基于基本回路修正的AHP一致性調整方法研究

解 江， 吳詩輝

(1.西北政法大學 經濟學院，陜西 西安 710063； 2.空軍工程大學 裝備管理與無人機工程學院，陜西 西安 710051)

0 引言

AHP法作為多屬性決策的一種常用方法，在諸多領域得到了廣泛應用，比如經濟、社會、管理、軍事等，其基本原理是由決策者(decision maker，DM)對需要排序的方案或指標進行兩兩比較，構建一個兩兩比較矩陣，即判斷矩陣(pairwise comparison matrix，PCM)，通過對PCM的分析得出最終排序結果。由于決策者認識局限性、主觀判斷失誤等原因，很可能出現判斷前后不一致的情形，因此，必須對PCM進行一致性檢驗，對于不能通過一致性檢驗的PCM必須首先進行一致性調整，才能保證決策結果的有效性。

一般來講，根據PCM不一致形成的原因，可分為數值不一致和邏輯不一致兩類：比如E1是E2的2倍，E2是E3的3倍，則E1應是E3的6倍[1]，而實際上E1判斷為E3的2倍，這就會導致數值上的不一致(這里指數值上不完全一致，即CR>0)；如果E1判斷為E3的1/2倍時，則出現了邏輯錯誤，因為E1至少應該優于E3，稱為邏輯不一致。

現有針對AHP一致性修正的文獻很多，可以歸結為以下幾類：一是只考慮由于數值不一致引起的PCM不一致[2～5]，這類文獻一致性修正的目標是使得CR<0.1，同時對PCM的修改量達到最小。Xu & Wei[2]設計了判斷矩陣的迭代算法，使得一致性指標單調下降，從而得出具有滿意一致性且改動量符合要求的判斷矩陣，由于該算法追求修正幅度最小化，因此，對于存在邏輯不一致的PCM，修改后邏輯不一致將依然存在(因為要改變邏輯不一致，需要某些元素發生較大改動，如從6改為1/6)。因此，這類文獻的方法主要適用于只存在數值不一致的PCM修正。二是主要考慮由于邏輯不一致引起的PCM不一致[6,7]。這類文獻的常用方法是找到PCM中的三階回路，并采取各種手段消除三階回路[8]，從而達到邏輯一致。Gass[9]利用圖論的方法確定三階回路的數量，并通過標準線性規劃方法找出這些三階回路，從而實現邏輯一致性修正。Siraj等[6]給出了找出邏輯不一致元素的方法，而對于如何修改該元素，則是采用了簡單將其取倒數的方法，對PCM進行一致性修正，該方法雖然能夠解決邏輯不一致問題，但是數值不一致可能依然存在，例如本文的例3。這類文獻一致性修正的目標是使得CR<0.1，同時邏輯上滿足一致性。

本文認為，AHP一致性調整的目標，是能夠同時解決邏輯不一致和數值不一致問題，并保證除邏輯不一致元素外的其他元素修改量最小。基于此，本文提出一種基本回路分析算法，找出最不一致元素，然后對該元素構建優化模型得到最佳值，使得修正后的矩陣的一致性得到最大改善。此方法的優點在于不需要對邏輯不一致和數值不一致分開研究，而是可以同步實現邏輯不一致和數值不一致的修正。

1 相關定義

假設有n個方案(或指標)E1,E2,…,En的排序問題，在AHP中用兩兩比較元素aij表示兩個方案的優劣程度。用符號→表示“優于”，用符號～表示“相等”。若決策者認為Ei優于Ej(Ei→Ej)，則aij>1，若認為Ei與Ej同等重要(Ei～Ej)，則aij=1，若認為Ej優于Ei(Ej→Ei)，則aij<1。

定義1稱判斷矩陣A具有數值一致性(numerical consistency)[10]，當CR(A)<0.1滿足時；反之，當滿足CR(A)≥0.1時，稱A具有數值不一致性。

定義2稱判斷矩陣A=(aij)n×n中三個元素(aij,ajk,aki)構成一個三階回路[6]，當Ei→Ej→Ek→Ei成立時，為描述方便，將該回路記為i-j-k-i。

注意，這里暫時不考慮Ei～Ej的情形，若出現aij=1，可借鑒文獻Kou et al.[8]中的做法，令aij=1.01(當ij時)。事實上，做這樣微小的調整不會對最終修正結論產生影響。

