detector response at time r and time s respectively},and 0 indicates that no success event occurred.

表3 本協議不同情況下可能獲得的比特信息及其相應的概率.其中Ph(Po)-z(x)表示獲取以Z(X)基編碼的Phbits(Po-bits)信息Table 3.The bitwise information that may be obtained under different circumstances in this agreement and its corresponding probability.Where Ph(Po)-z(x)represents the Ph-bits(Po-bits)information encoded by z(x)basis.

3 實際性能評估

上節詳細介紹了本協議在理想情況下的編解碼過程,本節將考慮實際情況下的器件的非理想特性,首先引入4強度誘騙態方法[36]來解決實際光源的多光子問題,除此之外還考慮了有限碼長條件下的統計波動[37]、信道損耗、實際單光子探測器的暗計數和探測效率問題,最后利用全參數優化方法[38,39]得出該協議的最優安全碼率.

3.1 誘騙態方法

眾所周知,誘騙態方法的目的是為了更加緊湊地估計單光子響應率的下界和誤碼率的上界從而極大地提高協議的安全密鑰速率[6?7],而4強度誘騙態方法不僅將不同強度誘騙態光源的統計波動聯合求解[37],而且同時估計出的值,從而直接將安全密鑰的最小值求解出來[36].這種方法不僅直接提高了安全密鑰率,而且還縮短了產生新密鑰所需的時間.本節將詳細介紹如何利用4強度誘騙態方法[36]來估計本協議的相關參數,并且最終得出在有限碼長條件下的安全碼率.

用下標A或B來定義光源是屬于Alice或者Bob.在光子數空間中,四種不同強度光源發出的量子態可以分別表示為

其強度和概率分別為μiA(B)和piA(B)(i=x,y,z,o).在本協議中,當Alice選擇源z發送光脈沖時,其相位基和偏振基都選擇Z基;當Alice選擇源y發送光脈沖時,其相位基和偏振基的選擇不相同,且不相同的兩種情況的概率都為0.5;當Alice選擇源x發送光脈沖時,其相位基和偏振基都選擇X基.誘騙態具體方案總結在表4中.定義源lr表示Alice選擇源l,Bob選擇源r發送光脈沖(l,r=x,y,z,o),定義符號其中當X=S(D)時,該符號表示源lr中X(Z)基比特的響應率,當X =T,E時,該符號表示源lr中X(Z)基比特的誤碼率,上標j=ph,po分別表示該物理量從ph-bits和po-bits中獲得,下標i=o,h,r分別表示該物理量由原MDI協議求得、由本協議所求得和由本協議求得的值再經過修正后求得.例如表示本協議從源xx中獲取的屬于X基的Phbits的響應率的修正值.

顯然,本協議的誘騙態方法所獲取的安全密鑰由Ph-bits和Po-bits兩部分組成. 但是,與原MDI-QKD協議不同的是,本協議不同源lr所獲得的不同基的比特信息是不一樣的(如表5所示),那么這就導致不同源的X基和Z基的單光子對的響應率不相等,即因此不能和原MDI協議一樣直接利用去估計而是應先找出從源lr(l,r=x,y,o)獲取的X基的比特信息與從源zz獲取的Z基比特信息的比例關系,如果定義它們的比例為一個正常數Mlr, 那么有接著將Mlr與本協議對應源lr的響應率相乘就可以得到修正后的響應率然后利用這個關系先求出X基的單光子對響應率最后再利用去估計就可以求出最終安全密鑰.

