考慮更新延長兩階段保修的二手產品維修策略優化

董 克, 羅運鵬

(安徽廣播電視大學 經濟與管理學院，安徽 合肥 230022)

0 引言

近年來，隨著人們環保意識的增強和節約成本的考慮，二手產品(如汽車、筆記本等)越來越受到人們的青睞。對于顧客而言，二手產品的價格固然低廉，但他們同樣也關注于產品的性能。如何保證自己所購買的產品能在使用期限內完成所期望的任務，是他們最關心的問題。因此，二手產品維修問題已逐漸成為當前學者研究的熱點。

針對產品保修和維修問題，一些學者進行了系統的研究，這方面的文章有[1～4]。通常地，為保證產品的正常運行，顧客在購買產品的同時，將選擇經銷商提供的某種保修策略。目前，基本的保修策略主要有兩種：更新保修策略和非更新保修策略。所謂更新保修，是指當產品發生故障時，對產品進行更換，更換成本有兩種分攤形式：一種是全部由經銷商承擔；另一種是由經銷商和顧客依據設備已運行的年齡按比例分攤。在更換的同時，保修期限也進行更新。所謂非更新保修，是指制造商僅負責基本保修期內的產品維修服務，當產品發生故障時，保修期限不更新，一旦保修期滿，保修終止。除上述兩種保修策略之外，學者們還提出了其它保修策略模型[5～7]，此外，還有一些將上述保修策略結合在一起進行研究的文章[8～11]。上述研究中，盡管經銷商提供了多樣的保修策略，但主要集中在基本保修方面，遠遠不能滿足顧客的需求。因此，經銷商又提供了各種延長保修策略供顧客選擇。Lam等[12]提出了一個在免費保修策略下的延長保修策略模型；Wu等[13]從顧客的角度出發，研究了帶有基本保修和延長保修策略的產品的生命周期成本優化問題；Bouguerra等[14]研究了在延長保修期間，對發生故障的產品進行免費小修的策略問題。但是，均沒有考慮到當延長保修期滿之后的產品維修問題；Jung等[15]以顧客維修總費用率最小為目標，研究了新產品的最優維修期問題；Park等[16]提出了帶有維修時間限制的更新延長保修策略；文獻[17]從顧客的角度出發，研究了當保修期滿后對產品進行不完美維護，并且在產品的年齡達到某個值時進行更換的優化策略；Park等[18]還提出了基于二維保修期滿的周期預防維護策略。文獻[19]從制造商的角度出發，研究了帶二維延長保修產品的兩階段維護優化問題；Yang等[20]研究了在二維保修策略下，通過考慮產品的使用率來預測其故障數的問題；文獻[21]分別從顧客和制造商的角度，研究了帶二維保修產品的周期預防維護優化問題；Wang等[22]研究了帶維修時間限制的二維修保修期滿后的最優延長保修策略。

目前，有關保修的研究已取得一定的進展，但多以新產品為研究對象。事實上，在全球提倡環境保護和節約成本的背景下，研究具有一定年齡的二手產品的維修問題更具有現實意義。然而，關于二手產品的研究很少[23]。Chattopadhyay等[24]研究了二手產品在免費更換或者按比例保修情況下的期望保修成本模型，但是沒有考慮預防維修；Pongpech等[25]研究了在租賃前對設備進行升級，在租賃過程中，對設備進行預防維修以減少設備的故障成本的策略模型，但是此模型中待優化參數較多，且預防維護時間間隔不相等，在實際應用中是不易操作的；Shafiee等[26]研究了對二手產品進行升級的策略模型，但它是從出售方的角度來進行研究的，沒有考慮到顧客的費用問題。

針對當前關于二手產品保修的研究較少，且缺乏從顧客視角考慮的問題，本文擬從顧客視角出發，構建年齡在確定區間內變化的二手產品更新延長保修期滿的維修策略模型。該模型與其他已有研究的區別在于：(1)引進了二手產品生命周期的概念。二手產品的生命周期開始于一個二手產品的使用，終止于顧客對另一個二手產品購買的完成；(2)考慮了產品的年齡在確定區間內隨機變化的情形；(3)以相關優化理論為依據，以維修期長度τ為決策變量，以顧客期望總費用率的值C(τ)最小作為優化目標。得到的期望總費用率的最小值C(τ*)及對應的最優維修期長度τ*，可為顧客進行產品維修決策提供理論依據。

本文的結構如下：第一部分為引言；第二部分為問題及策略描述；第三部分是數學模型；第四部分給出了模型最優化的相關理論及證明；第五部分是算例分析，并對參數的靈敏度進行了研究；最后是總結和展望。