定義3稱判斷矩陣A=(aij)n×n具有邏輯一致性(logical consistency，或稱為transitivity[2], ordinal consistency[11])，當A中不存在任何一個三階回路時。反之，稱A為邏輯不一致。

定義4稱判斷矩陣A=(aij)n×n具有滿意一致性，當且僅當A同時具有數值一致性和邏輯一致性時。

定義5基本矩陣和基本回路。對于一個判斷矩陣A而言，可將其分解為若干個三階判斷矩陣，把這些三階判斷矩陣稱為基本判斷矩陣(或基本矩陣)，記為(i-j-k)，即：

把分解的過程稱為基本矩陣分解。對于一個基本矩陣，若是邏輯不一致的，則這個基本矩陣必然構成一個三階回路，稱為A的基本回路；若是數值不一致的(即CR>0.1)，稱為A的數值不一致基本矩陣。對于基本回路和數值不一致的基本矩陣，統稱為不一致基本矩陣。

定義6最不一致基本回路(Most Inconsistent Loop，MIL)，即所有基本回路中具有最大CR值的基本回路。

定義7最不一致元素(Most Inconsistent Element，MIE)，即該元素位于基本回路中，通過修改它能夠使得整個PCM邏輯一致性得到改善，同時數值一致性得到最大改善(即CR值下降最多)。

需要說明的是，這里定義的MIE，是指利用2.2節給出的方法確定的最不一致元素。從定義7可見，MIE僅存在于PCM中具有基本回路的情形，或者說PCM為邏輯不一致的情形。同時，根據定義，MIE必須同時滿足兩個條件，一是修改它能夠使PCM邏輯一致性得到改善，比如基本回路數量由2個減少為1個，二是CR值減少最多，比如CR由2.1減少到0.9，由于這里強調減少最多的一個，因此MIE只可能存在唯一一個(由于存在互反性，aij與aji是成對出現的，只考慮上三角元素，即認為是一個)。

定義8稱元素aij發生了反向，當aij由小于1修改為大于1，或由大于1修改為小于1時。

假設在一個回路i-j-k-i中，aij發生反向，則回路Ei→Ej→Ek→Ei將變為Ej→Ek→Ei，同時Ej→Ei，此時回路i-j-k-i將不存在。因此，aij反向可用于修正邏輯不一致。

定義9兩個反映修改程度的指標[2]。假設原始判斷矩陣為A=(aij)n×n，經過一致性修正后的判斷矩陣為C=(cij)n×n，則總調整量定義為：

(1)

其中cij不包含發生反向的元素。

單項最大調整量定義為：

σ=max{|cij-aij|}

(2)

其中cij不包含發生反向的元素。

注意，式(1)和式(2)中提到了cij不包含反向的元素，因為這兩個指標主要是用于描述數值不一致的修改程度的，反向的元素調整量過大，比如由6調整為1/6，這顯然不屬于微調(改動不超過2)，它不是引起數值不一致的主要原因，如果把這些反向元素考慮進來，則無法比較哪種方法的修改程度更小。

根據文獻[2]，當總調整量ε<1，單項最大調整量σ<2時，認為修改量是可接受的，即修改后的PCM保留了足夠的原始PCM判斷信息。

文獻[6]指出，隨著PCM階數的增加，數值一致而邏輯不一致的概率非常高，比如3階矩陣這個概率僅為0.63%，4階矩陣為8.35%，5階矩陣為29.75%，6階矩陣則高達66.67%。這意味著對高階矩陣進行一致性修正時，僅考慮數值不一致是不夠的，必須要考慮邏輯不一致問題。基本回路都是3階PCM，且邏輯不一致，因此，根據文獻[6]的實驗結論，將有99.37%的概率存在數值不一致，即CR值非常大，因此，如果能夠對最不一致基本回路MIL進行一致性修正，則可以在減少PCM中回路的同時,改善PCM的數值一致性。這也是本文修正模型的一個理論基礎。