表4 本協議的誘騙態方案以及不同強度光源所獲得的比特信息.其中Po-X(Z)和Ph-Z(X)分別表示加載信息時偏振基選擇Z(X)基和相位基選擇Z(X)基, p x,p y,p z 分別表示三種強度光源的概率,分數表示獲得比特信息的概率,z(x)-ph(po)表示該信息是用相位(偏振)解碼方式獲得的z(x)基下的比特信息Table 4.The scheme of decoy state and the bit information obtained by different intensity light sources.Where,Po-X(Z)and Ph-Z(X)respectively represent the polarization basis selection Z(X)basis and phase basis selection Z(X)basis when loading information,p x,p y,p zrespectively represent the probability of three intensity light sources,fraction represents the probability of obtaining bit information,and z(x)-ph(Po)represents the bit information under z(x)basis obtained by phase(polarization)decoding.

表5本協議的誘騙態方法獲得的比特信息.其中x,y,z分別表示三種強度的光源,Ph和Po分別表示相位比特和偏振比特,數字表示獲得比特信息的概率,z和x表示獲得信息所屬的基Table 5.The bit information obtained by the decoy state method of this protocol.Where x,y and z represent the light source of three kinds of intensity,Ph and Po respectively represent phase bit and polarization bit,fraction represents the probability of obtaining bit information,and z and x represent the basis to which the obtained information belongs.

下面以本協議獲取的Ph-bits信息去估計單光子對響應率的下界為例來進行說明.通過將表5和原MDI協議比較可知,對于Ph-bits來說,源yy的響應率為原MDI協議響應率的1/8,那么可以得到修正的響應率為

又由于響應率的降低表示此條件下的有效事件發生概率的降低,因此源yo和oy的響應率也應該對應降低,保守估計降低后的響應率為原協議響應率的1/8,即:

而其他源的響應率都不變,即:

確定了響應率變化的關系后,還必須要考慮統計波動的影響.根據文獻[37],在考慮有限碼長效應后,需要引入響應率的均值?Slr?來 估計參數而均值?Slr?與實驗可觀測值Slr之間的關系為

其中Nlr表示源lr所發送光脈沖的總數,如果將(43)式兩邊同時乘以一個系數m(m>0), 可以得到:

上式滿足的約束條件為其中,D1∈{oo,ox,xo,xx},D2∈{oy,y o,y y} .顯然,與文獻[36]比較之后可以發現,上面的表達式中只有約束條件中與源lr(l r∈D2)相關的不等式才會發生變化,其他的表達式都沒有變化.而且,約束條件的這種變化表明了統計波動的范圍變大了, 這也符合本協議源lr(l r∈D2)的響應率下降這一事實.

那么可以得到安全碼率關于H的函數表達式為

利用同樣的方法,可以求出本協議偏振比特安全碼率的下界Rpo(具體過程見附錄A),那么總的安全碼率為

3.2 數值仿真

本節將展現本協議的數值仿真結果,并與文獻[36]的結果進行比較.為了簡化計算,只關注對稱的情形,即Alice端的實驗裝置與Bob端完全一樣,兩者信道也完全相同.并且假設Charlie端的4個探測器是相同的,即它們有相同的暗計數和探測效率,而且探測效率不依賴于入射的信號.除此之外,還假設兩發送端都是隨機弱相干態光源,那么以強度為μ的相干態密度矩陣可以寫為ρ=而且對于所有的k有當l=r時關于統計波動的處理,也與文獻[36]一樣,假設當失敗概率為?=10?7時,有γ=5.3.

首先利用文獻[38]中的MDI的線性模型模擬出原始MDI協議中不同源和不同基的響應率和誤碼率,當然,與文獻[38]中的模型不同的是,在這一過程中考慮了本協議每個比特解碼過程都會使用8個SPD的門,也就是說通過時分復用的方法每臺SPD都使用了兩個門,而不是1個門.此時如果令P(ij|lilj) 表示Charlie端第i個和第j個探測器分別有li和lj個光子入射并同時發生響應的概率,那么有:

由于在MDI-QKD數值模型中已經將探測器與光路的損耗合并計算,所以上式中并沒有出現探測器損耗參數.接下來利用前文中推導出的本協議和原始MDI協議的關系,得出本協議的響應率和誤碼率,將其分別代入相位比特和偏振比特的單光子對的響應率和誤碼率的公式中,通過文獻[37]中的方法求出其解析表達式,再代入安全碼率公式中就可以求出最終安全密鑰.最后,本文還對本協議進行了全參數優化[39],但與文獻[39]中待優化參數的初值可以利用其他文獻的結果不同,本文提出的是一個新的協議,如果直接用其他文獻的結果作為初值搜索最優參數可能迭代次數較多,求解時間較長.所以本文在進行每個參數的優化過程中,首先以文獻[36]中的最優化參數作為初值,l利用進退法搜索待優化參數的最優值的可能存在區間,然后再利用黃金分割法確定最優化參數的取值.

圖2不同協議的最優安全碼率比較.這里我們利用了表6第a列的條件,并且是以40 km處的安全碼率為優化目標,本協議的參數優化結果見表7第a列.圖中紅色實線表示本協議的結果,黑色虛線表示文獻[36]的結果Fig.2.Comparison of optimal security key rates for different protocols.Here,we take advantage of the conditions in column a of Table 6,and take the security key rate at 40 km as the optimization objective.The parameter optimization results of this protocol are shown in column a of Table 7.The solid red line in the figure represents the result of this agreement,and the dotted black line represents the result of Ref.[33].

為了便于和文獻[36]中的結果進行比較,在仿真中也使用了兩組不同的參數,具體參數見表6.安全碼率隨距離變化的數值仿真結果見圖2和圖3,圖中紅色實線為本協議的結果,黑色虛線為文獻[36]的結果.從圖中可以看出,本協議對于安全密鑰確實有一定的提升作用.具體來說,本協議在兩種條件下分別使最優安全碼率提升了52.83%和50.55%,相關結果總結在表8中.

圖3不同協議的最優安全碼率比較.這里利用了表6中第b列的條件,并且是以50 km處的安全碼率為優化目標,本協議的參數優化結果見表7中第b列.圖中紅色實線表示本協議的結果,黑色虛線表示文獻[36]的結果Fig.3.Comparison of optimal security key rates for different protocols.Here,we take advantage of the conditions in column b of Table 6,and take the security key rate at 50 km as the optimization objective.The parameter optimization results of this protocol are shown in column b of Table 7.The red solid line in the figure represents the result of this agreement,and the black dotted line represents the result of Ref.[36].

表6數值模擬相關參數.e0是當Alice或Bob發送空脈沖時的誤碼率; e d 為參考系對準誤差;p d為暗計數率;ηd為探測效率;f e為誤碼糾錯效率;N為每個發送端發送的光脈沖總數Table 6.Relevant parameters of numerical simulation.e0is the bit error rate when Alice or Bob sends an empty pulse; e d is the reference system alignment error;p dis the dark count rate;ηd is the detection efficiency;f eis the error code correction efficiency;N is the the total number of light pulses sent by each sender.

表7 本協議兩種條件下的參數優化結果.Table 7.Parameter optimization results under the two conditions of this agreement.

表8最優安全碼率的比較.R p和 R t分別表示文獻[36]中的工作和本工作在不同條件下的計算結果.Improvement表示R t相對于 R p提升的比例Table 8.Comparison of optimal security key rates.R pand R trespectively represent the calculation results of the work in Ref.[36]and this work under different conditions.Improvement is the ratio of R t to R p.

接下來將從兩方面來說明為什么數值模擬部分只對文獻[36]的結果進行比較.一方面,相比對于其他的基于高維編碼的MDI-QKD協議來說,本協議主要的優勢在于實驗實現更加簡單,而在安全碼率上不一定有提升,所以與其他的基于高維編碼的MDI-QKD協議的數值模擬結果的比較并不能完全體現本協議的優勢;另一方面,對于原MDI-QKD協議來說,四誘騙態協議[36]是目前在實驗中性能最好的誘騙態MDI-QKD協議.因此,基于上述理由,證明本協議相比于原四誘騙態MDI-QKD協議在性能上的提升已經足夠說明本協議的意義.

