尋心

李銀英

摘 要：本文主要通過剖析近幾年的一些與外接球有關的高考試題以及模擬考試題，去探索尋求外接球球心的巧妙方法，如構建正方體模型、長方體模型、通過三角形的外心尋找球心等等技巧。

關鍵詞：正方體模型：長方體模型;外心;球心

2017年版的《普通高中數學課程標準》對立體幾何的學習提出了以下要求：了解一些簡單幾何體（球、棱柱、棱錐、棱臺）的表面積與體積的計算方法，運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，建立空間概念;借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線和平面的位置關系。

空間幾何體的考查特別是外接球的問題一直以來都是高考的熱點和難點，在高考有限的時間內，碰到一道稍微拐點小彎或者計算稍微復雜一點的外接球問題，很是讓考生狂躁不安，容易陷入思維空白狀態。在多次模擬考評卷閱卷中，發現不少考生一碰到外接球問題，幾乎都是直接放棄，或者隨便懵一個答案，導致丟分嚴重。其實，對于球體的考查，一般都是考其表面積或者是體積，不管是表面積還是體積，都離不開球的半徑，這也就導致了球心位置的確定成了關鍵。下面，主要針對幾何體外接球的問題，簡單介紹幾種尋找球心的方法。

1 直接法

直接法一般適用于正方體或長方體的外接球問題，可以直接利用正方體模型和長方體模型。

正方體模型：若正方體的棱長為a，由對稱性，易知正方體外接球的球心在正方體的正中心，即體對角線的中點，設球的半徑為R，則（2R）2=3a2;

長方體模型：若長方體的長、寬、高分別為a，b，c，其外接球的半徑為R，則長方體的外接球直徑就是長方體的體對角線長，即（2R）2=a2+b2+c2。

熟悉并善于利用這兩個模型，可以輕松解決正方體或者長方體外接球相關問題。

例1：（2016年全國II）體積為8的正方體的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為（? ? ? ）

解析：設正方體的棱長為a，由已知a3=8，解得a=2。設球的半徑為R，由正方體模型，知，解得，所以球的表面積S=4πR2=12π。故選A。

例2：（2017年全國II）長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_____________。

解析：因為長方體的頂點都在球O的球面上，所以長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑。設球的半徑為R，

則，解得;所以球O的表面積為

以上這兩個高考題目都是考查了正方體或者長方體的外接球問題，難度不大，只要熟悉正方體、長方體和球的表面積、體積公式，以及前面提到的兩個模型，即可輕松解題。

2 構造法

這里提到的構造法，主要是針對一些比較特殊的幾何體，如正四面體、三條側棱兩兩垂直的三棱柱等等，這些幾何體的特征可以看成是從正方體或長方體中截取的一部分，因此解決這類型幾何體的外接球問題，最簡單的做法就是把他們還原回正方體或長方體中，從而快速確定球心的位置。

我們在解決幾何體的外接球問題時一定要善于觀察幾何體的結構特征，看看是否存在一些特殊的關系，如垂直關系、相等關系等等，很多題例中幾何體都是可以還原正方體或者長方體，把所求的幾何體放在正方體或長方體中來研究外接球，問題就明朗多了，答案也呼之欲出。

3 利用三角形的外心去尋找外接球的球心

在考場上，能遇到特殊的幾何體是所有考生都期盼的，但是在考試中，我們總會碰到一些無法直接判斷外接球球心也無法拼湊正方體或長方體的一些幾何體，對于這類幾何體，來研究它們的外接球問題，難度相對就大一些了，但不管對于多一般的幾何體，我們可以通過三角形的外心去尋找外接球的球心。

大多數三角形題中都可以借助三角形的外心來尋找外接球的球心，因為三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，所以過外心且垂直于該平面的垂線上的任一點到三角形的三個頂點都相等，找到兩條這樣的垂線，它們的交點即為外接球的球心;其實，該方法適用于所有的幾何體，只不過對于一些特殊的幾何體用起來有點小題大做罷了。

如果能熟練以上幾種關于外接球相關的解題技巧，相信考生在考試有限時間內，碰到外接球問題完全可以定下心來，把復雜問題簡單化，把抽象問題直觀化，輕輕松松地尋找球心，快快樂樂地完成答卷。

參考文獻

[1]教育部.普通高中數學課程標準[M].人民教育出版社，2003.

[2]《一本高考題》，數學，天津人民出版社，2019版