Copula-CVaR下考慮隨機成本和需求的單周期訂貨決策研究

周賽玉, 王長軍, 邵 栗

(東華大學 旭日工商管理學院,上海 200051)

0 引言

不確定環境下最優訂貨量決策是供應鏈物流運營中的經典問題[1,2]。在單周期下，解決這一問題的典型做法是構建相應的報童模型，其中包含了需求、成本以及市場價格等外生變量。傳統模型中，在給定的成本和價格下，僅考慮需求這一不確定因素。對于傳統報童模型的相關研究，Khouja[3]和Qin等[4]進行了詳細的綜述和分析。但是，在現實情況中，隨機變量不僅僅局限于市場需求，常包含有其它隨機因素，且多個隨機變量間存在內在關聯。許民利和李展[5]是為數不多的對這一問題進行研究的論文，研究基于報童模型，考慮了除需求這一隨機因素外，市場價格也為不確定，且兩者存在關聯下的單周期訂貨量決策問題。

本文注意到，在諸多現實問題場景中，產品的成本同樣存在顯著不確定性。以電子產品為例，在產品的生產制造過程中，由于產品質量控制、工藝流程中存在的種種不可控性，導致與此相關的產品生產費用存在不可忽視的隨機性。而且，這一隨機因素與需求的波動之間存在內在的直接關聯。具體來說，企業為質量花費的成本越多，越有利于提高產品的質量，繼而有助于拉動市場需求。反之，則可能因為產品質量缺陷而引發的公共事件，繼而會負面影響市場需求。至于價格，在完全競爭的市場中，差異化不明顯的產品則呈現出價格趨同的現象。因此，在這一場景下，決策者需要在給定的市場價格，波動的生產成本和需求下，制定與產量的相關決策，比如原料庫存量或是產能設置。而這一問題，本質上是成本和需求雙波動下的報童決策，這是現有相關研究尚未考慮的。

為對這一問題進行研究，有如下兩個重要因素值得關注：一是如何描述多隨機變量之間存在的關聯性；二是需要考慮決策者的風險態度。

由于現有的報童問題多數僅考慮了需求這一單隨機變量，故而，上文的第一點因素是現有研究較少涉及的。而且，現實中，多隨機變量的聯合分布函數通常是難以獲取的，特別是各因素間的厚尾、非線性、非對稱等復雜特征進一步增加了處理它們關聯性的難度。為解決這一問題，Sklar[6]最早提出通過建立Copula函數來刻畫隨機變量間關聯。Copula函數作為“相依函數”，通過將各隨機變量的邊緣分布連接起來，由此描述變量間聯合分布，從而極大簡化了多隨機變量的建模過程。Embrechts等[7]較早將Copula理論成功應用于金融問題的研究中。此后，Copula函數成為了解決金融風險分析和組合投資決策的重要方法，得到了廣泛的應用[8～10]。但目前，較少有研究利用Copula函數解決類似報童的運營決策問題。Aydln等[11]是為數不多的將報童與Copula函數相結合展開研究的工作之一。但是，該文關注面向是多產品的報童決策，Copula函數被用于構建兩種不同產品的聯合概率分布。這與本文擬考慮的聯合波動的成本和需求不同。

第二點，經典報童研究中的決策主體是風險中性的。近年來，考慮到不確定因素對收益存在的顯著影響，決策者不可避免關注到其中所蘊含的風險問題。這驅使研究者們考慮決策主體可能具有的風險態度。在現有研究中，常見風險度量指標有均值-方差、風險價值(Value at Risk, VaR)、條件風險價值(Conditional Value at Risk, CVaR)，以及魯棒優化等方法。在指標的選擇上，諸多研究者認為有效的風險度量應當具有諸如一致性、次可加性和單調性等特征[12,13]。然而，均值-方差方法的局限性在于，其僅能夠給出目標偏離期望的程度，不能區分偏離方向。魯棒優化能夠解決實際問題中數據稀缺性和隨機分布難以準確描述的問題[14,15]，但由于其優化僅針對最差情況，得到的結果常被批評過于保守。相對于VaR，Rockfaller和Uryasev[16]提出的CVaR指標具有良好的次可加性、一致性和易求解的特征，從而被廣泛應用于包括報童決策在內的運營管理研究中。Jammernegg和Kischka[17]綜述了上述指標在報童問題中的應用，但是，相關研究僅考慮了需求的不確定性。

以上兩者，即Copula和CVaR，的結合，已在金融等相關領域[18,19]得到了廣泛關注。但將兩者綜合應用于不確定環境下的最優訂貨量決策的相關研究仍不多見。為解決本文提出的隨機成本和需求下的報童決策，本文擬采用Copula函數建立兩隨機變量聯合分布，并利用CVaR描述決策者風險態度。論文安排如下。首先，給出相關基礎理論。繼而，構建相應的Copula-CVaR模型，證明其模型解的理論性質，并將模型轉化為一個易求解的線性規劃模型。然后，給定Copula函數和相關系數，并利用蒙特卡洛模擬生成線性規劃模型中所需要的隨機情景，并由此利用Cplex求解模型最優解，展開仿真研究與分析。最后，給出本文的研究結論并展望未來可能的研究方向。