2 基于基本回路修正的一致性調整模型

2.1 基本原理

定理1存在基本回路的PCM必然是邏輯不一致的。

證明由于基本回路中存在邏輯不一致，不妨假設基本回路為i-j-k-i，則意味著在這個基本回路的判斷中存在邏輯不一致，說明決策者在判斷三者關系時存在判斷錯誤。該判斷錯誤(或三階回路)在整個PCM的中仍然存在，根據定義3，該PCM具有邏輯不一致性；相反，如果一個PCM沒有基本回路，則意味著該PCM中不存在三階回路，PCM在邏輯上是一致的。

定理2如果所有基本矩陣都是邏輯一致的，則PCM一定為邏輯一致性矩陣。

證明顯然，如果每個基本矩陣都邏輯一致，則必然在PCM中不存在三階回路，而一個沒有三階回路的PCM必然是邏輯一致的。

定理1和定理2實質是建立起了基本回路與PCM在邏輯不一致方面的相互關系，可作為本文后續研究的理論基礎。

2.2 確定MIE

判斷哪個元素是最不一致元素MIE(即決策者可能判斷失誤的元素)，是本文算法能夠成功的關鍵。這里給出確定MIE的兩種方法。

2.2.1 CR和最大法

基本原理：不一致元素會帶來包含它的基本矩陣的數值不一致(CR>0.1)和邏輯不一致(文中稱基本回路)，統稱為不一致基本矩陣。計算包含該元素的所有不一致基本矩陣的CR之和，選出其中最大的一個作為MIE。這意味著修改它可同時解決多個不一致基本矩陣的不一致問題。具體步驟如圖1所示。

圖1 CR和最大法確定MIE的步驟

當然，如果只存在一個不一致的基本矩陣，則將其對應的3個元素同時選為MIE。

2.2.2 優化法

基本原理：先從所有基本回路中找出MIL，分別對其中的三個元素利用2.3節優化模型進行修正，找出使得修正后的PCM對應CR最小的一個，作為選定的MIE。具體步驟如圖2所示。

圖2 優化法確定MIE的步驟

一般來講，CR和最大法和優化法得到的MIE是相同的，這是因為，MIL對應的CR值往往是最大的，則MIE屬于MIL的可能性很大，這是優化法的理論基礎。但是，一旦兩種方法得到不同的MIE，此時，要根據修改該元素對原始判斷矩陣CR值的下降幅度來最終判斷，即選擇能夠使得CR值下降最多的元素作為MIE。

2.3 構建優化模型

通過修改最不一致基本回路中的某個元素yi，使得修改后的PCM達到最佳的一致性水平：

(3)

其中，yi代表MIL中的1個元素的修正值，它可以在整個取值區間[1/9,9]上取值。

事實上，該優化問題可看做一個遍歷尋優問題，只需要在[1/9,9]上每隔0.0001選擇一個值，依次計算出修改后PCM的CR值，選出CR最小值對應的修正值即可。

值得注意的是，筆者曾嘗試以修改最不一致回路(MIL)中某個元素使該MIL成為完全一致的三階判斷矩陣為優化目標，即式(3)中的優化目標為MIL對應的三階判斷矩陣的CR最小(而不是修改后PCM的CR最小)，且對于一個不一致的三階判斷矩陣而言，修改一個元素值必然可使其CR=0，即達到完全一致。由于一個元素的改動盡管使得MIL完全一致，但是同時也會使包含它的其他基本矩陣的CR增加，從而導致整個PCM的CR值不降反增(模型進入永久循環)，從而達不到數值一致性優化的目的。

2.4 建模步驟

整個建模步驟如圖3所示。

圖3 優化決策模型實施步驟

Step1專家進行決策，給出判斷矩陣A=(aij)n×n；

Step3按照2.2節方法確定MIE(一般情況下，CR和最大法和優化法確定的MIE是一致的，如例1和例2，但也可能存在不一致，此時應從優化結果和修改量兩方面判斷哪種方法更好，具體說明詳見例3)。判斷MIE是否存在，如果不存在，說明PCM中不存在基本回路，則轉到Step5，進行數值一致性修正；否則，利用2.3節方法對MIE進行修正，假設修正后的矩陣為A*，令A=A*，進入下一步；

Step4判斷邏輯一致性。如果修改后矩陣A*不能達到邏輯一致性，則返回Step2；否則，繼續判斷修改后矩陣A*的CR值是否小于0.1，即數值一致性是否滿足，如果滿足，則根據定義4，認為達到滿意一致性，退出算法，輸出最優解，如果不滿足，則進入Step5；