4 討 論

本文提出了一種更加簡單的基于相位自由度和偏振自由度的混合編碼MDI-QKD協議.首先,相比于文獻[35]中提出的基于空間模式和偏振模式兩種自由度的混合編碼MDI-QKD協議,雖然碼率的提升不如后者,但是實驗實現更簡單,特別是在Charlie端,相對于原MDI-QKD協議來說不需要做出任何變化.其次,相比于文獻[31]中提出的基于時間模式的HD MDI-QKD協議,本協議優勢在于不需要提升用戶端的重復頻率就可以提升系統的安全密鑰率.下面將討論兩種不同的MDIQKD協議要改進為本協議需要在實驗實施上有哪些變化.

一方面,對于原始的時間編碼MDI-QKD協議來說[8],要改進為本協議需要滿足三個條件:首先需要在發送方增加偏振編碼裝置,其次信道中需要增加偏振補償模塊[40?43],最后接收方需要增加兩臺單光子探測器.目前,第一個條件很容易滿足.對于第二個條件,最近的文獻中已經報道了最遠達到68 km的偏振補償實地測試實驗[43],說明基于偏振編碼的協議已經可以滿足在較短距離的應用.對于第三個條件,在星型量子網絡結構中[44?45],接收方增加兩臺單光子探測器就可以使多個用戶的密鑰效率提高,可認為這種成本增加是值得的.

另一方面,對于原始的偏振編碼MDI-QKD協議來說[4],與本協議不同的地方在于三點:其一需要在發送方增加相位編碼裝置;其二需要增加相位補償裝置;其三為需要使接收方單光子探測器的飽和計數率增加一倍.前兩個條件都可以利用現有的實驗設備實現[23],針對最后一個條件同樣以星型量子網絡為例來進行說明,此時僅僅只需要一個接收方的成本增加,而且所有的本地用戶的設備重復頻率不用變化,就可以使全部本地用戶的密鑰率得到提高,所以同樣認為這種成本增加是可以接受的.

另外,需要指出的是,上述有關利用4強度誘騙態方法[36]來估計本協議單光子對的相關參數的分析還比較粗糙,更加細致的討論可能會進一步提升安全碼率.比如在估計參數時,與文獻[36]一樣,只利用了源lr(l,r∈D1,D2)的相關約束條件,而沒有利用可以獲取更多X基比特信息的源xy和yx的相關約束條件,這樣就導致了估計參數時考慮了更大的統計波動,從而降低了密鑰率.所以關于該協議更加完善的誘騙態方案還有待討論.

5 結 論

本文提出了另外一種更加簡單的基于相位和偏振兩個自由度的混合編碼MDI-QKD協議,該協議不僅可以提高安全碼率,而且完全可以利用現有的實驗設備實現.首先詳細介紹了該協議在理想條件下的編解碼規則,然后利用4強度誘騙態方法分析并得出該協議在實際條件下的安全碼率,當然,本協議的誘騙態方法分析還不夠完善,還有待未來的工作去改進.特別指出該協議非常適用于量子網絡,例如在星型量子網絡結構中,對于所有的本地用戶來說,只需要給其設備增加一個成本較低的相位編碼器或偏振編碼器和對應的補償模塊,就可以實現比原始MDI-QKD協議更高的安全碼率,因此該協議在未來具有較大的應用價值.

感謝清華大學物理系于宗文博士的討論.

附錄A

上式滿足的約束條件為

其中D1∈{oo,ox,xo,xx},D2∈{oy,yo,y y} .同樣,利用文獻[37]中的方法可以求出的解析表達式.關于Po-bits單光子對的誤碼率上界可認為本協議不同源的誤碼率Tlr與原MDI-QKD協議一樣.那么根據文獻[36]可得:

那么可以得到Po-bits的安全碼率關于H的函數表達式為