基于偏序集的PROMETHEE方法優化研究

張 飛，岳立柱，王國輝

(1.遼寧工程技術大學 公共管理與法學院,遼寧 阜新 123000； 2.遼寧工程技術大學 工商管理學院,遼寧 葫蘆島 125105;3.遼寧省重要技術創新與研發基地建設工程中心,遼寧 沈陽 110000)

0 引言

PROMETHEE法是最受歡迎的多準則決策方法之一。Brans在1982年首次提出PROMETHEE法，由于在概念和應用上均簡便易行，PROMETHEE被廣泛應用于處理國防需求[1]、環境管理[2]、化學[3]、物流與運輸[4]、企業管理[5,6]等各領域問題的決策中。隨著應用領域的擴展，PROMETHEE法逐漸由單一方法發展為方法族。PROMETHEE方法族最初包括部分排序的PROMETHEE I和完全排序的PROMETHEE II，后來又發展出多個版本：如基于區間估計的PROMETHEE III、對連續方案集進行排序的PROMETHEE IV、解決部分約束問題的PROMETHEE V、人腦表示的PROMETHEE VI、用于群決策的PROMETHEE GDSS、用圖形表示的視覺交互模塊GAIA，以及處理分類問題的PROMETHEE TRI和用于名義分類的PROMETHEE CLUSTER等。在實踐應用中，準則權重是PROMETHEE方法不可缺少的先驗信息，其強烈地影響著PROMETHEE方法族的應用效果和決策質量。一些學者采用的賦權方式存在誤區，使得該模型應用不當，增加了決策風險。因此，亟需研究賦權問題，避免應用錯誤，提升該模型的應用質量。

當前，與PROMETHEE模型相結合使用的賦權方法，可歸結為主觀賦權法、客觀賦權法和組合賦權法三種類型，不過后兩種類型并不適用。主觀賦權法是決策者根據自己的偏好和經驗給出準則權重信息的方法，如Dephi法[7]、層次分析法[8]。該方法能較好地反映準則的相對重要性程度，有效提取決策情境信息。但該方法主觀性過強，精確性不夠。為了克服賦權過于主觀問題，有學者提出客觀賦權法，如熵權法[9]、離差法[10]等。但客觀賦權法得到的“權重”無法體現屬性自身的重要性，只是該屬性在決策方案排序上的作用大小，且“權重”值會隨數據變化而變化，穩定性和可繼承性較差[11]。組合賦權法是在綜合主、客觀賦權法基礎上提出的，受客觀賦權法無法得到真正“權重”的限制，組合權重也無法有效反映指標重要性差異。因此，在三種賦權類型中，主觀賦權法恰恰是一種更為合適賦權方法。主觀賦權法易于把握研究對象質性信息，例如指標重要性排序，但一般不易給出精確的量化信息；即使能夠給出精確權重，在方法論層面也存在挑戰。事件的隨機性和信息的不完備性導致現實中任何精確權重數值的給出都過于主觀武斷[12]。應用PROMETHEE家族中的任何一個模型進行決策時需要精確權重，沒有具體權重，模型便無法應用。如何解決權重本質上具有的不確定性和模型需要精確權重的矛盾？

偏序集是一個非常有吸引力的決策支持工具[13]，不僅可自身獨立分析，更可以與其它模型進行結合，進而增強后者的應用范圍與魯棒性。偏序集方法表明，對于含有權重參數的模型，若獲取指標權重的定性排序信息，便可以借助偏序集方法運行該模型。岳立柱等[14]在僅知權重順序信息的基礎上，應用偏序集方法表示TOPSIS模型。通過偏序集方法，在僅獲取屬性序數性質基礎上即可完成方案的排序[15]，結果不僅具有客觀性和保序性[16]，而且能夠進行類別比較。因此本文在借鑒現有研究的基礎上，選擇PROMETHEE家族中應用最為廣泛的成員PROMETHEE II，應用偏序集方法解決其賦權難題(沒有特殊說明，以下PROMETHEE均指PROMETHEE II)。

1 PROMETHEE決策方法

PROMETHEE法是基于偏好指數的一種多準則決策方法。在構建偏好函數基礎上，結合特定評估尺度計算偏好指數并確立方案間的優勢關系。優勢關系以流量形式表示，通過比較方案的凈流來對進行排序，凈流最大的方案為最優方案。

1.1 偏好函數的確定

令M={1,2,3,…,m}，N={1,2,3,…,n}，A={ai|i∈M}表示方案集，C={cj|j∈M}表示準則集，函數fj(j∈N)為方案在屬性cj上的測度值。對于?al,ak∈A，dj(al,ak)為方案ai和方案ak在屬性cj上的屬性值之差，即dj(al,ak)=fj(al)-fj(ak)。構建偏好函數Pj(al,ak)，表示在屬性cj上al優先于ak的程度。即:

F(d)為al相對于ak的優先程度值。Brans等人[17]給出函數F(d)的六種常用評估尺度類型，包括通用類型、類似類型、線性偏好類型、水平類型、線性偏好及無差異區類型和高斯類型，這些類型基本包括了發生在實際應用中的大部分狀況。其取值范圍介于0到1之間。一般Pj(al,ak)∈[0,1]，Pj(al,ak)的值越趨近于1，表示方案al在屬性cj上越優于方案ak。偏好函數也可表示為：

