沖擊模型中強(qiáng)度的預(yù)測(cè)

張 權(quán)，李艷君，韓 旸

(齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引言

引起一個(gè)系統(tǒng)失效有很多原因，其中系統(tǒng)受外部的沖擊是一個(gè)主要的原因，尤其是現(xiàn)在的電子信息時(shí)代，電子產(chǎn)品更容易沖到?jīng)_擊。如車載導(dǎo)航系統(tǒng)等，由于車速及路況等問(wèn)題，就容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定，甚至摧毀這個(gè)系統(tǒng)，還有一些通訊設(shè)備，由于隨機(jī)環(huán)境的原因，也容易引起系統(tǒng)的癱瘓。這些生活中的實(shí)例是我們研究沖擊模型預(yù)測(cè)的原動(dòng)力。良好的預(yù)測(cè)能夠提前為系統(tǒng)加個(gè)保護(hù)，使得系統(tǒng)更加穩(wěn)定耐用，達(dá)到延長(zhǎng)系統(tǒng)壽命的目的。在可靠性領(lǐng)域，沖擊模型也是熱點(diǎn)問(wèn)題之一，如：cumulative(累計(jì))shock models[1]；extreme(極大)shock models[2,3]；n次沖擊中有k次到達(dá)致命的沖擊模型[4]等。在這些模型中，均研究的是隨機(jī)環(huán)境下系統(tǒng)的可靠性等問(wèn)題，而且討論了維修費(fèi)用何時(shí)達(dá)到最小，如Montoro-Cazorla et al.[5]應(yīng)用phase-type分布研究了具有策略N的沖擊模型。Montoro-Cazorla et al.[6]中提出了具有馬爾科夫到達(dá)過(guò)程的沖擊模型。Montoro-Cazorla and Pe′rez-Oco′n[7]又提出了具有三類維修的隨機(jī)退化沖擊模型。 還有許多關(guān)于沖擊模型[8～10]的工作，詳見Montoro-Cazorla and Pérez-Ocón[11], Montoro-Cazorla and Pérez-Ocón[12]，Tang and Lam[13]。但這些工作均沒(méi)有提出過(guò)對(duì)沖擊強(qiáng)度作預(yù)測(cè)的模型，本文建立了沖擊強(qiáng)度估計(jì)的模型，并利用線性最小方差的方法給出了第n步?jīng)_擊的強(qiáng)度預(yù)測(cè)值Yt+n|Yt,Yt-1,…的置信度為1-α的置信區(qū)間。從而為保護(hù)系統(tǒng)能提前做出有效的預(yù)防。本文的結(jié)構(gòu)如下：第一部分提出了沖擊強(qiáng)度Yt平穩(wěn)序列模型ARS(P)；第二部分推導(dǎo)了ARS(P)模型的方差；第三部分給出了沖擊強(qiáng)度未來(lái)n步Y(jié)t+n的估計(jì)和正態(tài)假設(shè)下的模型的區(qū)間估計(jì)；最后是本文的結(jié)論。

1 沖擊強(qiáng)度Yt平穩(wěn)序列模型ARS(P)

假設(shè)Yt-1,Yt-2,…是已知的歷史信息，且Yt是歷史數(shù)據(jù)信息Yt-1,Yt-2,…的線性函數(shù)。建模如下：

Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt

稱此模型為p階自回歸強(qiáng)度模型，簡(jiǎn)記為：ARS(P)。

模型假設(shè)：

(2)φ=(φ1,…,φp)為模型的自回歸系數(shù)；

(3)εt與Yt-i(i=1,2,…)不相關(guān)。即EYsεt=0,?s

(4)φp≠0，這個(gè)限制條件保證了模型的最高階數(shù)為p；

(5)模型Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+εt中的Yt-1,Yt-2,…是自相關(guān)的；

(6)引進(jìn)延遲算子，ARS(p)模型可記為Φ(B)Yt=εt。其中Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp。且假設(shè)λj(j=1,…,p)為此差分方程的特征根，有|λj|<1。

2 ARS(P)模型的方差

2.1 Green函數(shù)及模型的方差

要得到平穩(wěn)ARS(P)模型的方差，需要借助Green函數(shù)，由假設(shè)(5)得

格林函數(shù)的意義：

(1) 格林函數(shù)Gj是前j個(gè)時(shí)間單位以前進(jìn)入系統(tǒng)的干擾εt-j對(duì)沖擊系統(tǒng)現(xiàn)在行為影響的權(quán)數(shù)，Gj越大，過(guò)去的干擾對(duì)t時(shí)刻沖擊系統(tǒng)的影響也就越大，系統(tǒng)的記憶性也越強(qiáng)。

(2) 格林函數(shù)Gj刻畫了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的規(guī)律，是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的真實(shí)描述。

(3) 格林函數(shù)Gj決定了數(shù)據(jù)的生成過(guò)程和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如果Gj→0(j→∞)，則過(guò)去干擾的影響逐漸衰減。

3 沖擊強(qiáng)度未來(lái)n步Y(jié)t+n的估計(jì)

3.1 沖擊強(qiáng)度Yt的第n步預(yù)測(cè)值

3.2 正態(tài)假設(shè)下預(yù)測(cè)值Yt+n的置信區(qū)間

4 案例分析

已知某礦區(qū)附近居民樓受到礦業(yè)開采沖擊的影響，其破壞程度近似服從ARS(2)模型。Yt=10+0.6Yt-1+0.3Yt-2+εt,εt～N(0,36)。 從觀測(cè)時(shí)刻起，某年第一季度該居民樓受到的沖擊觀測(cè)值分別為：101J/m，96 J/m，97.2 J/m。我們來(lái)預(yù)測(cè)該居民樓第二季度每月沖擊強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間。

(1)預(yù)測(cè)值的計(jì)算

(2)預(yù)測(cè)值的方差

G0=1
G1=φ1G0=0.6
G2=φ1G1+φ2G0=0.66

則Var[e3(1)]=36;Var[e3(2)]=48.96;Var[e3(3)]=64.64。

計(jì)算結(jié)果如表1：

表1 第二季度居民樓受到?jīng)_擊的95%置信區(qū)間

從表1可以看出，第二季度居民樓受到?jīng)_擊的預(yù)測(cè)值均落在95%置信區(qū)間中，說(shuō)明此模型預(yù)測(cè)合理，有理論與實(shí)際意義。

5 結(jié)論

本文提出了沖擊模型的預(yù)測(cè)問(wèn)題，為提前有效的采取預(yù)防保護(hù)等措施提供了一個(gè)有效的方法，此方法在前期的沖擊模型問(wèn)題的研究中均沒(méi)有提到過(guò)。我們知道，外部沖擊會(huì)隨機(jī)的作用于系統(tǒng)，而且他們之間是相關(guān)的，因此，本文建立的沖擊強(qiáng)度模型的預(yù)測(cè)模型是有實(shí)際意義的。而且根據(jù)建立的模型分析了在正態(tài)假設(shè)下預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間，也就是給出了沖擊強(qiáng)度的一個(gè)合理的估計(jì)。最后通過(guò)一個(gè)具體的實(shí)例，說(shuō)明了模型的實(shí)用性和有效性。為沖擊模型的將來(lái)研究提供了理論基礎(chǔ)。