Step5邏輯一致而數值不一致時的修正。利用文獻[4]的邊際優化法，實現最小改動情況下的數值一致，即對A中的元素進行小幅度微調，使得CR值降低到0.1以下。

3 實例分析

例1[6]已知5階判斷矩陣如下。

12345117/43/45/27/424/713/49/49/434/34/313/43/442/54/94/315/854/74/94/38/51

該PCM的CR=0.083<0.1，可見滿足數值一致性，但是，我們對其進行基本矩陣分解，得到如表1所示結果。可見，其中存在4個基本回路S1～S4：1→4→3→1, 2→4→3→2, 2→5→3→2, 1→5→3→1，如圖4所示。顯然，根據定義6，MIL為基本回路1→4→3→1。下面分別利用兩種方法確定MIE，并對PCM進行調整。

表1 基本矩陣分解(加粗項為不一致基本矩陣)

圖4 4個基本回路

(1)方法一：按照2.2.1節方法確定MIE。由于只有S1～S4的CR>0.1，因此不一致基本矩陣即為4個基本回路。將基本回路中元素按照所在不一致基本矩陣的CR和由大到小進行排序，如表2所示，顯然，按照CR和最大法，確定MIE為a34。

然后按照2.3節的優化模型，對a34進行修正，結果如表3和圖5所示，可見，當a34修改為2.2561時，CR值由0.0829下降為0.0486，同時修正后PCM的基本回路由4個減少為2個。

表2 各元素的所有基本回路及CR總和

表3 按照CR和最大法確定的MIE及優化結果

接下來對修正后的PCM進行基本矩陣分解，如表4所示，可見，存在2個基本回路：， 2→5→3→2, 1→5→3→1。顯然，MIL為2→5→3→2。

表4 基本矩陣分解(加粗項為不一致基本矩陣)

圖5 CR值隨a34的變化曲線

類似的，按照2.2.1節方法確定MIE，如表5所示，顯然，a35對應的CR和最大，因此確定MIE為a35。

然后按照2.3節的優化模型，對a35進行修正，結果如表3和圖6所示，可見，當a35修改為2.1521時，CR值由0.0486下降為0.0175，同時修正后PCM的基本回路由2個減少為0個，即修正后PCM同時滿足邏輯一致性和數值一致性，找到最優解：修改a34=2.2561，a35=2.1521，此時CR=0.0175，滿足一致性要求。

圖7描述了基本矩陣S1～S10的CR值在MIE修改前后的變化情況，可見，在修改了a34后，基本回路S1，S2的CR值下降顯著，其余基本矩陣CR值基本不變；當修改了a35后，基本回路S3，S4的CR值下降顯著，此時，所有基本矩陣的CR值均低于0.1，整個PCM的一致性較好。

圖6 CR值隨a35的變化曲線

圖7 基本矩陣CR值在MIE修改前后的變化情況

值得說明的是，從圖7和表4可以看出，基本矩陣S8：(a34,a35,a45)在a34修改后由原來的0.0236增加到了0.0427，那么是否存在一種可能，即修改MIE后，某個基本矩陣(假設為S8)的CR值超過0.1？根據文獻[6]的仿真實驗結果，對于三階判斷矩陣(即這里的基本矩陣)，CR<0.1時，依然是邏輯不一致的概率僅為0.63%，也就是說如果修改后基本矩陣的CR值增大為超過0.1，則極大可能性(99.37%)將使得該基本矩陣變為邏輯不一致，成為一個新的基本回路，這意味著修改MIE并沒有使得整個PCM邏輯一致性得到改善，而是新增了一個三階回路。對于CR和最大法，假如修改后S8的CR值大于0.1，則相當于a34修改后仍然在一個基本回路中，且包含a34的CR和仍然較大，這與CR和最大法的初衷是相違背的。對于優化法，修改MIE將使得PCM的CR值得到最大降低，一般來講，優化法只可能減少三階回路的數量(如果存在的話)，這意味著不可能再新增新的基本回路。因此，修改MIE后，某個非基本回路的基本矩陣的CR值超過0.1的可能性是極低的。