1 相關理論基礎

1.1 Copula函數基本定義

Copula函數可用于描述隨機變量間的相依結構。隨機變量間不同的相關程度可通過不同的Copula函數來建模，這一方式對邊緣分布沒有限制。由此，任意形式的分布均可通過選擇特定的Copula函數進行構造，從而生成多元隨機變量的特定聯合分布函數。Copula的詳細含義與性質可參見Nelsen[20]。

定義n元Copula函數是指具有以下性質的函數C：

(1)DomC=S1×S2×Sn，Si∈[0,1]，i=1,2,…,n；

(2)C相對于Si遞增；

(3) 對xi∈[0,1]，i=1,2,…,n，有C(1,1,…,xi,…,1)=xi。

記隨機向量(X1,X2,…,Xn)的聯合分布函數為F，邊緣分布函數為F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)。由Sklar[6]定理，若各邊緣分布函數連續，則存在唯一Copula函數C，滿足：

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

Sklar定理給出了如何利用Copula函數和各隨機變量的邊緣分布建模聯合分布的方法。以二維隨機變量為例，其概率密度函數與Copula函數之間的關系為：

f(x1,x2)=c(F1(x1),F2(x2))f1(x1)f2(x2)

(2)

1.2 CVaR基本模型

CVaR為在一定置信水平β(0<β<1)下，收益低于VaR部分的期望值[16]:

CVaRβ(π(q,x))=E{π(q,x)|π(q,x)

≤VaRβ(π(q,x))}

(3)

其中，π(q,x)為收益函數，x為隨機變量，q為決策變量。由Rockfaller和Uryasev[16]，當G(α,x)是關于α的凹函數時，CVaR指標可等價表述為:

CVaRβ(q)=maxα∈RG(α,x)

(4)

(5)

2 Copula-CVaR模型

2.1 模型基本假設與參數說明

傳統的報童決策僅考慮需求不確定，然而在現實中，成本往往也是隨機的。為此，本文針對成本和需求存在一定相關關系，價格是確定的情形，研究單周期下最優訂貨量決策。模型的基本假設和相關參數說明如下：

(1)考慮單產品單周期訂貨問題；

(2)市場價格確定，記為p；成本x和需求y隨機，決策者訂貨前掌握成本和需求的邊緣分布函數H1(x)和H2(y)，相應概率密度記為h1(x)，h2(y)；

(3)考慮隨機成本和需求存在關聯，記H(x,y)為成本與需求的聯合分布函數，h(x,y)為聯合概率密度函數。構建聯合分布函數的Copula函數形如式(2)；

(4)訂貨量決策記為q，π(q,x,y)為決策主體的收益函數；

(5)不考慮缺貨損失，期末未銷售的商品單件殘值為s。顯然，p>s。

2.2 模型建立

首先，在給定的成本x、需求y以及訂貨量q下，決策者收益為π(q,x,y)=(p-x)q-(p-s) (q-y)+。由式(5)，再結合成本和需求的分布，在本文研究問題中，式(5)中函數G可表述為:

(6)

令：

(7)

(8)

對g1(α)和g2(α)討論如下：

(1)當g1(α)中(s-x)q+(p-s)y-α<0時，有x>s-(α-(p-s)y)/q，則g1(α)可表示為：

(9)

(10)

將(1)、(2)所確定的α取值區間合并，可得，當α>0時，G函數表示為:

(11)

下文采用兩種不同的方法說明G為關于α的凹函數。

方法1對式(11)求一階導，由二重積分函數求導法則[21]，可得：

(12)

再求二階導：

(13)

方法2對式(11)求一階導可得：

(14)

由以上過程可知，目標函數G是關于α連續的凹函數。由式(4)，CVaR可表示為:

CVaRβ(q)=maxα∈RG(α,x,y)

(15)

進一步，結合式(2)，式(15)可轉換為Copula-CVaR模型:

(16)

(17)

M1即為利用Copula和CVaR構建的考慮成本和需求雙隨機的單周期最優訂貨量模型。繼而，可給出定理1。

定理1如果x與y的邊緣分布函數和Copula函數均連續，則模型M1存在且僅存在唯一的最優解，且最優解滿足一階條件。

證明根據二重積分的求導法則[21]對模型M1求一階導，可得:

(18)

求二階導可得：

(19)

