拉索線形參數(shù)的解析解研究

曠新輝，江 海，殷 源，吳 超，何雄君

(1.湖北省路橋集團有限公司， 湖北 武漢 430056；2.湖北省聯(lián)合發(fā)展投資集團有限公司，湖北 武漢 430000； 3.武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢 430063；4.湖北省公路工程研究中心，湖北 武漢 430063)

0 引言

斜拉橋因跨越能力強、經(jīng)濟指標好以及結構形式新穎、美觀等特點，已成為現(xiàn)代橋梁工程中最熱門的橋型之一[1]。斜拉索作為斜拉橋結構中的主要承重構件，為梁體提供彈性支撐，將橋跨結構的自重以及橋面活載傳遞至索塔；同時斜拉索的存在使得梁跨截面的最大彎矩得以降低，提高了橋梁的跨越能力[2]。斜拉索是一種柔性結構，其在拉索自重和張力的作用下線形呈懸鏈線[3]，實際斜拉索線形受端部張力、索長、彈性變形、幾何非線性等因素的影響，拉索的線形問題一直以來都是橋梁工作者研究的熱點[4]。

Bernoullis，Leibnitz，Routh，F(xiàn)eld先后計算得到了斜拉索的懸鏈線解，為斜拉索的靜力分析奠定了基礎，但其計算方法相當繁瑣。Ernst在1965年提出了修正彈性模量的表達式——Ernst公式，考慮將曲線斜拉索用兩節(jié)點直線桿來代替，通過修正斜拉索的彈性模量來考慮其剛度，但由于斜拉索位移和索力增量之間的非線性關系，這種算法會導致斜拉索索力和拉伸量之間關系的不閉合。張震陸等[5]提出了“懸鏈段”分析方法，對于一個特定的問題，只要求出各懸鏈段對應水平懸鏈的跨度及其他參數(shù)，即可得到待求量。該方法由于利用了水平懸鏈線的精確解，精度高于其他近似方法。彭力軍等[6]提出了利用斜拉索索長來計算水平張拉力，以及通過斜拉索端部張拉力反求斜拉索索長的迭代方法。李強興[7]推導了斜拉索的計算公式，假定水平張力為已知量來計算索長、傾角等，但從實際應用的角度考慮，其假定的索長和水平張拉力均是待求的未知參數(shù)，誤差大。魏建東[8]推導了含待定參數(shù)的斜拉索線形的靜力方程，可以應用于工程設計及強度驗算，但該方法需要編程并進行迭代求解，在實際工程應用中不太方便。麥深林[9]利用斜拉索自重作用下斜拉索微段的靜力平衡方程，推導出考慮彈性變形和不考慮彈性變形兩種情況下斜拉索懸鏈線線形所對應的物理量，并提出了基于移動坐標原點的斜拉索簡化計算方法。目前許多工程技術人員在計算中利用拋物線方程近似替代懸鏈線方程來求解斜拉索參數(shù)，該方法雖然能夠滿足一些工程應用的要求，但當處理有關斜拉索的非線性問題而又考慮彈性變形的影響時，就會遇到數(shù)學上的困難[10]。

因此有必要研究一種沒有限制的精確計算方法，筆者在本研究中利用自重作用下任意微段的靜力平衡方程，推導出斜拉索的線形理論公式，并從斜拉索的基本線形方程出發(fā)，推導出有工程應用價值的斜拉索參數(shù)。

1 拉索線形的解析解推導

如圖1所示，以梁端錨點處為原點建立直角坐標系，塔端錨點坐標(X1,Y1)，拉索上任一點坐標(x,y)。拉索在拉力N，重力場G的作用下，發(fā)生拉伸和下?lián)希我馕⒃w之間的拉力N、N～和重力ΔG滿足力的平衡條件，以任意微元體的平衡條件構造拉索線形的微分方程并求解。

圖1 斜拉索懸掛參數(shù)Fig.1 Suspension parameters of stay cable

根據(jù)斜拉索的微段平衡條件，計算圖如圖2所示。

圖2 斜拉索任意微段的平衡Fig.2 Equilibrium of any micro segment of stay cable

設拉索曲線方程為：

y=f(x)，

(1)

則拉索任一點的水平夾角：

φ(x)=arctan[f′(x)]，

(2)

(3)

(4)

任意微元體的重力：

(5)

式中，A為拉索正截面面積；N為拉索任意一點索力；E為拉索彈性模量。

微元體長：

(6)