(2)方法二：按照2.2.2節方法確定MIE。首先，由于MIL為基本回路1→4→3→1，則分別對MIL中三個元素a13,a14,a34按照式(3)進行優化，得到結果如表6和圖8所示，顯然，當a34修改為2.2561時，CR值由0.0829下降為0.0486，同時修正后PCM的基本回路由4個減少為2個，相比a13，a14的CR下降幅度最大，且能夠使得整個PCM邏輯一致性得到改善(其中，a14的修改值未能改善邏輯不一致問題)。因此，確定MIE為a34。

接下來對修正后的PCM再次執行以上操作，找到MIL為基本回路2→5→3→2(參見表4)，分別對MIL中三個元素a23,a25,a35按照式(3)進行優化，得到結果如表7和圖9所示。

圖8 回路(1-3- 4)中元素修改對應的CR值變化曲線

顯然，當a35修改為2.1521時，CR值由0.0486下降為0.0175，同時修正后PCM的基本回路由2個減少為0個，相比a23，a25的CR下降幅度最大，且能夠使得整個PCM邏輯一致性得到改善。因此，確定MIE為a35。由于修改a35后的判斷矩陣同時滿足邏輯一致性和數值一致性，即找到最優解：修改a34=2.2561，a35=2.1521，此時CR=0.0175，滿足一致性要求。

綜合分析以上兩種方法，發現它們得出了相同的修正結果，這和我們在2.2節的分析結論是一致的：一般而言，兩種方法結論是相同的，這是因為，基本回路由于邏輯不一致，其CR值往往也是最大的，這從表1和表4也可看出。

表6 MIL中元素的最優化值及其對應的CR值

表7 MIL中元素的最優化值及其對應的CR值

圖9 回路(2-3-5)中元素修改對應的CR值變化曲線

文獻[6]的改進結果為：當修改a34=1/0.99，a35=1/0.99，此時的CR=0.055；當a34和a35都改成4/3時，CR=0.0371。將本文結果與文獻[6]進行比較，如表8所示，可見本文方法得到了與文獻[6]相同的調整反向方案，但是本文改進后判斷矩陣的CR值更低，說明一致性更好。

表8 一致性修正結果及與文獻的對比

例2[2,3,12,13]已知8階判斷矩陣如下。

1234567811537661/31/421/511/35331/51/731/33163461/541/71/51/611/31/41/71/851/61/31/3311/21/51/661/61/31/44211/51/67351/675511/2847586621

該PCM的CR=0.1691>0.1，可見不滿足數值一致性。同樣，對其基本矩陣進行分析，共有56個基本矩陣(限于篇幅，這里不一一列出)，其中只有一條基本回路：1→3→7→1，即S1=(a13,a17,a37)，CR(S1)=1.9657。根據定義6，MIL為基本回路1→3→7→1。

圖10 回路(1-3-7)中元素修改對應的CR值變化曲線

(1)方法一：按照2.2.1節的方法確定MIE。首先提取基本回路中的所有元素，列出包含該元素的所有不一致基本矩陣的CR之和，其中a37出現在6個不一致基本矩陣中，CR總和為4.8627；其次是a17，出現在5個不一致基本矩陣中，CR總和為2.5824。顯然，a37對應的CR和最大，因此確定MIE為a37。

然后按照2.3節的優化模型，對a37進行修正，當a37由原來的6修改為0.46211時，CR值由0.16909下降為0.0822，同時修正后PCM的基本回路由1個減少為0個，即修正后PCM同時滿足邏輯一致性和數值一致性，找到最優解：修改a37=0.46211，此時CR=0.0822，滿足一致性要求。

(2)方法二：按照2.2.2節方法確定MIE。首先，由于MIL為基本回路1→3→7→1，則分別對MIL中三個元素a13，a17，a37按照式(3)進行優化，得到結果如圖10所示，顯然，當a37修改為0.46211時，CR值由0.16909下降為0.0822，同時修正后PCM的基本回路由1個減少為0個，相比a13，a17的CR下降幅度最大，且能夠使得整個PCM滿足邏輯一致性。因此，確定MIE為a37。

