帶有隨機訂貨點的兩階段報童模型

閔 杰， 李 瑤， 劉 斌， 歐 劍

(1.安徽建筑大學 數理學院,安徽 合肥 230601; 2.安徽建筑大學 經管學院,安徽 合肥 230601)

0 引言

在實際生產運營中，由于消費者需求隨機性的存在，零售商對某類商品實行一次訂購策略往往導致庫存不足或庫存積壓。訂貨不足會導致商品缺貨損失；反之，若一次訂購量太多，為減少庫存成本，快速回籠資金，零售商在銷售期末只能將積壓的庫存商品以一個低于成本價的售價清倉處理。所以，傳統的一次訂購策略可能導致供貨服務水平降低和零售商利潤受損。針對一次訂購的缺點，一些零售商采取了在銷售周期內實行二次訂購的策略來規避市場風險，提升利潤。

然而，由于工藝、產能、原材料或管理等因素的限制，當零售商進行第二次訂貨時，上游商品制造商可能無法及時滿足零售商的采購需求，只有當上游制造商生產的商品庫存滿足零售商二次訂購的需求時才能保證商品的及時供應。所以，零售商第二次訂貨成功的時間點存在不確定性，本文將其稱為“隨機訂貨點”。這種現象普遍存在于現實生活中，如“國貨之光”小米手機在每次新品發售之前會根據預測的市場需求進行第一次訂貨，但是在整個銷售期內仍會出現新款售罄的情況，當零售商根據市場空缺再次補貨時，上游制造商可能因為產能或者原材料不足等原因無法準確把握供貨時間，因此，小米零售部門的第二次訂貨時間也就存在隨機性。這種現象在很多行業的供應鏈運作中很常見，如服裝行業的某種爆款服裝、章丘鐵鍋等，這些熱銷商品都會出現因斷貨而導致第二次供貨時間不確定的情況。本文依據這些實際情況，研究了第二次訂貨時間點不確定的報童問題。

對于報童問題，很多學者進行了深入研究，從單周期到多階段[1,2]，甚至到整個供應鏈問題[3～6]，從一次訂購拓展到可追加訂購問題[7～11]。Lau等[12]研究了帶有二次訂購的單周期報童模型，分析了零售商在兩次訂購機會下的最優訂購量和整個銷售期的最優期望利潤。王圣東等[13]考慮了有缺貨損失情況下的兩階段需求獨立的報童模型，并在此基礎上延伸了兩階段需求相關的報童模型，給出了零售商的最優訂購量，使得其獲得最大的期望利潤。侯云章等[14]研究了只有一個零售商和一個供應商的二級逆向供應鏈系統，在兩個階段的需求均服從正態分布的情況下，采用信息不共享的二次訂購策略時，零售商和整個供應鏈的總收益，并與一次訂購模型進行比較分析，通過數值算例說明二次訂購策略可以優化整個逆向供應鏈系統。王圣東等[15]考慮了兩次訂貨機會下由單個制造商和多個銷售商組成的供應鏈生產、銷售易逝品的協調模型, 給出了模型的解析解。宋海濤等[16]只考慮第一次銷售需求量，研究了帶有兩次訂購、兩次銷售的報童模型。在宋海濤等人的研究基礎上，文獻[17]基于需求分布的不同，通過假設兩次需求獨立且服從不同分布，建立了訂購量與企業收入之間的映射關系，最后詳細探討了需求服從均勻分布時的特殊情況。以上文章都研究了二次訂購的報童模型，但是均假設第二次訂貨時間點是確定的，而未考慮到時間因素的影響。

另外一些文章分析了時間因素對報童模型的影響，如蔡清波等[18]考慮了帶有采購時間的一般報童模型，假設市場需求預測值的方差是采購時間的線性函數，當需求量服從均勻分布時，零售商應如何確定采購時間和最優的訂購量，使得自己在銷售期內獲得最大的期望利潤。李明琨等[19]在傳統報童模型中加入了提前采購的天數，并分析了需求量服從不同分布，且能夠采購到的貨物量、采購成功的概率和進貨價格三個因素分別為時間函數時，零售商的最優訂購量和最小的期望損失。賀勇等[20]分析了帶有提前訂貨期的傳統一次訂購模型，利用計算機仿真的方法求得在訂購時間、庫存成本和最高訂購數量具有時變性質下的最優訂購時間和最佳訂貨量，并以一個實例進行了計算分析。但是這些模型并沒有將時間因素體現在銷售期的兩個階段上，未考慮第二次訂貨時間點不確定的兩階段訂貨情形，然而在實際中普遍存在零售商二次補貨且補貨時間不確定的現象[21]。

