考慮損失厭惡行為與談判破裂的Rubinstein談判博弈研究

馮中偉， 譚春橋

(1.河南理工大學 能源科學與工程學院,河南 焦作 454000； 2.中南大學 商學院，湖南 長沙 410083)

0 引言

Rubinstein談判[1]是一種處理兩人之間如何進行利益分配的非合作博弈方法。無破裂風險與理性參與人是Rubinstein談判兩個突出的特征。然而，無破裂風險并不能準確地刻畫現實的談判過程，因為在現實的談判問題中談判破裂隨時會發生。談判破裂的原因無外乎兩種：一種是參與人對漫長的談判過程感到厭煩，憤而退出談判；另一種是第三方的出現。前者如朝鮮退出朝核六方會談事件；后者如高通收購恩智浦的提案由于未獲得中國同意而致使該并購終止。另一特征——理性參與人亦有其局限性，因為人們更傾向于最小化其損失，而不是最大化其收益[2～5]。在談判過程中，如果過去某談判階段的出價高于當前談判階段的出價，那么參與人會拒絕當前談判階段的出價，因為當前談判階段的出價發生了損失(相對于過去某談判階段較高的出價)。這是所謂的“損失厭惡”現象。

Kahneman和Tversky與1979年提出了損失厭惡的思想，他們認為決策者的心理參考點能夠影響其決策時的風險態度，從而導致了決策者的非理性決策。當面對比參考點低的收益時，人們往往表現出損失厭惡的態度；且損失導致效用的減少大于所得導致效用的增加，即面對同樣的損失或獲得，人們對損失更敏感。這些心理特征被Kahneman和Tversky稱之為損失厭惡。相關實驗研究顯示：損失厭惡行為在談判中扮演著重要作用，如Bazerman等[6]在談判實驗的過程中發現，因為人們具有損失厭惡行為，人們更易于對獲得財產達成一致，而不是損失財產。Neale和Bazerman[7]以及Neale等[8]得到了相似的結論。為了將損失厭惡引入Rubinstein談判博弈中，本文采用Shalev[9]提出的損失厭惡模型。在Shalev的損失厭惡模型中，參與人的偏好由基本效用、非負的損失厭惡參數以及參考點三者刻畫；如果參與人的所得低于參考點，那么其效用等于基本效用減去負效用，其中負效用等于損失乘以損失惡參數。自從Shalev提出線性的損失厭惡模型，該損失厭惡模型受到學者的廣泛關注，并在許多研究損失厭惡行為的文獻中得到應用[9,10]。

相關的研究主要分為兩類：固定參考點與內生參考點[11～13]。

目前在談判問題中研究談判破裂與損失厭惡影響的文獻并不多。Binmore等[11]首先在Rubinstein談判博弈中引入談判破裂風險的思想，并探討了與納什談判解之間的關系。然而，文獻[11]在對談判博弈展開研究時并未考慮參與人的損失厭惡行為。為研究損失厭惡對談判結果的影響，Shalev[12]假定參考點是內生的，在兩人Nash談判引入了損失厭惡行為。Driesen等[13]在文獻[12]的基礎上研究損失厭惡對n人Nash談判的影響。Driesen等[14]在Rubinstein談判中引入了損失厭惡行為，假定參考點等于過去談判階段被拒絕的最高出價，研究損失厭惡對Rubinstein談判博弈的影響。

通過文獻研究發現，考慮損失厭惡行為的Rubinstein談判博弈的相關研究存在如下特點：1)相關文獻假定參考點是內生的。然而在某些實現的談判中，參考點可能是外生給定的。例如，已參加了一家公司招聘的求職者應聘第二家公司時，該求職者會以第一家公司的薪資待遇為參考，與第二家公司進行薪資談判。2)相關文獻未考慮談判破裂的情形，這限制了其在實際談判問題中的應用。因此，本文考慮談判具有破裂風險且參與人具有損失厭惡行為的Rubinstein談判博弈，在參考點是外生的情形下，尋找該談判博弈的子博弈完美均衡，研究談判破裂概率與損失厭惡行為對該均衡解的影響。