由于修正后PCM同時滿足邏輯一致性和數值一致性，即找到最優解：修改a37=0.46211。顯然，該結果與方法一相同。

從例1和例2可以看出，不一致的基本矩陣，CR值必然較大，特別地，基本回路由于是邏輯不一致的，其CR值往往最大。若包含該元素的不一致基本矩陣的CR和越大，說明該元素最不一致。這是兩種確定MIE方法能夠得出相同結果的主要原因。但在少數情況下，比如數值不一致程度非常高時(即原始PCM的CR值過大)，兩種方法將可能得出不一致的結論，詳見例3。

表9 一致性修正結果及與文獻的對比

例3[14]已知7階判斷矩陣如下。

12345671173593521/713353331/31/311/51/33341/51/351931/351/91/531/9131/561/31/31/31/31/311/371/51/31/33531

將本文結果與文獻[2,3,12,13]進行比較,如表9所示,文獻[2，3]盡管進行了修正，使得CR值小于0.1，但是由于MIE元素a37并未進行反向改動(由大于1改為小于1)，因此邏輯不一致依然存在。而文獻[12,13]實現了一致性修正，但本文方法比文獻[12]和[13]都要簡單，易于計算機實現，結果精度更高。

該PCM的CR=0.30609>0.1，可見不滿足數值一致性。同樣，對其基本矩陣進行分析，共有35個基本矩陣，其中只有兩條基本回路：3→4→7→3和3→5→7→3，即S1=(a34,a37,a47),S2=(a35,a37,a57),CR(S1)=1.7673，CR(S2)=1.7673。根據定義6，MIL為基本回路3→4→7→3和3→5→7→3。

(1)方法一：按照2.2.1節的方法確定MIE。計算過程與例1類似，這里直接給出結果，如表10所示。可見，經過5次迭代后，PCM達到了滿意的一致性，找到最優解：修改a37=0.3591,a13=8.9991,a16=8.9991,a45=1.5401,a34=0.6541,此時CR=0.0983，滿足一致性要求。

表10 按照CR和最大法確定的MIE及優化結果

(2)方法二：按照2.2.2節方法確定MIE。計算過程與例1類似，這里直接給出結果，如表11所示。

表11 MIL中元素的最優化值及其對應的最優CR值

當修改a37=0.3591后，此時已滿足邏輯一致性要求，只需對其進行微調，使得數值一致即可。利用邊際優化法進行微調[4](邊際優化法的主要作用是通過元素的最小微調，實現CR<0.1的目標，主要解決數值不一致問題)，得出優化后矩陣為：

修改后矩陣的CR值為0.0951。

注意，例3中出現了兩種方法對應結果不同的情況(方法一選出了5個MIE，方法二只選出1個MIE)，這多出現于數值不一致問題非常突出的情形，也就是說，不一致主要由數值不一致引起，單純修改邏輯不一致元素難以實現滿意一致性。

利用文獻[2]中的兩個指標：總調整量ε和單項最大調整量σ，對PCM的修改量進行評價。對于方法一，修改后PCM的CR=0.0983，在不考慮反向的元素a37的情況下，根據式(1)和(2)，算得ε=1.692，σ=7.4599(最大單項調整元素a45由9調整為1.5401)；對于方法二，修改后PCM的CR=0.0951，在不考慮a37的情況下，ε=0.643,σ=1.1。兩種修改方法對應的CR值均達到滿意值(小于0.1)，但方法二的各項調整量顯然小一些，根據定義9，第二種方法的修改量是滿足要求的，而方法一的修改量過大(總調整量ε>1，單項最大調整量σ>2，兩個修改程度指標均不可接受)。通過比較兩種方法，雖然都達到了邏輯和數值一致性，但方法二中對微調元素的修改量滿足要求，方法一則微調過大，本例中應使用方法二。

表12 一致性修正結果及與文獻的對比

將本文結果與文獻[14]進行比較，如表12所示，文獻[14]方法的修改量顯然過大，需要對5個元素進行反向，在不考慮反向元素的情況下，其余微調元素的調整量為ε=1.1671,σ=4.983(根據定義9，總調整量ε>1，單項最大調整量σ>2，認為修改量是不可接受)，而本文僅需要對一個元素進行反向，在不考慮反向元素的情況下，其余微調元素的調整量可接受(ε=0.643，σ=1.1)，顯然要優于文獻[14]。