2 問題及策略描述

經銷商為了保證所售二手產品的有效運行和增加產品的市場競爭力，通常會在產品出售時，附帶有一定的保修期限。二手產品的生命周期可分為三個階段：(1)基本保修期w。基本保修期可分為兩個互不相交的區間：更換保修期(replacement warranty，RW)和小修保修期(minimal repair warranty，MW)，其區間長度可分別表示為：[0,θw]和(θw，w]。在更換保修期[0,θw]內，若產品發生故障，將用另外的產品進行更換。同時，產品的保修期將進行更新。在更換保修期內，由產品更換所產生的費用，有兩種分攤方式：一種是全部由經銷商承擔；另一種是由經銷商和顧客依據設備已運行的年齡按比例分攤。在產品進行更換時，將會給顧客造成生產相關的損失費用。在小修保修期(θw，w]內，若產品發生故障，則只進行小修；(2)延保期kδ(k≥1)。在基本保修期滿后，顧客可以選擇購買一定長度的延長保修期δ，當顧客重復購買k(k≥2)次延長保修期時，經銷商會給予顧客一定的價格折扣φ，此段時間稱之為延保期(extended warranty，EW)。在此期間，設備所產生的故障小修費用均由經銷商來承擔，顧客只需支付延保費用；(3)維修期τ。當延保期滿后，產品的維修費用完全由顧客自己承擔，此段時間稱為維修期τ。當維修期終止時，顧客將對產品進行更換。圖1為更新延長的兩階段保修模型示意圖。

圖1 更新延長兩階段保修模型示意圖

由于延保期滿后，維修期τ內的所有維修費用需由顧客承擔。對顧客而言，如何確定最優的維修期τ，使得所購二手產品在整個生命周期內的期望總費用率最低，是其關注的核心問題。因此，本文擬從顧客的角度，綜合考慮二手產品在生命周期內三個階段的費用情況，建立了免費保修策略和按比例保修策略兩種策略模型，以二手產品的維修期τ的長度作為決策變量，以整個生命周期內的期望總費用率的值C(τ)最小為優化目標，優化獲得最優期望總費用率C(τ*)的值及對應的最優維修期τ*的值，從而為顧客進行產品維修計劃提供指導。

3 基本模型

符號注記：

Free replacement/repair warranty(FRRW)免費更換/維修保修

Pro-rata replacement warranty(PRRW)按比例保修

Replacement warranty(RW)更換保修

Minimal repair warranty(MW)小修保修

a二手產品的年齡cmw比例保修下的顧客支付的單位小修費用,0?cmw?cmmH(a), h(a)二手產品的年齡累積(密度)分布cmm維修期內的單位小修費用T產品發生故障的時刻ce購買延保的費用F(t),f(t)設備壽命累積分布和密度分布cr更換費用Λ(t)故障率分布函數δ延長保修的長度w基本保修期k延保的次數θ比例參數τ維修期cfm維修期的生產損失單位費用?折扣率θw, (1-θ)w更換保修期和小修保修期,0?θ?1ECL(τ)生命周期長度cfw基本保修期內生產損失的單位費用ETC(τ)期望總費用的值cfew延保期內生產損失的單位費用C(τ)期望總費用率L產品的設計使用壽命(且滿足:ECL(τ)

模型假設：

(1)在基本保修期內，制造商提供的更換保修和小修維修服務的時間忽略不計；

(2)在基本保修期和延保期內，二手產品的保修索賠時間忽略不計;

(3)在延長保修期和維修期內，小修維修服務的時間忽略不計。

假定產品的壽命服從二參數的Weibull分布：f(t)=λβ(λt)β-1e-(λt)β，則產品的故障率函數分布為:

(1)

其中參數λ>0，β>1。

若二手產品的年齡a是隨機變量，其累積分布函數和密度函數分別為H(a)和h(a)，假定密度函數h(a)的表達式為[27～30]:

(2)

則累積分布函數H(a)為:

(3)

其中，H(L)=0，H(U)=1。

則二手產品的平均年齡為：

(4)

(w+kδ+τ)

(5)

產品在更換保修期[0,θw]內的故障數服從幾何分布:

(6)

公式(5)關于N=n求期望，則生命周期的期望值為：

(7)

假定CBW，CEW，CM，Cr分別表示基本保修期費用，延保期費用，維修期費用和生命周期終止時的產品更換費用。則顧客期望總費用的值為：

ETC(τ)=E(CBW)+E(CEW)+E(CM)+E(Cr)

(8)

當系統在更換保修期(RW)內發生N=n次更換時，公式(8)右式中的每項含義如下：

(1)基本保修期費用E(CBW)。基本保修期由更換保修期(RW)和小修保修期(MW)兩階段組成，當系統在更換期內發生N=n次更換時，在FRRW策略下，基本保修期費用由兩部分構成：第一階段保修內的生產損失費用和第二階段保修期內的生產損失費用；而在PRRW策略下，基本保修期費用由四部分構成：更換保修期(RW)內的更換成本分攤、更換時的生產損失費用，小修保修期(MW)內的生產損失費用和需要顧客支付的小修費用。具體如下：

(9)

