感受數學符號特質　發展學生符號意識

郭新克

摘要：符號意識是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十個核心概念之一，主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用，是數學表達和進行數學思考的重要形式。符號意識是學生在感知、認識、運用數學符號方面做出的主動性反應。教學中，要結合教學內容和生活實際，喚醒學生的生活經驗，體驗符號應用的廣泛性，感受數學符號的簡潔性和表達的多樣性，探索符號推理的一般性，不斷發展數學符號意識，提升數學核心素養。

關鍵詞：數學符號;符號特質;符號意識

符號意識是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十個核心概念之一，主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律;知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性;建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。符號意識是學生在感知、認識、運用數學符號方面所做出的一種主動性反應，它是一種積極的心理傾向。數學符號具有廣泛性、簡潔性、多樣性和一般性等特質。在教學中，教師應結合教學內容，讓學生充分感受數學符號的特質，引導學生自覺運用數學符號進行數學表達，體驗數學符號的價值與魅力，發展學生的符號意識。

一、喚醒生活經驗，體驗符號應用的廣泛性

語言學家皮埃爾·吉羅說：“我們生活在符號之間。”學生在日常生活與學習過程中已經認識了很多不同類型的符號，并積累了豐富的符號使用經驗。如現實生活中，醫院的紅“+”字標記、“SOS”國際求救信號、“119”火警電話、公路上的各種交通標志、酒店的逃生標志，等等。各種符號與我們的生活緊密聯系，從某種意義上說，我們已經進入了一個高度符號化的時代，豐富的生活經驗也讓學生對符號使用的廣泛性有了體驗。如一看到“KFC”的商標，就能想到是肯德基;一看到“WC”，就知道是衛生間的標志;一進入電梯，就能找到自己所要到達樓層的按鈕……

符號既是數學語言，又是數學工具，理解并學會使用各種數學符號是數學教學的重要目標，也是發展學生符號意識的重要途徑。學生在入學前已經有了初步的符號化經驗積累，如知道用“1”可以表示一個人、一只小狗或一支筆等，能初步把握事物有關數量的本質，能把一些簡單化的問題用數字符號表達出來。在教學時，我們要喚醒學生已有的知識經驗，引導他們體驗符號在數學學習中的廣泛用途。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》一年級上冊“1～5的認識”時，主題圖是一個農家小院，里面包含有1～5的各種數量，而且每種數量的事物不止一種。教學時，每種數量可以多數出幾種，在認識4和5時，可以先讓學生數出主題圖中的小雞有4只，南瓜有5個。（如圖1）

然后，可以利用圖形的一般性來表示數量的多少，如用小棒一一對應表示，也可以用下面的對應方法：

○○○○? ? ?→ 4

○○○○○? ?→ 5

最后，要對小圓的數量進行命名。命名的方法可以是不同的，如用漢語分別稱為“四”和“五”，英語則稱為“four”和“five”。但是，用數字符號“4”和“5”表示，卻實現了數學表達的統一，這就體現了符號表達的功能。這樣的學習過程，能喚醒學生的生活經驗，使他們體驗到符號使用的廣泛性和重要性，符合學生的認知規律。

二、用符號表示數，感受數學符號的簡潔性

發展學生符號意識的過程，也是培養學生數學抽象能力的一個重要過程。在這過程中，需要舍去事物的物理屬性，去掉具體內容，而利用符號和關系術語進行數學表達。在教學過程中，教師要引導學生經歷文字語言、圖形語言和符號語言的對比與轉化過程，感受數學符號表達和思考的簡潔性與簡單美。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊第二單元“確定位置”時，可以讓學生小組合作，用自己的語言描述各自在班級里的位置。這時候，學生的答案是不一樣的：有的說是第幾組第幾個;有的說是第幾個第幾排;有的說是第幾行第幾組;有的甚至還會說從門口方向數第幾列第幾個……教師要及時引導學生觀察總結，不管用什么方法描述，其實都用了兩個數字來確定各自在班級中的位置。再適時引出列與行的概念，使學生感受到數對（a，b）的產生過程。通過學生的自主探究，他們經歷了觀察、比較、交流、總結等學習過程，在比較中感受了應用數字符號表示位置的簡潔性，這樣有助于形成使用數學符號表達數量關系的自覺性。