對于例1～例3，利用本文給出的兩種方法都可以實現一致性修正。那么是否可能存在用本文方法不能解決的情況呢？

(1)首先，邏輯不一致問題顯然是可以通過對部分元素進行反向來解決的，根據圖論的知識，三階回路通過部分元素反向后可以全部消除[6]，如例3中a37由3修改為0.3591，這用本文的兩種方法都可以首先解決。

(2)其次，在邏輯一致的前提下，數值不一致問題一定可以通過優化法對各元素進行“微調”，使其CR值達到小于0.1。假設我們考慮最極端的情況，在不反向的情況下，如果允許元素在整個可行域[1/9,1]或[1,9]上進行修改，顯然是可以實現的，但是可能的代價是“微調”的修改量過大，即不滿足“總調整量ε<1，單項最大調整量σ<2”。

對此，筆者設計了例4進行說明。

例4已知4階判斷矩陣如下(為筆者隨機生成)。

12341178221/715531/81/51641/21/51/61

該PCM的CR=0.6356>0.1，可見不滿足數值一致性。同樣，對其基本矩陣進行分析，共有4個基本矩陣，均為數值不一致基本矩陣，如表13所示，由于不存在三階回路，沒有基本回路，即PCM是邏輯一致的。

表13 基本矩陣分解(加粗項為不一致基本矩陣)

如例3中所述，對于數值不一致問題非常突出的情形(這里的CR達到0.6536，非常不一致)，此時，不一致問題完全由數值不一致引起。此時，CR和最大法將不宜使用，因為此時不存在邏輯不一致元素，故不需要對元素反向，而CR和最大法的原理是在整個可行域上尋找最優，例如表10中a45由9調整為1.5401，往往導致PCM的總修改量非常大(比如表10單項最大調整量σ=7.4599)，修改程度指標將不可接受。

對于優化法確定MIE，由于不存在基本回路，也就沒有MIL，因此認為沒有MIE。根據圖3的決策步驟，直接利用邊際優化法[4]，得到修改后矩陣如下：

修改后矩陣的CR=0.0958<0.1，總調整量ε=1.6017，單項最大調整量σ=2.7，顯然超出了可接受的修改程度。

這說明PCM的數值不一致性過大，用本文的兩種方法都不能解決。此時，應建議決策者重新檢查PCM，找出存在問題的元素進行修改后，再按照本文方法進行修正。

比如，根據表13，利用第2.2節的方法找到最不一致元素為a14，建議決策者進行修改。假設決策者將其修改為9，得到決策者修改后矩陣為：

12341178921/715531/81/51641/91/51/61

再次利用第2.2節的方法，找到最不一致元素為a34，對a34按照2.3節模型進行優化，得到修改后結果為:

修改后矩陣的CR=0.098<0.1，此時數值和邏輯上均滿足了一致性要求。注意到，此時a34由6修改為1.06，顯然超過了“微調”允許的單項調整量，此時應將結果反饋給決策者，以征求其同意。

4 結語

本文從造成PCM不一致的基本單元，即基本回路入手，對AHP一致性調整的方法進行了研究。提出利用基本回路分析實現一致性修正，并設計了兩種確定最不一致元素MIE的方法：CR和最大法和優化法。利用優化模型對MIE進行修正，從而實現對原始判斷矩陣的一致性修正。對于修正后仍無法解決數值不一致的情況，借鑒文獻[4]的邊際優化法進一步優化，若邊際優化法的修改量過大，則應考慮決策者參與進來，并建議其對最不一致基本矩陣或最不一致元素重點修改，然后再按照本文方法進行修正(具體可參考例4)。由于基本矩陣數量通常達到幾十個，若手動分析比較則計算量過大，但本文方法的邏輯性強，方便利用編程實現，我們利用Matlab編程實現了算法，能夠快速完成基本回路分析，MIE的選擇和優化調整，計算結論準確、有效。通過與已有文獻方法的對比，本文提出的算法能夠有效解決AHP一致性調整問題(包括邏輯和數值一致性)，且能夠使得總調整量最小，從而保留盡可能多的原始比較信息。

下一步，可考慮基于基本回路分析思想在殘缺判斷矩陣、模糊判斷矩陣等一致性調整方面的應用，同時，可針對群決策的一致性問題是否適用基本回路分析方法進行進一步研究。