2.3 模型的離散表達

注意到一階條件過于復雜，難以直接給出最優訂貨量的解析表達式來求解M1。為此，將模型M1進行離散化。其中，記(X,Y)的離散取值為(xi,yj)，i,j=1,2,…,m，并記P{X=xi,Y=yj}=Pij。則模型M1可表示為:

Pij((p-xi)q-(p-s)(q-yj)+-α)-}

(20)

引入輔助變量g替代g=(a-b)+，為此，增加線性約束:

(21)

類似的，引入變量zj和kij:

zj=(q-yj)+

(22)

kij=((p-xi)q-(p-s)(q-yj)+-α)-

(23)

由此，式(20)可轉化為如下易求解的線性規劃：

s.t.q-yj≤zj;j=1,2,…,m

(p-xi)q-(p-s)zj-α≥kij;i,j=1,2,…,m

xi≥0,zj≥0,q≥0,kij≥0;i,j=1,2,…,m

(24)

3 仿真實驗與結果分析

3.1 仿真原理

3.1.1 Copula函數的選擇

為模擬隨機成本和需求的關聯性，本文考慮在已有研究中常用的幾種典型Copula函數。

以金融投資領域為背景，Kao等[22]對常見Copula函數的適用場景進行了簡單歸納，指出，正態Copula函數可用于變量之間尾部無關聯的問題，且操作簡單，已經被廣泛應用于各個領域[23,24]。而Clayton和Gumbel Copula函數分別適用于變量間具有下尾和上尾相關性的問題[25,26]。Nelson[20]對這些Copula函數的性質與特點做出了詳細介紹。

由上，本文選擇具有不同尾部特征的二元正態Copula函數、Gumbel函數和Clayton函數來模擬不同場景。具體函數表達式和和相關性測度如下。

(1)二維正態(或高斯)Copula函數：

(25)

其中?-1(·)為標準一元正態分布函數的逆函數。其中，線性相關系數ρ用來測度變量相關性。

(2)二維Gumbel Copula函數：

(26)

其中θ為參數，且θ∈[1,∞)。

(3)二維Clayton Copula函數:

(27)

其中θ為參數，且θ∈(-1,0)∪(0,∞) 。

后兩者屬于阿基米德Copula族，其相關性測度均采用秩相關系數。本文中，為便于比較，秩相關系數仍采用參數ρ表示。其中，ρ>0和ρ<0分布表示正相關和負相關；ρ=0時則不能判定是否相關。對于Gumbel函數，其秩相關系數與θ關系為：ρ=(θ-1)/θ；對于Clayton函數，有ρ=θ/(θ+2)。

3.1.2 蒙特卡洛模擬

本文采用蒙特卡洛方法獲得M2模型所需的離散隨機場景。該方法的基本思想是：先建立一個概率模型或隨機過程，使其參數等于問題的解；繼而通過對模型或過程的抽樣試驗來計算所求參數的特征，最終得到所求結果的近似值。結果精度可用估計的標準誤差來衡量[27]。

由式(1)，若要生成服從聯合分布函數F(x,y)的隨機變量(x,y)，則需給出在(0,1)區間上均勻分布且滿足Copula函數C(u,v)的變量(u,v)，再分別對u,v求逆，即可得x,y的取值。具體如下：

(3)(u,v)為服從CopulaC(u,v)的隨機變量；

重復以上步驟直至產生足夠的(x,y)樣本。

由上，可得產服從Copula函數分布的成本和需求，其中，可通過不同的ρ反映隨機成本和需求的相依性。

3.2 仿真與結果分析

假設價格p為1000，殘值s取5。成本c和需求d分別服從正態分布N(30,102)和N(1000，1002)。利用Matlab進行蒙特卡洛模擬，以正態Copula函數(ρ=0.5)為例，可得如下5000組隨機c和d的分布圖。由此，可通過IBM CPlex求解模型M2。

圖1 隨機成本和需求分布圖

一般認為，質量成本和需求間具有正相關性，質量提升所導致的成本的升高會帶來需求的增加。此外，成本和需求的邊緣分布也會對決策產生影響。故下文，在不同的置信水平(β)下，首先分析不同的ρ對決策的影響，繼而針對不同的成本和需求方差展開仿真。

3.2.1 置信水平和隨機變量相關性對決策結果的影響

首先以正態Copula函數為背景，對不同的ρ和β下的最優訂貨量q*的進行仿真，得到如下結果。

由圖2所示仿真結果，參數ρ和β對決策結果q*有顯著影響。單看β，當其較小時，其增加不會改變q*，但隨著β的增加，q*隨之開始出現顯著變化。當ρ較小時，即需求受成本影響不大時，q*隨β的增加而變小。而當ρ較大，q*隨β的增加而變大。也就是說，決策者避免由于成本過高導致的損失選擇加大產量決策。此外，在給定β下，q*隨著ρ的增加而加大。在β較大時，q*隨ρ的變化幅度也更大。總而言之，ρ和β對于最優產量決策的影響不是簡單的線性關系。

