需求可變性降低對均值CVaR約束銷售努力決策庫存系統的影響

禹海波， 那 娜， 李 媛, 唐中君

(北京工業大學 經濟與管理學院，北京 100124)

0 引言

市場不確定性的變化會影響到企業的利潤和競爭力。隨著產品生命周期縮短、顧客需求更加個性、產品研發困難等因素，企業面臨的是可變性更加復雜的市場。例如，在2001年的第二季度，思科公司(Cisco)由于需求的快速減弱加上已簽署的供應協議，使其花費了近25億美元進行庫存注銷[1]。金寶湯(Campbell Soup)作為一家擁有148年歷史的公司，其供應鏈的運作也曾經受到意外的需求高峰的嚴重影響[2]。由此可見，無論是需求的快速減弱還是意外高峰都會對企業的正常運作產生重要的影響。除此之外，需求的不確定性在醫藥行業、高科技行業中更加顯著。例如，抗病毒流感藥物達菲(Tamiflu)在2013年被淘汰，主要是因為需求意外地比前一年翻了一倍[3]。在高科技行業中，英特爾全球商品經理在受訪中表示：“由于需求速度快和不可預測的變化以及技術產品的高周轉率，導致業務供需管理極具挑戰，降低需求可變性(例如進行市場調查)對公司有直接的積極影響。”產品周期縮短使需求預測更加困難，因為需要預測之前未投放市場的新產品。韓國最大的消費電子公司之一的物流規劃總監表示：“大部分新產品在市場上是缺貨的，理想情況下企業希望降低需求不確定性[4]。”因此，研究需求可變性降低對企業經營決策有重要的作用。目前隨著技術的發展，有一些措施可以降低需求可變性。例如，在市場經濟不同狀態時，投放不同利潤等級的產品，在市場經濟繁榮時發展比較固定的客戶等，這些措施在一定程度上都可以降低需求可變性；并且同一個產品在市場規模和市場狀態不同時，它們的需求可變性也是不同的[5]。那么，如何有針對性的降低需求可變性是我們值得研究的問題。

常見的用于研究可變性對庫存和供應鏈等復雜系統影響的方法有隨機占優、可變序和均值保持變換。但從已獲得文獻來看，很少有文獻對需求可變性的降低進行刻畫，將之運用到庫存系統決策問題中的文章就更為稀少。其中，用隨機占優和可變序研究需求不確定性對庫存決策及其成本(或利潤)影響的文獻相對較少，因為定量刻畫市場需求可變性對庫存決策和收益的影響是比較復雜的。Song[6]運用多可變序得到最小化成本庫存系統的最優訂貨量和期望成本隨機比較的充分條件，證明期望成本隨可變性的增大而增大。Ridder等[7]通過三角概率分布給出，在一定條件下，期望成本隨需求可變性增大而減少，這與直觀的認識不同。禹海波[8,9]應用隨機占優研究了需求可變性對庫存系統的影響。但是，隨機占優不太適用于一些較為復雜的庫存決策問題。另一種定量刻畫需求可變性對系統影響的方法是均值保持變換，但用均值保持變換研究隨機變化對系統影響的文獻比較少見。有一類文獻是研究均值相等的變換，如Gerchak和Mossman[10]運用線性且均值相等的一類均值保持變換研究了需求可變性增加對最小化成本報童問題的影響。禹海波和王曉微[11]、禹海波和周端[12]通過均值保持變換來定量刻畫決策者的過度自信水平，研究過度自信對庫存系統和供應鏈的影響。另一類是研究均值可能不等或非線性的變換，如Levy[13,14]提出的一類均值可能不等的變換，Zhu和Wu[15]提出了一類非線性且均值相等的均值保持變換；但這兩篇文獻沒有把變換應用到報童問題的庫存決策中。

除需求可變性之外，決策者的風險偏好行為也會影響企業的收益。事實上，并非所有的決策者都是理性的，大部分人會采取保守的態度而選擇規避風險，但也有部分激進投資者為更多的預期利潤而追求風險。所以在研究需求可變性降低時，不僅要研究期望收益，還要研究風險對它的影響。對決策者來講，可能存在風險中性，風險厭惡和風險追求這三情況，需求可變性的降低對它們的影響可能是不同的。因此，分別討論需求可變性降低對不同風險偏好決策者的影響是十分必要的。

