基于近稀疏響應面的單轉子壓縮機優化方法

楊海鈿

（廣東工業大學機電工程學院，廣州 510006）

0 引言

隨著家用空調的普及，小功率壓縮機的需求也急劇增加，單轉子壓縮機由于其結構簡單，生產成本低，可靠性高等優點而快速占據市場。然而單轉子壓縮機受工作環境所限，給位置傳感器的安裝和維修帶來了諸多不便，所以一般采用轉子位置估算法替代位置傳感器，直接預估轉子的具體位置。而黃輝等[1]表明單轉子位置估計算法都存在著一定的誤差，因此無法獲取精確的轉子位置，壓縮機負載轉矩和電磁轉矩由于存在著相位差而產生噪聲振動。其次壓縮機的負載轉矩由于壓縮過程中轉子受力的不平衡而存在著周期性波動，當電磁轉矩不能跟負載轉矩同步時，將導致壓縮機出現周期性振動和噪聲[2]。因此，在較低轉速的工況下，單轉子壓縮機振動噪聲尤為明顯。

為了降低噪聲振動，Kwa-Yuhl Cho[3]基于單轉子壓縮機提出前饋補償的控制策略；黃輝等[1]設計轉矩自動補償器模型對轉矩進行前饋控制；卓森慶[4]針對單轉子壓縮機根據負載轉矩變化提出“基于模糊控制的自動前饋轉矩補償”的控制策略,由此控制d軸電流為零，并將電機q軸直流電流波動分解成正弦分量和余弦分量，并用E 表示正弦分量或余弦分量，用Ec表示正弦分量變化率或余弦分量變化率，利用模糊控制策略進行反饋控制；上述文獻更多的是采用傳統方法對復雜的電機控制系統進行優化。

對于電機控制仿真系統單次仿真時間長，當對其進行直接尋優時，由于迭代次數多，實驗耗時過多、效率低等問題，本文在轉速一定情況下構建的前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型來代替計算密集的電機仿真模型，從而在很大程度上降低仿真優化時間，縮短產品的研發周期。

1 PMSM的數學建模及前饋補償

1.1 PMSM同步旋轉坐標下的數學建模

在同步旋轉坐標系d-q 下的數學模型，其定子電壓方程為：

定子磁鏈方程為：

將式（2）代入式（1），可得定子電壓方程為：

故轉矩可以寫為：

式中：ud、uq分別為定子電壓在d-q軸上的分量；id、iq分別為定子電流在d-q 軸上的分量；R 為定子的電阻；ψd、ψq為定子磁鏈在d-q 軸上的分量；ωe為電角速度； Ld、 Lq分別為在d-q軸上的電感分量；ψf為永磁體磁鏈。

1.2 前饋補償模塊

如圖1 所示，前饋補償模塊是在永磁同步電機矢量控制的基礎上，針對電機“負載突變工況”找出突變的規律，在q軸電流iq中加入了一個前饋補償量，以產生預期波形的電磁轉矩，去抵消負載轉矩的突變，從而降低電機的轉速波動。而轉矩前饋補償與電機的轉速波動之間由于電機控制系統復雜的耦合機理，使得轉矩前饋補償與轉速波動并不存在著明確數學表達式，因此前人一般通過忽略一些次要元素從而達到簡化電機控制系統整體復雜度的目的。在本文中，提出將電機控制系統視為一個黑箱函數，通過數學上一些簡單的解析模型來描述這個黑箱函數，從而替代計算密集的電機控制模型[5]。將前饋補償電流的系數未知變量作為輸入，將電機的轉速波動作為輸出，通過多次調用仿真模型，得到多組仿真模型數據，從而構建電機控制系統的數學模型。

圖1 電機控制系統與前饋補償模塊

1.3 前饋補償電流

由于電流基波以及諧波的波形均為正弦波形，其次，一組足夠大的正弦基底在理論上是可以擬合出任意的曲線。因此本文采用正弦多項式來擬合電流，電流的表達式可以表示為：

由于常量上有速度環和電流環進行調節，因此常量I0可以直接賦值為0；另外在仿真實驗中，電流的階數也不可能做到趨于無窮；且實驗表明，每階對振動的貢獻呈數量級下降，故在本文中，電流的階數只取前面5階，即：

式中：I 為前饋補償電流；In（n=1,2,3,…）為前饋補償電流各階分量的幅值； ω 為電機的機械角速度； φn（n=1,2,3,…）為前饋補償電流各階分量的初相位角。

通過對前饋補償電流的構建，本文基于圖1在Simulink中搭建電機控制模型，然后調用模擬退火算法對電機控制仿真模型進行直接尋優，獲取最佳前饋補償電流；此外，由于近稀疏響應面能夠在較少采樣點下得到較高精度的逼近效果，因此本文通過構建前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型，調用模擬退火算法，獲取最佳前饋補償電流，再將這兩種尋優方式的結果在實驗中進行對比。