1 模型構建

1.1 具有談判破裂風險的Rubinstein談判博弈

參與人1和2針對大小為1的“餡餅”如何劃分展開談判，所有可能的結果集為

Z=:{(z1,z2)∈R2|z1+z2=1,z1,z2≥0}

在時刻t∈T={Δ,2Δ,3Δ,…}(其中Δ為兩次連續出價之間的時間間隔)談判發生。令Todd={Δ,3Δ,…}和Teven={2Δ,4Δ,…}分別表示奇數時刻集合與偶數時刻集合。在時刻t∈Todd，參與人1出價(z1,z2)∈Z，參與人2決定是否接受該出價。在時刻t∈Teven={2,4,…}，參與人2出價，參與人1決定是否接受出價。如果出價(z1,z2)被接受，談判結束，參與人i(i=1,2)所得份額為zi。如果出價被拒絕，那么談判可能破裂，也可能繼續到下一時刻，令談判破裂的概率為p，則談判繼續的概率為1-p。如果談判破裂，參與人1和2的支付為零，如果談判一直進行，參與人的支付依然為零。令δ=exp(-βΔ)為參與人的貼現因子，其中β>0貼現率。如果t時刻參與人i所得份額為zi，那么參與人i的支付為δtzi。

1.2 損失厭惡

在1.1節描述了具有談判破裂風險的Rubinstein談判博弈，本節假定參與人具有損失厭惡行為。為刻畫參與人的損失厭惡行為，假定參與人i(i=1,2)的份額zi的基本效用等于zi，低于參考點ri∈[0,1]的份額zi視為損失，相應的效用隨著損失厭惡系數λi≥0的增大而減小。根據Shalev的損失厭惡模型[15]，參與人i評估份額zi的效用為

wi(zi,λi,ri)=(1+λi)zi-λimax{ri,zi}

(1)

由(1)式給出的效用函數與Tversky和Kahneman提出的價值函數是相似的。(1)式保留了價值函數的損失厭惡性質。對于(1)式，損失厭惡系數λi越大，意味著參與人i的損失厭惡水平越高。

盡管文獻[12～14]研究了參考點內生的情形，但內生的參考點具有其局限性，因為在某些情形下參考點是外生的。例如，已參加了一家公司招聘的求職者參加應聘第二家公司時，該求職者會以第一家公司的薪資待遇為參考，與第二家公司進行薪資談判。因此，本文假定談判過程中參考點是外生的，并且假定參與人1和2的參考點小于或等于參與人的出價。否則參與人的出價總是被對方拒絕，談判永遠無法達成一致。

2 子博弈完美均衡的構建

為了構建子博弈完美均衡，考慮子博弈完美均衡滿足如下性質：

性質1(無延遲) 無論參與人何時出價，其均衡出價總是被另一個參與人接受。

性質2(穩定性) 在均衡中，無論參與人何時出價，該參與人總是進行相同的出價。

以此改善自身的效用。因此

(2)

相似的，在偶數時刻，有

(3)

(4)

(5)

聯立等(4)式和(5)式，得

(6)

(7)

證明給定參與人2的策略(命題1中描述的策略)，證明參與人1的策略(命題1中描述的策略)是最優反應。

對于任意奇數時刻，參與人1出價z=(z1,z2)。存在三種情形：

相似的，給定參與人1的策略(命題1中描述的策略)，證明參與人2的策略(命題1中描述的策略)是最優反應。證畢

如果λ1=λ2=0，那么x*=(1/[1+(1-p)δ],(1-p)δ/[1+(1-p)δ])，這是參與人是完全理性時的子博弈完美均衡出價。

如果λ1=λ2>0，那么x*=((1+pλ)/[1+pλ+(1-p)δ],(1-p)δ/[1+pλ+(1-p)δ])。

因為(1+pλ)/[1+pλ+(1-p)δ]>1/[1+(1-p)δ]。因此，參與人1受益于參與人2的損失厭惡行為。

令i=1,2。所有以參與人i開始出價的子博弈都是同構的。令Gi表示參與人i開始出價的子博弈。在任意時刻t∈T，令Mi=sup{zi:在子博弈Gi中存在一個子博弈完美均衡，在該均衡中參與人i的支付為zi}

mi=inf{zi:在子博弈Gi中存在一個子博弈完美均衡，在該均衡中參與人i的支付為zi}，其中M1和m1是在任意子博弈G1中任意子博弈完美均衡分配給參與人1的份額的上確界與下確界；M2和m2是在任意子博弈G2中任意子博弈完美均衡分配給參與人2的份額的上確界與下確界。