已有文獻中研究風險偏好的測度主要有：期望效用函數、均值-方差、VaR、CVaR準則，但以上準則只能刻畫決策者風險厭惡偏好，無法考慮多種風險偏好行為，并且均值-方差、VaR在計算上存在一定的劣勢[16]。Gotoh和Takano[17]、Jammernegg和Kischka[18]提出混合條件風險價值概念(簡稱混合CVaR)，能同時反映出決策者風險追求、風險中性和風險規避三種風險態度。Gotoh和Takano[17]、Jammernegg和Kischka[18]和禹海波[9]研究了混合CVaR約束下的庫存模型，并且禹海波[9]證明了均值CVaR在一定條件下具有損失規避的特性。所以本文運用均值CVaR準則刻畫零售商的風險偏好行為。

另外，隨著經濟技術的快速發展，產品的生命周期逐漸縮短，特別是時裝、電子電器、軟件技術等行業。如何在產品一開始投放市場時就取得大量銷售業績是企業必須要重視的問題。有關市場營銷的報告表示：很多情況下，企業有效的銷售努力行為可以擴大市場需求 ,比如設計產品在貨架上的擺放、培訓銷售人員、定期做促銷活動、加大廣告投入等[19,20]。已有文獻中有關需求依賴于銷售努力的報童模型和供應鏈決策研究主要分為兩大類。

第一類是基于風險中性下，研究報童模型或供應鏈銷售努力、庫存決策和協調契約問題。Pang等[21]分別研究加法和乘法需求模型下，由制造商，經銷商和零售商組成的三級供應鏈的銷售努力和庫存決策問題。其它研究可參見Ma等[22]、Taylar[23]，Cachon[24]等。第二類是研究報童模型或供應鏈同時受到銷售努力和風險厭惡雙重因素影響下的庫存決策和協調問題。Chiu等[25]、許民利等[26]均研究了需求依賴銷售努力時，風險厭惡供應鏈的最優訂貨和銷售努力決策，以及TSR合同(Target Sales Rebate Contract)協調供應鏈的條件。Chernonog等[27]應用期望效用函數刻畫零售商和供應商的風險，研究風險規避供應鏈下價格和銷售努力雙重決策問題。Suo等[28]基于收益共享和成本共擔契約下，研究零售商損失規避對其銷售努力決策的影響。禹海波[8]、代建生[29]均基于CVaR準則下，分別研究了銷售努力和庫存決策的風險厭惡報童模型和風險厭惡供應鏈回購契約問題。

綜上所述，本文重點研究需求可變性的降低對不同風險偏好決策者的銷售努力和庫存決策的影響。與本文密切相關的兩篇文獻分別是禹海波[8]和禹海波[9]。禹海波[8]用最大化CVaR研究了風險厭惡和需求不確定性對銷售努力和庫存決策的影響，禹海波[9]研究了混合CVaR的隨機單調性，并將其應用到庫存系統中，得到需求可變性對最優訂貨量和最優期望效用的影響。但是，禹海波[9]這篇文獻沒有完全解決風險追求情形下需求可變性對系統最優期望影響的問題，也沒有研究需求可變性降低對系統的影響。

本文將禹海波[8,9]進行推廣，運用均值CVaR刻畫零售商的風險偏好行為，并將Levy[13]提出的均值可能不等的變換應用到需求依賴銷售努力且均值CVaR約束的庫存系統中。首先，運用該變換來刻畫需求可變性的降低(由其性質決定，詳見注1)，并研究它與傳統方法—隨機占優之間的關系(性質1)，其次將該變換應用到需求依賴銷售努力且均值CVaR約束的庫存系統中，得到系統的庫存決策、最優銷售努力決策和最優期望效用(定理1)，并證明關它們關于風險偏好系數的單調性以及降低需求可變性對期望效用的影響(定理2)。第三，針對風險中性、風險厭惡(最大化CVaR)和風險追求(最小化CVaR)這三種特殊情況得到相應的結果，并給出企業在庫存決策和促銷決策的管理啟示(注12～注14)。