索長：

(7)

由任意微元體的靜力平衡可得：

(8)

C=N[φ(x+dx)-φ(x)]。

(9)

當dx→0時，C為正無窮小量。

將式(9)Taylor展開[11]，取前2項，略去dx高次項，公式化簡為：

C=Nφ′(x)dx。

(10)

將方程(3)～(6)，(10)代入式(8)，化簡整理得：

(11)

f″(x)-Df′(x)2-D=0，

(12)

(13)

參數(shù)D1，D2為解微分方程后的待定系數(shù)。將坐標系建立在梁端錨點，式中梁端錨點坐標為(0,0)，塔端錨點坐標(X1,Y1)，求出待定參數(shù)D1，D2。

D2=-1，

(14)

(15)

拉索的線形方程解即解析解為：

(16)

2 基于線形方程的拉索重要參數(shù)推導

根據(jù)推導的拉索線形方程，可以求解出：曲線索長ls、無應力索長l0、等效彈性模量Eeq、梁端錨點水平夾角φ(0)、塔端水平夾角φ(x)、拉索的垂度fm。

2.1 曲線索長求解

D可改寫成為：

(17)

展開式(17)，得：

(18)

(19)

(20)

2.2 無應力索長求解

拉索在拉應力σ作用下發(fā)生體積變化，其體積變化滿足體積柔量公式[12]：

(21)

(22)

故：

(23)

2.3 拉索在任意應力下的等效彈性模量

(24)

將式(22)代入式(24)左側，可求得任意應力σ作用下的Eeq。

(25)

(26)

展開式(26)，后兩項占Eeq的比值小于0.2%，做近似計算時，等效彈模公式[13-14]可簡化為：

(27)

2.4 拉索梁端和塔端錨固角度求解

任意點拉索的角度為：

(28)

拉索梁端錨固角度：

φ(0)=arctan(D1)。

(29)

拉索塔端錨固角度：

(30)

2.5 拉索垂度求解

(31)

將f(x)表達式代入化簡為：

(32)

2.6 拉索錨固點位移對索力的影響

拉索錨具變形、主塔與主梁彈性壓縮、混凝土的收縮徐變對索力的影響本質上均由拉索錨點的幾何變形導致。

考查式(24)，拉索的錨點幾何變形量可改寫為：

(33)

求出：

σ2=EeqΔ+Δσ1+σ1，

(34)

應力變化值：

dσ=σ2-σ1=EeqΔ+Δσ1，

(35)

式中Δ為錨點間距變化增量[15](無量綱數(shù))：

(36)

3 算例

3.1 算例1

以文獻[15]中提供的計算實例進行計算。取某長江公路大橋編號為J10，J18的斜拉索進行計算，計算方法分別采用Ernst公式[16-18]和本研究介紹方法。計算參數(shù)及計算結果如表1所示。

表1 某長江公路大橋斜拉索J10、J18計算參數(shù)對比Tab.1 Comparison of calculation parameter of stay cables J10 and J18 of a Yangtze River highway bridge

輸出結果J10J18本研究計算結果Ernst公式本研究計算結果Ernst公式梁端斜率0.7600.7790.4840.508 塔端斜率0.798 0.7790.5330.508 索長/m158.930 158.926248.078 248.063 伸長量/m0.4100.344 0.7010.595 無應力索長/m158.520158.582247.377247.468

3.2 算例2

以筆者承擔施工的某在建長江公路大橋為例，分別取M10，M20，M30，這3根索，按Ernst公式方法和本研究介紹方法進行計算斜拉索索長及無應力索長等參數(shù)，計算參數(shù)表及計算結果如表2所示。

表2 某在建長江公路大橋斜拉索M10，M20，M30 計算參數(shù)對比Tab.2 Comparison of calculation parameters of stay cables M10, M20, M30 of a Yangtze River highway bridge under construction

實際施工M10，M20，M30，這3根索的無應力索長分別為209.379，342.940，487.351 m。這說明按Ernst公式計算的無應力索長偏長，而利用本研究計算方法的無應力索長等計算相對準確。

4 結論

本研究的拉索線形公式推導拋開了Ernst公式的假定條件，等效彈性模量推導直接利用廣義胡克定律中的體積柔量公式，以上參數(shù)和結果均為理論推導值，避免了近似計算帶來的誤差，在超大跨度斜拉索的計算上有著更好的適應性，并在實際應用過程中得到驗證。