本文站在零售商的角度，為了讓零售商獲得最大的期望利潤，以聯系實際和研究以上文獻為基礎，構建了含有隨機訂貨點的兩階段報童模型，在滿足隨機訂貨點和需求率同時服從均勻分布的情況下，所決策最優的訂貨量。通過具體案例對模型進行討論，并對比分析了傳統一次訂購報童模型和訂貨點具有隨機性的二次訂購報童模型的期望總利潤，得出相應的理論貢獻與管理啟示。

1 模型符號與假設

為便于表述，將本文所用符號與假設描述如下：

(1)對銷售周期歸一化處理，將整個銷售期假設為[0,1]；

(2)若上游生產商貨源充足，則及時供貨；

(3)假設零售商第二次訂購時刻為t，且t為服從均勻分布的隨機變量，即隨機訂貨點t～U(0,1)；

(4)將銷售周期內的市場需求率表述為r，假設單位時間的隨機需求量r～U[a,a+h]，其中，a≥0,h>0，且整個銷售期內各時刻的需求率相同；D為整個銷售期間的總需求量，Di(i=1,2)分別為第一階段和第二階段的需求量，且D=r·1=r,D1=rt,D2=r(1-t)；

(5)Qi(i=1,2)分別表示前后兩次的訂貨數量；

(6)將c表示單位商品的采購成本，p表示為單位商品的零售價格，s表示單位商品的缺貨所造成的損失成本，v表示單位商品的回收處理價格，也即商品的殘值。根據實際，不難看出p>c>v。

2 模型的構建

我們考慮在單周期情況下帶有二次訂貨的報童模型，并且在該模型中，只有一個零售商和一個生產商。在銷售期開始(即0時刻)時，零售商采購第一批數量為Q1的商品；然后根據市場實際需求，在隨機的t時刻訂購第二批數量為Q2的商品。根據兩個階段的需求率與銷售時長，得出第一階段的需求量D1=rt，第二階段的需求量D2=r(1-t)。所以，在一個完整銷售周期內的市場總需求量D=r·1=r。

銷售期內的事件順序圖如下：

圖1 考慮訂貨點隨機性的兩階段報童模型事件順序

基于模型中市場需求率r在一個銷售期內保持不變的假設，零售商在銷售期內可獲得市場的需求信息。然而，在第一次訂貨時，銷售期未開始，需求率r和二次訂貨時間t對零售商來說是不確定信息，即第一階段的需求量D1=rt存在隨機性，在第一階段末，商品的剩余量為(Q1-rt)+，這里(a)+=max{a,0}，缺貨量為(rt-Q1)+；零售商在t時刻進行第二次訂貨時，此時需求率r和第二階段的長度1-t已經確定，故第二階段的需求量D2=r(1-t)是確定的，那么零售商的第二次訂貨定會滿足市場的需求，此時訂貨量Q2=max{r(1-t)-(Q1-rt)+,0}，缺貨量為0。因此，整個銷售期的銷售量為min{Q1+r(1-t),r}，訂貨總量為Q1+max{r(1-t)-(Q1-rt)+,0}，缺貨量為(rt-Q1)+，銷售期末剩余量為(Q1-r)+。

π=π(r,t)

=p·min{Q1+r(1-t),r}-

c(Q1+max{r(1-t)-(Q1-rt)+,0})-

s(rt-Q1)++v(Q1-r)+

(1)