1.2 偏好指數的計算

(1)

1.3 優序關系的流量表示

方案之間的優序關系以流量來進行表示，包括流出、流入和凈流三種形式。流出即某一方案優于其他方案之和，用Φ+來表示；流入為其他方案優于某一方案之和，用Φ-來表示；凈流量是方案流出和流入的差值，用Φ來表示。對于?al∈A，其流入、流出和凈流分別表示如下：

Φ(al)Φ+(al)-Φ-(al)

(2)

PROMETHEE根據Φ(al)的大小對方案進行排序，取值越大表示方案越優。

2 PROMETHEE方法的偏序集表示

2.1 偏序集基礎知識

定義2.1[19]設R是集合A上的一個二元關系，若滿足自反性、反對稱性和傳遞性，則稱R為A上的偏序關系，用“≤”來表示，集合A與其上的偏序關系“≤”一起稱為偏序集，記作(A,≤)。

若評價集M=(A,IC)存在偏序關系，則對?al,ak∈A有al≤ak?cj(al)≤cj(ak),j=1,2,…,n。

給定偏序集(A,≤)，對于?al,ak∈A，若al≥ak，則記rlk=1，若al

(3)

偏序集決策方法根據各方案在偏序集上的hav(al)大小來進行排序。

2.2 用偏序集表示PROMETHEE的流出排序

定理2.1可用如下等價矩陣形式表示:

其中，E為上三角陣，若在矩陣G中，第l行之和大于第k行之和，則Φ+(al)≥Φ+(ak)。

2.3 偏序集表示流出與流入的關系

在Brans等給出的函數F(d)的六種常用偏好函數基礎上得到的方案流出與流入值之和往往等于或者接近于一個常數。例如，當F(d)使用常用類型，即Usual Criterion時，F(al,ak)∈{0,1}，此時Φ+(al)+Φ-(al)=m-1。為了表示的一般性，令Φ+(al)+Φ-(al)=θ,θ∈R。

定義2.2[22]給定一個偏序集P，可以如下構造出與P對偶的偏序集P′：P′與P具有完全相同的元素，只是P′上的序關系與P上的序關系相反：a≤b在P′上成立當且僅當b≤a在P上成立。若P是有限的，則簡單地將P的序圖倒置便得到P′序圖。

定理2.2若Φ+(al)+Φ-(al)=θ，則偏序集(A,M+≤)與(A,M-,≤)是對偶偏序集。

證明設M+的第l行為Φ+(al)，第k行為Φ+(ak)，M-的第l行為Φ-(al)，第k行為Φ-(ak)。

由于Φ+(al)+Φ-(al)=θ，所以Φ+(al)=θ-Φ-(al)。

若Φ+(al)≥Φ+(ak)，即知θ-Φ-(al)≥θ-Φ-(ak)，所以Φ-(ak)≥Φ-(al)。

根據定義2.2，偏序集(A,M+,≤)與(A,M-,≤)是對偶偏序集。證畢。

由對偶偏序集定義2.2可知，方案的流出序圖與流入序圖一定是互為倒置的，只需獲得流出或流入偏序集中的任意一個，即可得到流出和流入兩個互為倒置的方案關系排序圖。

2.4 偏序集表示凈流排序

定理2.3對?al∈A，若Φ+(al)+Φ-(al)=θ，當矩陣G=M+-E的第l行大于第k行，E為上三角陣，則al優于ak。

證明由于al優于ak?Φ(al)≥Φ(ak)，若Φ(al)≥Φ(ak)成立，則定理成立。

由于矩陣G=M+-E的第l行大于第k行，于是Φ+(al)≥Φ+(ak)。根據定理2.2，Φ-(al)≤Φ-(ak)。

又Φ(al)=Φ+(al)-Φ-(al)，于是Φ(al)-Φ(ak)≥0，即Φ(al)≥Φ(ak)，證畢。

根據定理2.3可知，當方案的流入和流出之和為常數時，方案集A中方案的凈流(Φ)排序與流出(Φ+)排序一致，與流入(Φ-)排序相反。在常見的六種類型偏好表達式中，常用類型和類似類型的方案流出與流入值之和等于常數m-1，其余類型接近于這個常數。因此，PROMETHEE模型所采用的基于凈流的排序方式存在信息冗余，只需單獨獲取流入或流出矩陣，即可完成所有方案排序。

2.5 方案的關系矩陣生成與HASSE矩陣轉換

設評價集M=(A,IC)對于?al,ak∈A，若Φ+(al)≥Φ+(ak)，則稱al≥ak。根據方案間的比較關系可得比較關系矩陣R。為進一步簡化關系數量，可將關系矩陣轉化為HASSE矩陣，進而通過HASSE圖來表示方案間的偏序關系。文[23]給出了比較關系矩陣與HASSE矩陣之間的轉化關系：

HR=(R-I)-(R-I)2

(4)