為證明命題1中所描述的策略是惟一的子博弈完美均衡，需要通過引理1～3建立M1、m1、M2和m2之間的關系。

引理1在具有損失厭惡行為與談判破裂風險的Rubinstein談判博弈中，存在

1)m1≥[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2)。

2)m2≥[1+pλ1-(1-p)δM1]/(1+pλ1)。

因此，對于任意的出價x=(x1,x2)，有x1≥[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2)換言之，m1≥[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2)。

相似的，可得m2≥[1+pλ1-(1-p)δM1]/(1+pλ1)。證畢

引理2在具有損失厭惡行為與談判破裂風險的Rubinstein談判博弈中，存在

1)m1≤[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2),M1≥[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)。

2)m2≤[1+pλ1-(1-p)δM1]/(1+pλ1),M2≥[1+pλ1-(1-p)δm1]/(1+pλ1)。

證明如果m1>[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2),那么存在參與人2的出價z=(z1,z2)使得m1>[1+pλ2-(1-p)δz2]/(1+pλ2),這與m1的定義相矛盾，因此m1≤[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2)。

相似的，如果M1≤[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2),那么存在參與人2的出價z=(z1,z2)使得M1<[1+pλ2-(1-p)δz2]/(1+pλ2),這與M1的定義相矛盾，因此M1≥[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2),同理可證m2≤[1+pλ1-(1-p)δM1]/(1+pλ1)與M2≥[1+pλ1-(1-p)δm1]/(1+pλ1)。證畢

引理3在具有損失厭惡行為與談判破裂風險的Rubinstein談判博弈中，存在

1)M1≤[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)。

2)M2≤[1+pλ1-(1-p)δm1]/(1+pλ1)。

證明在任意的子博弈G1中，在博弈的第一輪談判中，參與人1出價z=(z1,z2)。如果參與人2拒絕參與人1的出價，那么博弈繼續的情況下，在子博弈G1的第二輪談判中，參與人2至少可以獲得支付m2。因此在任意的子博弈完美均衡中，參與人2拒絕任意的出價z=(z1,z2)使得(1+λ2)z2-λ2max{r2,z2}<(1-p)δ[(1+λ2)m2-λ2max{m2,r2}]-pλ2max{r2,z2}。即:z1>[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)。因此如果參與人1和2在第一輪談判中達成一致，那么參與人1的支付不超過[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)。

另一方面，如果參與人1的出價被拒絕，那么博弈以參與人2的出價y=(y1,y2)開始，記為G2。在博弈G2的任意子博弈完美均衡中，參與人1和2的均衡支付總和等于1，即y1+y2=1，這意味著y1≤1-m2。因此參與人1的支付不超過(1-p)δ(1-m2)。

綜上所述，參與人1的支付不超過max{[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2),(1-p)δ(1-m2)}。因為max{[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2),(1-p)δ(1-m2)}=[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2),所以參與人1的支付不超過[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)。因此，M1≤[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)。

同理可得M2≤[1+pλ1-(1-p)δm1]/(1+pλ1)。證畢

定理2在具有損失厭惡行為與談判破裂風險的Rubinstein談判博弈中，命題1中描述的均衡策略是唯一的子博弈完美均衡。

證明如果定理2成立，則有

(8)

根據引理1～3，可得

M1=[1+pλ2-(1-p)δm2]/(1+pλ2)

(9)

m2=[1+pλ2-(1-p)δM2]/(1+pλ2)

(10)

M2=[1+pλ1-(1-p)δm1]/(1+pλ1)

(11)

m2=[1+pλ1-(1-p)δM1]/(1+pλ1)

(12)

聯立(9)～(12)式，可得(8)式。

3 子博弈完美均衡的分析

本部分針對損失厭惡參數λ1和λ2以及談判破裂的概率p對子博弈完美均衡進行敏感性分析。然后分析當p→0時均衡支付的收斂性，并將所建立的模型擴展至更一般的情形，即參與人1和2具有不同的貼現因子δ1和δ2，分析當兩次連續出價的時間間隔Δ→0時，均衡支付的收斂性，并建立該極限均衡與非對稱Nash談判解的關系。