本文主要結構如下：第二部分運用Levy提出的變換(LMPT)刻畫需求可變性的降低，研究它與隨機占優之間的關系，并將該變換與廣義TTT變換結合，特征刻畫其隨機單調性；第三部分將LMPT應用到需求依賴銷售努力且均值CVaR約束下的庫存系統中，研究其庫存決策和最優銷售努力決策，并得到它們關于風險偏好系數的單調性以及降低需求可變性對期望效用影響，并得到一些管理啟示；第四部分分別研究降低需求可變性對風險中性、風險厭惡(最大化CVaR)和風險追求(最小化CVaR)三種偏好下最優期望效用的影響，并給出企業在庫存決策和促銷決策的管理啟示；第五部分通過數值例子對上文的研究結果進行驗證，并給出一些管理啟示；第六部分進行總結，并指出值得進一步研究的問題。

1 LMPT的隨機單調性

本文用Levy[13]提出的一類變換(LMPT)來刻畫需求可變性的降低，因為該變換的方差和變異系數小于等于變換前的方差和變異系數，但該變換的均值與變換前不一定相等。它是Gerchak和Mossman均值保持變換[10](mean-preserving transformation, MPT)的推廣。

本節研究該變換在不同隨機序意義下的隨機單調性以及它與隨機占優之間的關系。

Levy[13]提出的變換(LMPT)具體如下

Xα,r=αX+(1-α)r

(1)

其中0<α≤1，r>0是實數，α表示需求可變性系數，r為代表無風險情形下實際的平均市場需求(Levy)[13]定義r為無風險投資利率)。

注1(i)給定參數α，當0<α≤1時，Var(Xα,r)=α2Var(X)≤Var(X)，Cv(Xα,r)≤Cv(X)。即當0<α≤0時，該變換的方差和變異系數總會小于等于變換前的方差和變異系數。對應現實中企業家努力減少市場需求波動的情況。

(ii)當r>μX時，Xα,r的均值大于傳統需求X的均值；當r=μX時，Xα,r的均值與傳統需求X的均值相等；當r<μX時，Xα,r的均值小于傳統需求X的均值。通常我們認為μX為市場穩定時的平均市場需求，當r>μX時，可以理解為市場繁榮時的平均市場需求；當r<μX時，可以理解為市場萎縮或金融危機時的平均市場需求。

因此，該變換(LMPT)Xα,r可刻畫為：在市場狀態不同時降低需求可變性后的平均市場需求。

注2(i)當α=1時，該變換(LMPT)Xα,r退化為傳統的需求X；(ii)當r=μX時，該定義與Gerchak和Mossman[10]，Zhu和Wu[15]的變換一致。(iii)Levy[13]和Levy[14]都沒有將該變換應用到庫存系統中。

記定義在區間[l1,0]和[l2,∞]上的隨機變量X1和X2的累積分布函數分別為F1(·)和F2(·)，表示l1與l2中較小的數。對于所有的t∈[l1∧l2,∞]定義如下2類函數：

根據禹海波[30](第三章55頁)給出可變序和隨機占優的定義。

定義1(i)如果X1和X2的累計分布函數之差的符號變換次數為1，即S(H1(·))=1，且符號序列為(+,-)，則稱X2按割準則序比X1大，記為X1≤cutX2。其中S(g(·))=k表示定義在區間[l1∧l2,∞]上函數g(·)的符號變換為k次(k=0，1，2，3，...)，具體定義參見禹海波[30](第三章55頁)。

(ii)如果H2(t)≥0對所有t∈[l1∧l2,∞]成立，則稱X1在2階隨機占優意義下比X2大，記X1≥2-SDX2。

下面引理1給出隨機占優和廣義TTT變換之間的關系。廣義TTT變換用于研究需求可變性對庫存決策和最優利潤(效用)的影響，見禹海波[30]。(A?B表示和B等價，A?B表示能推出)。

(i)E[X1-X2]≥0且X1≤cutX2?X1≥2-SDX2。

下面性質1給出對應不同參數α1，α2，0<α1<α2≤1對應的變換(LMPT)Xα1,r，Xα2,r的相關性質，給出它與隨機占優和廣義TTT變換之間的聯系。

(i)當0<α1<α2≤1時，S(FXα2,r(·)-FXα1,r(·))=1,w.s.s(+,-)，即Xα1,r≤cutXα2,r；

(ii)當0<α1<α2≤1，r≥μX時，Xα1,r≥2-SDXα2,r且Cv(Xα1,r)