學生在解決數量關系稍復雜一些的實際問題時，對數量關系的理解可能會存在困難。這時，借助圖形符號——線段圖的幫助，可以讓數量關系簡潔明了。如學生問教師的年齡時，教師說：“當我是你這么大時，你才3歲，當你到我這么大時，我已經39歲了。請問老師今年多少歲？”對于沒經過此類問題專門訓練的學生來說，理解年齡問題中抽象的數量關系確實存在一定的難度。但是，通過線段圖的幫助，如圖2，學生很容易能看出：師生的年齡差×3+3=39歲，復雜的數量關系通過不同數學符號的切換表達變得簡單易懂，既充分體現了數學符號在解決實際問題中的優越性，又能促使學生自覺地運用數學符號去解決實際問題。

三、自主合作探究，體驗符號表達的多樣性

符號是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數字、字母、圖形、關系式等構成了數學的符號系統。嚴格意義上來說，漢字是從象形文字演化過來的，也是一種符號表達。東北師范大學史寧中教授指出：“無論在哪個學段，都應鼓勵學生用自己獨特的方式表示具體情境中的數量關系和變化規律，這是發展學生符號感的決定性因素。”因為每個學生積累的數學符號經驗是不一樣的，因此他們經常用自己獨特的、富有個性化的符號表示具體情境中的數量關系和變化規律。如在“乘法分配律”的教學中，我讓學生用自己喜歡的符號把乘法分配律表示出來。學生中很多有創意、個性化的方法就展現了出來。

生：（5+4）×3=5×3+4×3。

生：（甲數+乙數）×丙數=甲數×乙數+甲數×丙數。

生：△×（□+○）=△×□+△×○。

生：（a+b）×c=a×b+a×c。

在小組合作交流的過程中，學生充分感受到了符號表達的多樣性，喚醒了潛藏的符號意識，激發了符號創作的潛力和欲望。

當然，創造出有個性化的數學符號對于小學生來說還是有難度的，而且很多數學符號經過歷史演變，已經具有了其特定的含義。如“+、-、×、÷”分別表示特定的運算意義，“=、≈、<、>”則表示數學對象之間的某種關系等。我們在教學過程中要讓學生多了解一些數學符號的演變過程，在對學生進行數學史教育的同時保護和鼓勵他們符號創造的積極性，引導學生進一步理解符號的明確性和規定性。

四、探索變化規律，了解符號推理的一般性

當學生初步掌握了利用符號和關系術語來表達已經簡約化的事物之后，就要引導學生能從具體的數學情境中抽象出簡單的數量關系和變化規律，并用符號表達出來。要引導學生通過假設和推理建立數學模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規律，進而凸顯符號推理的一般性。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》五年級上冊第62頁第13題時，可以先讓學生分組合作，用學具擺一擺，用筆畫一畫，再讓學生利用交互式電子白板的幾何畫板功能和復制、拖拽等功能，在白板上把各小組的探究結果進行交流匯報。

在探索過程中，要讓學生初步體會建立數學模型的過程，即從具體到抽象，從特殊到一般，逐步揭示小棒的根數與擺成圖形的內在聯系，最終引導學生用含有字母的代數式3n+1表示“擺n個正方形需要3n+1根小棒”的變化規律，從而把學生的思維和推理提高到一個更高的層次。同時，要引導學生利用抽象出來的規律解決擺21個正方形（當n=21時）需要的小棒數量，也可以適當拓展，引導學生利用規律解決用76根小棒能擺出多少個正方形的問題。在探索變化規律的過程中，要幫助學生積累從特殊到一般尋找規律的數學經驗，找到探索規律的方法，體會探索規律過程中的深度體驗。要引導學生把握問題的共性，體驗符號推理的一般性，鼓勵學生用數學符號語言正確地表達其所發現的規律。

符號意識更多地表現為以學生為主體的一種主動使用符號的想法，其發展僅靠單純的訓練和模仿難以達到應有的效果。教學中要結合教學內容，讓學生在感受數學符號特質的同時形成積極的情感體驗，把使用數學符號內化為學習過程中的自覺行為，在不斷積累數學活動的經驗中發展符號意識。

參考文獻：

[1]鄭毓信.“數感”“符號感”與其他—課程標準大家談[J].數學教育學報，2002.

[2]史寧中.《義務教育數學課程標準（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2017.

[4]吉姆·奈特.高效教學：框架、策略與實踐[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

（責任編輯：楊強）