式(1)應分成三種情況考慮：

①當Q1

②當rt≤Q1

③當Q1>r時，零售商在第一次的訂貨量可滿足一個完整銷售周期的總需求，第二階段不僅無需補貨，且銷售期末仍有剩余庫存。

用EΠ表示零售商在一個銷售期內的期望利潤，則當第一階段訂貨量為Q1時，零售商的期望利潤為

EΠ(Q1)=E(π)=?π(r,t)f(r,t)drdt

由于r～U[a,a+h]，t～U(0,1)，且r與t相互獨立，所以r與t的聯合概率密度函數為

根據Q1的范圍，應考慮三種不同的情形：

情形10

圖2 情形1下的r-t取值范圍的劃分

則整個銷售期的期望利潤為

(2)

情形2a

則整個銷售期的期望利潤為

(3)

圖3 情形2下r-t取值范圍的劃分

情形3Q1>a+h。

綜上所述，零售商在一個銷售周期內的期望利潤為

(4)

3 銷售期的最優訂貨量

3.1 第一階段的最優訂貨量

當Q1在區間(0,a]時，為求出φ1(Q1)的最大值，首先對其求一階導函數：

(5)

再考慮Q1在區間(a,a+h]時φ2(Q1)的最大值。由于一階導函數

(6)

3.2 第二階段的期望訂貨量

(7)

(8)

因此，整個銷售期內的最優期望總訂購量為

(9)

4 數值算例

某超市以p=200的銷售價格出售某款電子商品，每件商品的采購成本c=100元。如果在一個銷售周期結束該商品仍未售完，則零售商以每件商品v=50元清倉處理；若在銷售期內缺貨，則每件商品的缺貨損失為s=120；該商品在銷售期內的需求率，即r～U[50,120]a=50,h=70；機會訂貨點t～U(0,1)。

如果只進行一次訂購的話，通過計算可得零售商的最優訂貨量為Q*=107.037，整個銷售期的期望利潤為Eπ*=7074.074。

以上例為基礎，通過設置v和s分別變化，研究帶有隨機訂貨點的二次訂購報童模型(以下簡稱二次訂購模型)與傳統一次訂購報童模型(以下簡稱一次訂購模型)的最優訂貨量和期望總利潤的變化。具體數值結果如表一、表二和圖四所示，其中p>c>v。

表1 當p=200,c=100,s=120時，二次訂購模型與一次訂購模型隨v變化的比較

表2 當p=200,c=100,v=50時，二次訂購模型與一次訂購模型隨s變化的比較

圖4 在不同成本下期望利潤關于v和s的變化曲線

結合圖4和表1、表2我們發現，在訂貨點具有隨機性的二次訂購報童模型中，零售商的期望利潤與商品殘值v成正比，與缺貨成本s成反比。通過對圖4的分析，我們可以得到三個結論：第一，當c固定時，期望總利潤的增速與v成正比，其降速與s成反比。這意味著，零售商期望利潤對折價損失v的變化比缺貨損失s更加敏感。因此，在成本有限的情況下，追求更高利潤的零售商在實行二次訂貨策略時應當全面考慮缺貨損失和折價損失。第二，當s不變時，c越低，零售商的期望總利潤對v的變化越敏感，說明對于成本較低的商品，殘值對期望總利潤影響較大。第三，當v不變時，c越高，零售商的期望總利潤對s變化的敏感度也隨之升高。這一結果表明商品的采購成本越高，則因該商品庫存不足導致的缺貨損失對零售商利潤的負面影響也就越大。

5 結束語

本文基于單周期兩階段報童模型，將研究拓展到第二次訂貨時間點具有隨機性的情形中。通過考慮訂貨時間點和市場需求都服從均勻分布來構建二次訂購的報童模型，最后結合實際案例對比分析了該模型與傳統報童模型的優劣。研究結果表明具有二次訂購能力且訂購點隨機的零售商能獲得更高利潤。對于某類采購成本較小的商品，由商品缺貨帶來的利潤損失影響較小，而由庫存剩余導致的折價損失對零售商利潤的影響較大。因此，零售商若追求自身利潤最大化，必須對成本、缺貨損失和折價損失的變化情況進行綜合考慮以選擇合理的訂貨量。本文只考慮了隨機訂貨點和需求率為均勻分布的情況，進一步可以考慮隨機訂貨點和需求率服從一般分布的情況，另外，在很多情況下兩次訂貨的成本并不相同，這也是下一步的研究方向。