注4若α1=1,α2=α，根據性質1可得該變換(LMPT)Xα,r與X(變換前后)的相關性質。在此條件下，性質1(ii)同禹海波[9,30]，Stoyan[31]結論。

注5由性質1(iv)b)可知：在市場較為低迷或萎縮時，生產低利潤產品的企業可以通過降低需求可變性(如信息共享或與其他企業合作[5]，進而獲得更高的利潤；而生產高利潤產品的企業可以通過增加需求的可變性來獲得更高的利潤(如把這些產品推向具有高度的可變性的市場)。

2 需求依賴銷售努力且均值CVaR約束的庫存系統

本節運用Levy[13]提出的變換(LMPT)建立需求函數，均值CVaR準則刻畫零售商風險偏好行為，得到需求依賴銷售努力的庫存系統的最優訂貨量、最優期望效用和最優銷售努力水平，之后進一步研究降低需求可變性和風險偏好對庫存系統的影響。

考慮單周期生產單類產品的庫存系統，假設市場需求d(e,Xα,r)是依賴銷售努力水平e的隨機變量，根據文獻[23]和[24]可知，努力因素通常以加法和乘法兩種形式影響需求。本文假定市場需求滿足努力因素與隨機因素的乘法形式，具體如下:

d(e,Xα,r)=β(e)Xα,r

(2)

其中β(e)是e的單調增函數，即β′(e)>0，意味著銷售努力越大對應的市場需求就越大。Taylar[23]取β(e)=e，Xα,r滿足式(1)。系統在周期開始前沒有庫存。在銷售周期開始時，零售商決定以價格c向上游供應商訂購該產品，訂貨量記為y。當需求的實現小于訂貨量y時，在銷售周期結束時零售商以單位殘值v處理剩余產品，0c。記g(e)為給定銷售努力水平下零售商銷售努力的成本，它滿足g(0)=0，g′(e)>0。類似關于努力成本的刻畫可參見文獻[21～26]。

假設零售商是風險偏好的，基于Gotoh和Takano[17]、Jammernegg和Kischka[18]提出的混合CVaR概念及禹海波[9]給出的混合CVaR與均值CVaR的等價性，本文定義并運用均值CVaR準則來刻畫零售商的風險偏好行為。

針對大數據處理的服務架構搭建，要保證架構的穩定性，和容錯率較高，在大數據分析技術中使用集群搭建，在不同的服務之間分布式搭建，合理的應用現有的資源，將資源利用率最大化。

(3)

(4)

(5)

這里x+=max{x,0}。

為方便本文計算，下面引理2給出混合CVaR與均值CVaR的等價性。

(6)

(7)

注7(i)均值CVaR準則和均值-方差、VaR準則之間，測度具有一致性[34]，但均值-方差、VaR準則只適用于正態分布，而均值CVaR準則可用于一般分布。均值-CVaR較均值-方差、VaR而言，計算結果更優。(ii)均值-CVaR有與二階隨機占優一致的隨機單調性[9]。

零售商的目標是決策訂貨量y和銷售努力水平e使其期望效用達到最大，則零售商的目標函數如下：

(8)

其中，Π(y,d(e,Xα,r))

=pmin{y,d(e,Xα,r)}+

v·(y-d(e,Xα,r))+-cy

(9)

結合式(6)和式(7)，問題(8)可等價為如下兩種形式:

(10)

(11)

下面定理1給出問題(8)系統的最優訂貨量、最優期望效用和最優銷售努力水平。

定理1考慮問題(8)，需求函數滿足式(2)。對任意0<α≤1，則:

(i)給定銷售努力水平e(e>0)，系統的最優訂貨量為:

(12)

(13)

(ii)給定銷售努力水平e(e>0)，系統的最優期望效用為：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

定理2考慮由式(8)給出的問題，需求函數滿足式(2)。對任意0<α≤1，則：

表1 最優訂貨量關于α的單調性↓

表2 最優期望效用和最優銷售努力水平關于α的單調性

3 降低需求可變性對期望效用的影響

本節研究降低需求可變性對最優期望效用的影響，分別考慮零售商為風險中性、風險厭惡和風險追求情形時，不同地區企業降低需求可變性對期望效用的影響。

(21)

(22)

