關于五角星、“8字形”基本模型中內角之間的和、差問題

唐彩霞

在《與三角形有關的角》這一節中，有一類非常經典的專題：五角星模型、“8字形”基本模型以及它的變形拓展模型中內角間的數量關系。與三角形有關的角的數量關系，可以梳理一個類似分類討論情況的角關系，即：

1.內角與內角之間關系：三角形內角和定理

（三角形三個內角的和等于）

2.外角與外角之間關系：三角形三個外角的和等于

（1）三角形一個外角與它相鄰的內角互補

3.內角與外角之間關系 （2）三角形一個外角等于與它不相鄰兩內角

（3）三角形一個外角大于與它不相鄰任一個內角

五角星模型、“8字形”基本模型以及它們的變形拓展模型中內角間的數量關系這一類專題其實是學生對三角形內外角和知識的一個很好鞏固，不同的變形模型，雖然原理都一樣，但能夠很好發展學生思維，學會識別學習幾何不外乎就是識別不同的幾何模型，幾何模型變化有趣，對發散思維很強的學生來說能極大提高辨別能力。下面我們就用火眼精金來識別這些模型：

一、基本五角星模型

1.基本五角星模型

如圖，在任意五角星模型中，請探究的度數.

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，是△的一個外角

在△中

即

.

對于五角星的基本模型，先轉化到兩個“對稱”的三角形中，運用兩次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內角”轉化到同一個三角形中，同樣利用三角形內角和代換得到五個內角之和。

2.簡單凹邊形模型

求證.

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，是△的一個外角

.

含有一個凹邊形的模型的，作輔助線，運用兩次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內角”轉化到同一個三角形中，利用三角形內角和代換關系。

3.簡單凹邊形模型變形（一）

如圖，在下面多邊形中，請探究的度數.

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，

即

此類含有一個凹邊形的模型的，運用一次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內角”轉化到同一個三角形中，利用三角形內角和代換關系。

4.簡單凹邊形模型變形（二）

如圖，在下面多邊形中，請探究的度數.

證明：在△中，是△的一個外角

在△中，是△的一個外角

即

此類含有三個凹邊形的模型，運用兩次“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內角”轉化在一個平角中，利用平角等于代換關系。由五角星模型衍生變式另一類在幾何證明題中常見的題目：“8字形”基本模型。

5.“8字形”基本模型中內角的數量關系

如圖，請探究的數量關系.

證明：在△中，中

，

（兩底角之和兩頂角之和）

二、“8字形”基本模型

“8字形”基本模型也是借助“三角形一個外角等于與它不相鄰兩內角”轉化得到兩底角之和等于兩頂角之和;無論是多么復雜的模型，都可尋找特征轉化為“8字形”，這充分體現了數學思想方法中的轉化思想。“8字形”基本模型在以后的題目會經常出現，它有一點像平行線中的拐點模型，特別是在證明兩個三角形全等中轉換角的關系中經常出現。關于角的和差題目中，學生如果能夠很快速度找出“8字形”基本模型，有利于學生很快找出角與角之間的關系，對于學生來說學習三角形全等和三角形相似就輕松很多。

關于五角星、“8字形”基本模型中內角之間的和、差問題背后的一些教學思考，對于剛步入初二年級學習幾何的同學來說，當幾何圖形比較復雜一些時候，他們不能很快有效識別，找到邊與角之間的數量、位置關系。所以在幾何情景中或者變式題目中，應引導學生借助已有知識經驗，借助圖形直觀，探索發現圖形可能具有的性質，這樣不僅有利于學生在獲取有關知識，不斷提高研究幾何圖形的性質能力，更有助于發展他們的創新意識和能力。以學生的知識經驗為基礎，不斷發現適合學生能夠理解運用的幾何模型，就像數學建模一樣，建立一些創新模型，從不同的題目中不斷總結，提升自主探索能力，這對于邏輯思維比較強的學生是一種很好的學習習慣。通過此類問題的思考研究，更多是希望能有助于學生感知和體驗空間與圖形的現實意義，逐步發展學生的空間觀念。