沖擊模型中強度的預測

張 權，李艷君，韓 旸

(齊齊哈爾大學 理學院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引言

引起一個系統失效有很多原因，其中系統受外部的沖擊是一個主要的原因，尤其是現在的電子信息時代，電子產品更容易沖到沖擊。如車載導航系統等，由于車速及路況等問題，就容易引起系統的不穩定，甚至摧毀這個系統，還有一些通訊設備，由于隨機環境的原因，也容易引起系統的癱瘓。這些生活中的實例是我們研究沖擊模型預測的原動力。良好的預測能夠提前為系統加個保護，使得系統更加穩定耐用，達到延長系統壽命的目的。在可靠性領域，沖擊模型也是熱點問題之一，如：cumulative(累計)shock models[1]；extreme(極大)shock models[2,3]；n次沖擊中有k次到達致命的沖擊模型[4]等。在這些模型中，均研究的是隨機環境下系統的可靠性等問題，而且討論了維修費用何時達到最小，如Montoro-Cazorla et al.[5]應用phase-type分布研究了具有策略N的沖擊模型。Montoro-Cazorla et al.[6]中提出了具有馬爾科夫到達過程的沖擊模型。Montoro-Cazorla and Pe′rez-Oco′n[7]又提出了具有三類維修的隨機退化沖擊模型。 還有許多關于沖擊模型[8～10]的工作，詳見Montoro-Cazorla and Pérez-Ocón[11], Montoro-Cazorla and Pérez-Ocón[12]，Tang and Lam[13]。但這些工作均沒有提出過對沖擊強度作預測的模型，本文建立了沖擊強度估計的模型，并利用線性最小方差的方法給出了第n步沖擊的強度預測值Yt+n|Yt,Yt-1,…的置信度為1-α的置信區間。從而為保護系統能提前做出有效的預防。本文的結構如下：第一部分提出了沖擊強度Yt平穩序列模型ARS(P)；第二部分推導了ARS(P)模型的方差；第三部分給出了沖擊強度未來n步Yt+n的估計和正態假設下的模型的區間估計；最后是本文的結論。

1 沖擊強度Yt平穩序列模型ARS(P)

假設Yt-1,Yt-2,…是已知的歷史信息，且Yt是歷史數據信息Yt-1,Yt-2,…的線性函數。建模如下：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt

稱此模型為p階自回歸強度模型，簡記為：ARS(P)。

模型假設：

(2)φ=(φ1,…,φp)為模型的自回歸系數；

(3)εt與Yt-i(i=1,2,…)不相關。即EYsεt=0,?s

(4)φp≠0，這個限制條件保證了模型的最高階數為p；

(5)模型Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt中的Yt-1,Yt-2,…是自相關的；

(6)引進延遲算子，ARS(p)模型可記為Φ(B)Yt=εt。其中Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp。且假設λj(j=1,…,p)為此差分方程的特征根，有|λj|<1。

2 ARS(P)模型的方差

2.1 Green函數及模型的方差

要得到平穩ARS(P)模型的方差，需要借助Green函數，由假設(5)得

格林函數的意義：

(1) 格林函數Gj是前j個時間單位以前進入系統的干擾εt-j對沖擊系統現在行為影響的權數，Gj越大，過去的干擾對t時刻沖擊系統的影響也就越大，系統的記憶性也越強。

(2) 格林函數Gj刻畫了系統動態響應的規律，是系統動態的真實描述。

(3) 格林函數Gj決定了數據的生成過程和統計性質，如果Gj→0(j→∞)，則過去干擾的影響逐漸衰減。

3 沖擊強度未來n步Yt+n的估計

3.1 沖擊強度Yt的第n步預測值

3.2 正態假設下預測值Yt+n的置信區間

4 案例分析

已知某礦區附近居民樓受到礦業開采沖擊的影響，其破壞程度近似服從ARS(2)模型。Yt=10+0.6Yt-1+0.3Yt-2+εt,εt～N(0,36)。 從觀測時刻起，某年第一季度該居民樓受到的沖擊觀測值分別為：101J/m，96 J/m，97.2 J/m。我們來預測該居民樓第二季度每月沖擊強度的95%的置信區間。

(1)預測值的計算

(2)預測值的方差

G0=1
G1=φ1G0=0.6
G2=φ1G1+φ2G0=0.66

則Var[e3(1)]=36;Var[e3(2)]=48.96;Var[e3(3)]=64.64。

計算結果如表1：

表1 第二季度居民樓受到沖擊的95%置信區間

從表1可以看出，第二季度居民樓受到沖擊的預測值均落在95%置信區間中，說明此模型預測合理，有理論與實際意義。

5 結論

本文提出了沖擊模型的預測問題，為提前有效的采取預防保護等措施提供了一個有效的方法，此方法在前期的沖擊模型問題的研究中均沒有提到過。我們知道，外部沖擊會隨機的作用于系統，而且他們之間是相關的，因此，本文建立的沖擊強度模型的預測模型是有實際意義的。而且根據建立的模型分析了在正態假設下預測值的置信區間，也就是給出了沖擊強度的一個合理的估計。最后通過一個具體的實例，說明了模型的實用性和有效性。為沖擊模型的將來研究提供了理論基礎。