(i)a)當r≥μX時，Δπ*(α,r,ρ0,1)是關于α的單調減函數。

b)當r<μX，存在ρ0∈(0,1), 當ρ0∈(0,ρ0)時，Δπ*(α,r,ρ0,1)是關于α的單調減函數，當ρ0∈(ρ0，1)，Δπ*(α,r,ρ0,1)是關于α的單調增函數。

(ii)當r≥μX時，Δπ*(α,r,ρ0,1)是關于p的單調增函數。

(iii)Δπ*(α,r,ρ0,1)是關于r的單調增函數。

注12結合推論1分析企業降低需求可變性對期望效用的影響(對應圖2(i))。根據Schweitzer和Cachon[35]對高利潤產品和低利潤產品的定義，我們劃分：滿足ρ0>ρ0為高利潤產品，如奢侈品、高檔手機、空凋等；滿足ρ0<ρ0為低利潤產品，如面包，本子等。

結合圖2(i)，推論1表明：當零售商為風險中性時，會做出理性決策。當市場比較繁榮、樂觀時，無論是高利潤產品還是低利潤產品，企業通過降低需求可變性都會帶來更多的利潤，并且高利潤產品效果更顯著；而在市場較為低迷、萎縮時，針對低利潤產品，企業降低需求可變性的措施對利潤有積極影響，而對高利潤產品來說，企業采取降低需求可變性的措施反而會對利潤產生消極影響。例如，當金寶湯公司受到意外的需求高峰前，能夠針對繁榮的市場采取一定的措施(與其他企業合作、共享信息等措施)來降低需求可變性，則在一定程度上能夠有效的規避損失，獲得更多的利潤。

結合圖2(ii)和(i)發現，此時零售商可能會在實際上損失利益的決策區域，采取降低需求可變性的措施(如圖2(ii)中陰影部分)，由此失誤會導致企業損失一定的利益。比如當市場萎縮時，企業卻采取合作或共享信息等方式去降低需求可變性，這樣會進一步導致企業失利。因此，建議企業對市場經濟的實際水平調研過后再決定是否進行需求可變性降低。

c)當r=μX時，存在ρ0∈(0,1)，當ρ0∈(0,ρ0)時，Δπ*(α,r,ρ0,0)是關于α的單調減函數；當ρ0∈(ρ0,1)時，Δπ*(α,r,ρ0,0)是關于α的單調增函數。

(ii)Δπ*(α,r,ρ0,0)是關于r的單調增函數。

結合圖2(iii)和圖2(i)發現，此時零售商可能沒有在實際獲利的決策區域進行需求可變性的降低(如圖2(iii)中陰影部分)，由此失誤會導致企業失去一定的獲利機會。例如，在市場繁榮時，金寶湯公司沒有意識到可以通過采取降低需求可變性的措施來得到更多的獲利機會。因此，建議零售商可以在市場繁榮、樂觀時通過信息共享，與其他企業合作等方式來降低需求可變性。

圖2 降低需求可變性對期望效用的影響((+)代表積極影響，(-)代表消極影響)((+)或(-)個數越多代表影響程度越深)

4 數值例子

本節給出特殊的例子，基于上文的LMPT，研究需求可變性降低對系統的影響。

表3 當時，最優期望效用的比較(η=0.2)

αr0.20.40.60.81225.330.635.941.246.6341.342.643.945.246.6573.366.659.953.246.67105.390.675.961.246.6

αr0.20.40.60.8126.813.620.427.234322.825.628.431.234554.849.644.439.234786.873.660.447.234

5 小結

本文運用Levy(1977)提出的變換(LMPT)，首先給出該變換的相關性質，特征刻畫該變換與廣義TTT變換和隨機占優之間的關系。之后，進一步將該變換應用到需求依賴銷售努力且均值CVaR約束的庫存系統中，研究其庫存決策和最優銷售努力決策，并用該變換來定量刻畫需求可變性降低，研究對最優決策和最優期望效用的影響，以及風險偏好對系統影響的充分條件。最后通過數值例子研究零售商風險偏好對期望效用的影響，并得到一些管理啟示。值得進一步研究的問題包括：1)將廣義均值保持變換的應用推廣到供應鏈系統中，討論有多個決策者的庫存決策及優化問題。2)廣義均值保持變換的應用推廣到供應鏈系統中，研究供應鏈契約協調問題。