其中，R代表比較關系矩陣，HR代表HASSE矩陣，I為單位陣，矩陣(R-I)2為布爾代數。

綜上所述，應用偏序集表示權重未知的PROMETHEE模型的排序步驟如下：

第二步：按權重大小對指標進行重新排序和編號，使第j個指標權重為第j大；

第三步：根據定理2.1，分別得到流出、流入和凈流的比較關系矩陣R+、R-、R。

第四步：通過式(4)將方案比較關系矩陣轉換為HASSE矩陣，并繪制HASSE圖對排序結果進行分析。

3 算例研究

利用文獻[24]中的實例，驗證偏序集排序的有效性。該實例包含10個備選方案，方案集A={A1,A2,…,A10}，包含5個評價準則，均為效益型準則，準則集為IC={c1,c2, …,c5}，權重向量為W={ω1,ω2,…,ω5}，偏好函數選擇通用類型，具體數據見表1。算例中雖然給出具體權重值，本文僅提取權重順序，即ω2>ω1>ω4>ω3>ω5>0,通過該序數對方案進行排序分析。

表1 方案原始數據表

表2 方案在不同指標上的流出、流入及凈流量表

其次，根據算例中所給出的權重順序，即ω2>ω1>ω4>ω3>ω5>0對準則進行重新排列，根據定理2.1對不同指標上方案的流出、流入和凈流進行兩兩比較，分別得到流出、流入和凈流的關系矩陣R+、R-和R，見表3～表5。

表3 關于流出的方案比較關系矩陣

表4 關于流入的方案比較關系矩陣

表5 關于凈流量的方案比較關系矩陣

最后，依公式(4)，由方案比較關系矩陣得到HASSE矩陣，并繪制HASSE圖，如圖1～圖3所示。

由圖1～圖3可見，無論是基于流出、流入還是凈流的方案關系HASSE圖都包括四個層集：其中，方案A4和A6屬于同一層集，方案A3和A7同一層集，方案A1、A2、A5、A8和A9同一層集，方案A10一個層集。層集之間的比較關系為{A4,A6}?{A1,A2,A5,A8,A9}?{A10}?{A3,A7}。

圖1 基于流出的方案關系HASSE圖

圖2 基于流入的方案關系HASSE圖

圖3 基于凈流量的方案關系HASSE圖

對比分析：

本文方法的排序結果為{A4,A6}?{A1,A2,A6,A8,A9}?{A10}?{A3,A7}，是一種偏序結構。文[24]給出的結果為全序結構A4?A6?A9?A2?A8?A5?A1?A10?A3?A7。為進一步與文[24]進行對比分析，利用式(3)計算方案在(A,≤)上的高度值，展開更細致的方案排序，結果為：hav(A1)=8.8，hav(A2)=5.5,hav(A3)=1.1,hav(A4)=9.7778,hav(A5)=4.7143,hav(A6)=9.7778,hav(A7)=1.1,hav(A8)=5.5,hav(A9)=7.7,hav(A10)=3.3,于是可得A4=A6?A1?A9?A2=A8?A5?A10?A3=A7。由此可見，本文方法與文[24]方法的排序結果非常相似。但是本文方法有如下不同之處：

(1)本文方法在操作中更為簡便。文[24]方法采用精確權重參與計算，卻沒有明確給出權重來源。本文方法充分考慮權重賦值困難且充滿爭議的特點，僅使用權重順序即完成方案排序。權重順序在實際決策中易于獲取，大大降低了應用的難度。應用本文方法免去了仿真的麻煩，并且可以對結果進行解析分析。

(2)本文方法的理論框架更為穩健。文[24]方法將一組具體的權重向量引入到PROMETHEE模型中影響決策，本文方法則是將權重空間引入PROMETHEE模型，充分考慮權重賦值變化的可能。只要滿足權重順序不變，評價結果就不變，因而本文的方法穩健性更強。

(3)本文方法可對評價結果進行結構化分析。文[24]給出的是方案的線性序，僅反映方案優劣關系。本文方法給出的結果是同時包含可比關系和不可比關系的偏序結構。實際決策中，偏序集排序更接近決策本質。它不僅能夠進行方案排序，且能夠對方案進行分層、歸類。一方面排序結果中的可比關系凸顯排序結果的穩定性；只要權重順序保持不變，方案間可比關系就不會發生改變；另一方面不可比關系體現排序結果的可變性；隨著權重的變化，方案排序在一定概率條件下會發生顛倒。偏序結構提供一個方案的識別框架，這種結構化屬性保證了評價結果的穩定性和靈活性。

4 結論

針對多準則決策方法PROMETHEE在應用中具體權重信息無法獲知的情況，提出一種應用偏序集表示的改進方法，應用該方法僅需獲取權重序數信息即可進行方案排序。本文方法本質上是通過序關系將權重空間融入到模型當中，取代原方法的單一權重，由此展示了排序結果的穩定性與靈活性。通過算例表明，該排序方法排序穩健、復制容易，且體現定性與定量相結合的特點。盡管本文結果與算例中排序結果基本一致，但本文進一步揭示了排序中穩健方案和易變方案。