(2)延保期(EW)費用E(CEW)。在FRRW和PRRW兩種策略下，延保期費用是相同的，為購買延保所支付的費用和延保期間的生產損失費用：

(10)

(3)維修期費用E(CM)。在FRRW和PRRW兩種策略下，維修期費用是相同的，為設備的小修費用和生產損失費用構成：

E(CM)=(cmm+cfm)M(τ)

(11)

(4)更換費用E(Cr)。當維修期滿后，顧客將會對產品進行更換。因此，將產生更換費用：

E(Cr)=cr

(12)

由公式(9)～(12) ，可得當發生N=n次更換時的期望總費用為：

(13)

對上述公式(13)關于N=n求期望，則得到期望總費用ETC(τ)的值為：

(14)

根據以上分析，綜合公式(7)、(14)和文獻[27]的相關理論可得，在生命周期內的期望總費用率的值為：

(15)

(16)

4 模型優化

公式(15)中的待優化決策變量為產品的維修期τ。則優化問題即轉化為尋找τ*，滿足：

C(τ*)=min0≤τ<∞C(τ)

(17)

為尋找維修期的最優值τ*，令：

(18)

將公式(18)展開并整理，得到：

=c0/(cmm+cfm)

(19)

為證明公式(19)解的唯一性，可以使用函數的偽凸性[1]。若公式(15)具有偽凸性，則僅有一個局部最小值，因此也僅有一個全局最小值存在。給出一個引理：

引理1如果F(x)是一個嚴格遞增的分布函數，則對于給定的k,C(τ)關于τ是偽凸的。

因此，函數Q(τ)是正的且是凸的。又函數ETC(τ)是線性的且是正的，所以函數C(τ)關于τ是偽凸的。

定理1給定k≥1，若F(x)是一個嚴格遞增的分布函數，則:

證明利用偽凸性和公式(19)，即可得證。

從定理1可知，滿足公式(19)的τ的值，即為最優維修期τ*。此時，對應的C(τ*)的值即為最優期望總費用率。

5 算例分析

經銷商從市場購得大量二手汽車，經過歸類整理，將同一型號且年齡在區間[L,U]上的二手汽車，進行統一制定銷售價格。針對二手汽車的關鍵零部件，制定基本保修、延長保修維修策略。對顧客來說，如何確定最優的維修期τ，使得所購二手產品在整個生命周期內的期望總費用率最低，是其最關心的問題。部分參數的取值如表1所示。

表1 算例中參數的取值

圖2 當參數β=2,3,4時，FRRW策略下的曲線圖

圖3 當參數β=2,3和4時，PRRW策略下的曲線圖

5.1 當參數β取不同值時顧客期望總費用率值的變化情況

圖2，3為當其它參數取值不變，參數β分別取2，3和4時的兩種維修策略下的顧客期望總費用率的值變化趨勢圖。圖2為免費更換策略下的曲線圖，從圖中可以看出，當β=2時，期望總費用率的值曲線變化比較平緩，當β=4時，期望總費用率的值曲線變化較陡峭，即當產品的劣化速率加快時，顧客期望總費用率的值變化較大，且期望總費用率的值變大。經計算得出，當參數β=2時，顧客期望總費用率最優值為C(τ*)=1.8779，此時，最優維修期的值τ*=22.9594。當參數β取值為4時，顧客期望總費用率最優值在τ*=8.6960時取得，為C(τ*)=2.7938。通過比較，可以得出結論：當參數β的值增大時，產品劣化的速度加快，顧客期望費用率最優值變大，產品的最優維修期變小。相比較而言，對于顧客來說，購買故障率較高的產品，將要付出更多的維修費用。類似地，可以從圖3得出相似的結論。

5.2 兩種策略下的期望總費用率比較

表2和3為其它參數取值保持不變，參數β更換費用cr和小修費用cmm分別取不同值時，對應的最優期望總費用率的值和最優維修期。從表2和3，可以得出如下結論：

(1)當參數β的值增大時，產品的劣化速度加快，兩種策略下的最優期望總費用率C(τ*)的值均增大，最優維修期τ*均變小；

(2)當更換費用cr的值增大時，兩種策略下的最優期望總費用率的值C(τ*)和最優維修期的值τ*均增大；

(3)當小修費用Cmm的值增大時，兩種策略下的最優期望總費用率的值C(τ*)均增大，最優維修期τ*均變小;

(4)FRRW策略下的最優期望總費用率的值均比PRRW策略下的要低。

表2 當參數β，cr和cmm別取不同值時，FRRW策略下的最優值取值情況

表3 當參數β，cr和cmm分別取不同值時，PRRW策略下的最優值取值情況

6 結論

本文針對二手產品的維修問題， 給出二手產品生命周期的定義，并從顧客的角度，提出考慮更新延長兩階段免費更換保修和按比例更換保修兩種策略模型。本文結論可為顧客制定有效的產品維修計劃提供了決策的理論依據。如何為二手產品設計合理的二維保修方案，是未來的研究方向。