圖2 不同ρ和β組合下的q*(正態Copula函數)

圖3 不同ρ和β組合下的目標(正態Copula函數)

圖4-a 不同ρ和β組合下的q*(Clayton函數)

圖4-b 不同ρ和β組合下的目標(Clayton函數)

以上仿真關注了決策選擇q*，下文觀察參數變化對決策者CVaR目標的影響。由計算結果，得到目標利潤的趨勢變化圖如圖3。

圖3表明，無論ρ為何，β=0下的目標利潤為最大。隨著β的增加，利潤逐漸減小。但ρ較小時，利潤的變化趨勢顯著大于ρ較大時的情況。此外，給定β，目標值隨ρ的增加而增加。但當β較小時，不同ρ下的目標利潤變化差異不大。

類似地，本節給出了另外兩種Copula函數：Clayton和Gumbel函數下的訂貨量決策和目標利潤的仿真結果，并繪制相應結果如圖4和5。

圖5-a 不同ρ和β組合下的q*(Gumbel函數)

圖5-b 不同ρ和β組合下的目標(Gumbel函數)

不難發現，Gumbel和Clayton函數下的q*和目標值變化趨勢同正態Copula函數基本相似。三者相比，隨著ρ的增加，Gumbel下的q*與β的單調性最先變化，其次是Clayton，最后發生變化的是正態Copula函數。

3.2.2 隨機變量波動性對決策結果的影響

本節觀察隨機參數：成本和需求的波動對決策的影響。為此，本節首先關注不同εc(成本標準差)和β下q*的變化情況。ρ取0.5，需求服從于N(1000，1002)。繪制不同Copula函數下最優決策隨εc和β的變化圖。

由圖6，三種Copula函數下，隨εc的增加，q*先大幅增加，后增幅放緩，甚至減少。且β越大，這一變化趨勢約發明顯。在εc較小的情況下，成本變化不大，β的減少會顯著抬升q*；當εc較大時，β對于q*的影響明顯減弱。

圖6-a 不同ρ和εc組合下的q*(正態Copula函數)

圖6-b 不同ρ和εc組合下的q*(Clayton函數)

圖6-c 不同ρ和εc組合下的q*(Gumbel函數)

以上討論了在不同εc和β下q*的變化情況，接下來選假定成本服從于N(30，102)，關注εd(需求標準差)和β對決策的影響。

觀察圖7可知，就β來看，三種Copula函數下的變化情況相似當不完全一致。對于正態Copula和Gumbel函數，在εd較小的情況，即需求波動不大時，β對于q*的影響也較小。而隨著εd的增大，β大的情況下的q*呈現幅度減少。而對于Clayton函數，β對q*的影響隨也呈現類似趨勢，但只有當εd較大時，β才開始對q*產生明顯影響。

圖7-a 不同ρ和εd組合下的q*(正態Copula函數)

圖7-b 不同ρ和εd組合下的q*(Clayton函數)

圖7-c 不同ρ和εd組合下的q*(Gumbel函數)

以上結果表明，不管是εc或εd，都會對q*產生顯著的非線性影響，這意味著不同的市場狀態下決策者的行為也存在顯著差異。

4 結論

本文研究這樣一種運營問題：市場為同價競爭，而供應成本與質量或運營波動直接相關，并會影響市場需求。為對這一問題進行研究，構建了面向外生的隨機成本和需求的Copula-CVaR報童模型，并考慮決策者可能具有的風險態度。研究內容包括：

(1)構建了相應模型，并證明了模型結果的存在性和唯一性，給出了與所提Copula-CVaR模型等價的線性規劃模型。

(2)研究了隨機的成本和需求之間的相關性對決策的影響。研究發現，在置信水平較小時，無論隨機變量相關性如何，置信水平的變化對決策行為影響有限。而當置信水平較大時，最優訂貨量會隨著相關性的不同而呈現不同變化。當正相關性較弱時，最優訂貨量會隨著置信水平的增大而減少；反之，置信水平越大，訂貨量越高。此外，不同的Copula函數下的最優決策變化規律相似。

(3)波動性的加大會增加最優訂貨量的決策，但增加的幅度呈現遞減，甚至反轉的現象。且置信水平越大，波動性對最優訂貨量的影響就越明顯。

在未來的研究中，有必要考慮到市場中的隨機變量的分布常難以準確描述的情況。但是，傳統的魯棒方法雖然不依賴于準確信息，但所得結果常過于保守。近年來，分布式魯棒優化(Distributionally Robust Optimization)的方法常被應用于部分信息已知下的決策問題，將其應用于稀缺數據情景下面向多隨機變量的優化決策是未來的一個重要方向。另外，顯然，考慮更多的隨機因素能夠與現實市場的狀況更加吻合，這也是有待未來研究解決的問題。