3.1 子博弈完美均衡的敏感性分析

根據定理1可知，談判的結果為

針對參與人1的均衡支付，求關于損失厭惡參數λ1的一階偏導數

(13)

求關于損失厭惡參數λ2的一階偏導數

(14)

因此，參與人1的均衡支付與自身的損失厭惡水平呈負相關關系，與參與人2的損失厭惡水平呈正相關關系。對于參與人2的均衡支付，存在相似的結論。

(15)

如果(1+λ2)/(1+λ1)>δ，那么參與人1的均衡支付隨p的增加而增加；如果(1+λ2)/(1+λ1)<δ，那么存在臨界值p*使得參與人1的均衡支付隨p∈(0,p*]的增加而減少；隨p∈(p*,1)的增加而增加。

3.2 子博弈完美均衡的收斂性

首先分析當談判破裂的概率p→0時，均衡支付的收斂性。

(16)

(16)式是經典的Rubinstein談判博弈的結果。換言之，當談判破裂的概率p→0時，具有損失厭惡行為與談判破裂風險的Rubinstein談判博弈結果收斂于經典的Rubinstein談判博弈結果。

當參與人1和2具有不同貼現因子時，參與人i的貼現因子記為δi=exp(-βiΔ)，其中i=1,2，βi為參與人i的貼現率。等式(2)和(3)轉化為

(17)

(18)

根據(17)和(18)式，可以得到滿足性質1和2的子博弈完美均衡，該均衡是唯一的。參與人1和2的均衡出價分別為

為了分析當Δ→0時子博弈完美均衡的收斂性，根據文獻[15]，當Δ→0時，談判破裂的概率p→0；比值p/Δ存在，且當Δ非常小時，p/Δ=τ，其中τ>0。因此，可得

同理，可得

容易驗證?α/?λ1<0和?α/?λ2>0。因此參與人1的議價能力與λ1呈負相關關系，與λ2呈正相關關系。同理，可推斷參與人2的議價能力與λ1呈正相關關系，與λ2呈負相關關系。

對α求關于τ的一階偏導數，得

如果β1/β2>(1+λ1)/(1+λ2)，那么?α/?τ>0，這意味著參與人1的議價能力隨著τ的增加而增加；如果β1/β2<(1+λ1)/(1+λ2)，那么?α/?τ<0，這意味著參與人1的議價能力隨著τ的增加而減小。

4 算例分析

為了更清楚地說明損失厭惡參數與談判破裂風險對子博弈完美均衡的影響，本節通過數值分析進行說明。

具有損失厭惡行為的參與人1和2，針對如何分配1單位收益的問題進行交替出價談判。談判結果如定理1中所述。為簡化，只分析損失厭惡參數以及談判破裂風險對參與人1均衡支付的影響。令δ=0.6，p=0.2，損失厭惡參數λ1與λ2對參與人1均衡支付的影響如圖1所示。令δ=0.6,λ1=14,λ2=2。談判破裂概率p對參與人1均衡支付的影響如圖2所示。

圖1 λ1與λ2對參與人1均衡支付的影響

5 結論

Rubinstein基于期望效用理論研究了交替出價談判博弈，然而現實的談判問題中，談判破裂的可能性隨時發生；而且大量研究表明參與人可能表現出損失厭惡的行為特征。基于此，本文研究了具有損失厭惡與談判破裂風險的Rubinstein談判博弈。構建子博弈完美均衡，通過假設子博弈完美均衡滿足無延遲性與穩定性兩條性質，證明了該均衡的唯一性。通過對子博弈完美均衡進行關于損失厭惡與談判破裂概率的敏感性分析，發現參與人受益于對手的損失厭惡行為，而因自己的損失厭惡行為遭受損失；均衡結果與談判破裂概率之間的關系取決于貼現因子與參與人的損失厭惡水平。進一步發現當出價的時間間隔趨于零時，極限均衡結果收斂于非對稱的Nash談判解。本文研究的談判博弈模型不僅豐富了談判理論，而且更符合實際的談判情形，結果具有更強的解釋力，因而具有更強的理論價值與應用價值。本文通過假設子博弈完美均衡滿足無延遲性與穩定性兩條性質，證明子博弈完美均衡是唯一的，但是當子博弈完美均衡不滿足這兩條性質時，是否依然具有唯一性，有待進一步的研究。