2 近稀疏響應面模型的構建及尋優

2.1 模型構建

一般多項式響應面模型是目前響應面中最為常用且容易構造的一種，通常由一系列多項式組合而成。而稀疏表示是指將信號投影到基函數空間后，由于大多數的基函數系數很小，可以忽略不計，因此剔除掉相應的基函數后，可以利用剩余系數較大的基函數重構出電機控制系統模型。因此稀疏表達響應面與一般多項式響應面有著相似的表達式，如下所示：

多項式函數φi( x )由相應的多項式定義（如一般多項式、勒讓德多項式、切比雪夫多項式等）和指數向量（指定每個單變量多項式的指數）所決定的，且多項式函數φi( x )是所有單變量多項式的張量積。故多項式函數φi( x )如下所示：

式中：Q(x ,η )為由變量x 和指數向量η 所決定的勒讓德多項式基函數；為基函數的指數向量。

給定一組采樣點

與多項式基函數共同構成的設計矩陣可表示為：

2.2 采樣方式

拉丁超立方設計采樣產生的采樣點在設計域內是均勻分布，因此采樣點更能全面反映源模型的特性，所以本文通過拉定超立方采樣獲得采樣點x=[x1x2x3…x]mT；首先將區間[0 ,1 ]均勻分成ns個小區間，然后再在每個小區間內隨機選取一個值作為對應采樣點，最后再將x映射到勒讓德多項式的定義域[- 1,1 ]，代入式（9）即可獲得設計矩陣φ 。

因此基于稀疏表達響應面的矩陣形式可寫成：

2.3 近稀疏響應面及模擬退火算法流程圖

近稀疏響應面模型的求解本質是對Elastic Net回歸的求解（包含?1范數正則化因子λ1和?2范數正則化因子λ2。），而Elastic Net 回歸可以在固定參數λ2的情況下轉化為LASSO 問題求解，最終通過LAR 求解器得到。Starck J L 等[6]給出了“LAR-EN”求解器可對固定的λ2直接求出Elastic Net解。

在永磁同步電機控制系統的響應面構建中，本文選擇的是Legendre 多項式基函數和拉丁超立方采樣。首先，確定采樣點個數后由拉丁超立方設計生成采樣點并調用電機控制系統模型輸入由x組成的前饋補償電流以獲取相應的響應值，再根據采樣點生成設計矩陣。其次是通過Elastic Net回歸中采用交叉驗證的方法確定待選參數λ2的最優值。最后是輸入最優參數λ2以及設計矩陣和響應值，再次調用LASSO求解器輸出最終的近稀疏響應面模型[7]。

求解出電機控制系統的近稀疏響應面模型后，再通過模擬退火算法對近稀疏響應面模型進行尋優，其流程如圖2、3所示。

圖2 近稀疏響應面求解流程

圖3 模擬退火算法流程圖

3 實驗

為了對本文中提出用前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型取代通過電機控制模型直接尋優的效果進行對比，先通過MATLAB 對單轉子壓縮機的負載曲線進行模擬，以及在SIMULINK上進行電機控制模型搭建；然后通過拉丁超立方采樣獲取采樣點x，將其代入電機控制模型獲得響應點y，按圖2的步驟求解獲得前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型，再通過圖3對該近稀疏響應面進行尋優。

模擬單轉子壓縮機某一工況，以額定轉速為1 800 r/min的機械轉速進行仿真，通過對電機控制模型的前饋補償塊進行直接尋優[1]，本文關于前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型的尋優時間和仿真結果進行實驗，結果如表1所示。其轉速波動仿真結果的對比如圖4所示。

表1 尋優時間及轉速波動的仿真結果

如圖5、6所示，通過前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型進行尋優的轉速波動結果和通過對電機控制系統進行直接尋優的轉速波動結果基本一致；而表1中的實驗數據顯示響應面的尋優的迭代時間遠小于直接尋優的迭代時間。

圖4 基于經驗值的前饋補償轉速渡動情況

圖5 直接尋優前饋補償的轉速渡動情況

圖6 響應面尋優前饋補償方法的轉速波動情況

4 結束語

本文用了稀疏表達響應面的方法，基于模擬退火算法，構建一個高精度的前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型，可得到如下結論：

（1）通過對前饋補償電流系數與轉速波動之間的近稀疏響應面模型進行尋優，能獲得與電機控制系統進行直接尋優基本一致的結果且大大提升了其仿真效率；

（2）通過對前饋補償電流的尋優，可使電機的轉速波動得到抑制，從而降低單轉子壓縮機的震動噪聲。

盡管當前工作只是以單一工況為例，但將來基于本文所提出的方法可以構建出一個基于復雜工況的前饋補償響應面。