H-ADCP代表流速與斷面平均流速擬合精度研究

鄧 山，胡 立，左 建，周 波，尤家偉

(1.長江水利委員會 水文局，湖北 武漢 430010； 2.長江水利委員會水文局 漢江水文水資源勘測局，湖北 襄陽 441000)

水平式聲學多普勒流速剖面儀(Horizontal Acoustic Doppler Current Profiler，H-ADCP)利用聲學多普勒原理進行流量測驗[1]。通過將聲學換能器固定安裝在水下一定深度，實時監測水平層流速，采用代表流速法推算斷面流量，從而實現流量在線監測。對于常年水深較大、水平層流速代表性較好的測站具有極大的實用價值，同時可為水資源監測管理、考核提供實時數據支撐[2-5]。

影響H-ADCP測驗精度的外部因素較多，如測驗斷面及安裝位置選擇、設備選型與配置、不同水位條件下所測代表流速對斷面平均流速的代表性等。這些因素都對H-ADCP測驗精度具有較大的影響，應在安裝前進行分析研究。

H-ADCP流量測驗后處理主要分為以下3步：① 建立H-ADCP代表流速與斷面平均流速的關系；② 根據水位面積關系用水位計算斷面面積；③ 通過平均流速與斷面面積計算出流量。其中第一步是關鍵也是難點所在，代表流速與斷面平均流速關系的好壞直接決定了H-ADCP流量測驗的精度。

目前H-ADCP代表流速關系擬合的主要方法為回歸分析，美國地質調查局(USGU)推薦的H-ADCP代表流速關系擬合方法有簡單線性回歸、分段線性回歸和加入水位等因素的多元回歸等[6]。國內H-ADCP代表流速關系的擬合主要采用線性回歸。王發君等利用回歸方程建立了指標流速與斷面平均流速關系[7]，魯青等采用組合方式建立了多元回歸關系，解決了南京站的流量在線監測問題[5]。但這些方法均沒有考慮對H-ADCP代表流速關系擬合精度影響較大的三大問題：① 線性回歸損失函數的選擇；② 自變量(代表單元格)的選擇；③ 比測數據的粗差剔除。本文主要針對以上3個方面問題，研究了以相對誤差平方和最小作為損失函數、選擇多自變量進行關系擬合、對數據進行粗差剔除等方法對代表流速關系擬合精度的影響，并以小河壩水文站H-ADCP代表流速關系擬合為例進行了驗證。

1 H-ADCP代表流速關系擬合影響因素

1.1 線性回歸損失函數

損失函數是將隨機事件或其有關隨機變量的取值映射為非負實數，以表示該隨機事件的“風險”或“損失”的函數。在統計學和機器學習中被用于模型的參數估計。

使用通用軟件進行關系擬合時，默認的擬合原理為最小二乘法，損失函數為誤差平方和最小[8]，即：

(1)

最小二乘法是一種經典方法，廣泛應用于各個領域。但是由于最小二乘法本身的缺陷，使得它在水文關系擬合中存在一定的局限性。用最小二乘法進行代表流速關系擬合時，各點的相對估計誤差往往分布不均勻，表現為大觀測值的相對誤差較小，小觀測值的相對誤差則很大，特別是當觀測點間因變量量級相差較大時。而對于H-ADCP代表流速關系擬合而言，大流速數據和小流速數據的重要程度相當，數據質量需要用相對誤差進行評價，故而用最小二乘法擬合的關系并不是最優解，通常不能滿足定線誤差要求。

為應對各行業的不同需求，最小二乘法有許多不同的改進方法，如加權最小二乘法[9]、最小二乘橢圓擬合算法[10]、相對誤差最小二乘法算法[11-12]等?？紤]水文測驗的數據特點，對于H-ADCP代表流速關系擬合而言，更適合的損失函數為相對誤差最小二乘法(相對誤差平方和最小)[11]，即：

(2)

將線性回歸的損失函數由誤差平方和最小改為相對誤差平方和最小，可以在一定程度上提高擬合結果的可靠性，并有效降低擬合公式的系統誤差、隨機不確定度及偏離數值檢驗的統計值，尋找到更符合水文測站實際的相關關系。

1.2 代表單元格的選取

目前，多數水文站H-ADCP代表流速關系擬合是通過Q-Monitor-H(流量通)[7]軟件完成，主要步驟為：① 進行數據回放后選取數據相對穩定的單元格；② 輸出不同單元格段的平均值；③ 再與實測斷面平均流速進行關系擬合。采用一段單元格的平均值作為代表流速與斷面平均流速建立相關關系，實際上是將多元回歸問題簡化為一元線性回歸問題，通過這種簡化后自變量變得單一，關系擬合更加簡便。公式如下：

V斷=aV代表+b

(3)

式中：V斷為斷面平均流速；V代表為H-ADCP某選定區間單元格代表流速平均值；a、b為系數。

但是，通過這種簡化也難以擬合出最優線性關系，這是因為將代表流速平均，實際上是令選定區間單元格代表流速系數相同，相當于給多元回歸的求解增加了多個約束條件，而這些約束條件對于提高代表流速關系擬合的精度是不利的。

在進行H-ADCP關系擬合時，可考慮直接選用各單元格流速進行關系擬合，將一元線性回歸問題轉化為多元回歸問題，即：

V斷=aiVi+ai+1Vi+1+…+anVn+b

(4)

實際上，H-ADCP每個單元格流速Vi在其垂線中的相對深度均不相同，同時各垂線平均流速對斷面平均流速的代表性也各不相同，因而用各個單元格流速參與斷面平均流速關系擬合，使其具有不同系數，也使得H-ADCP流量測驗的物理意義更加明確。

1.3 粗差剔除

粗大誤差是在一定的測量條件下，超出規定條件下預期的誤差[13]。

H-ADCP關系率定產生粗大誤差的原因主要有以下2個方面：① 客觀原因。H-ADCP所測水層受船舶等引起的紊流影響；水中散射體濃度太大或太??；鐵質物體影響ADCP磁羅經導致流向出現偏差。② 主觀原因。使用的比測儀器本身存在的測驗誤差，如走航式ADCP比測時船速過快或不勻速等因素；還有人為計算錯誤、參數設置錯誤等。粗大誤差的存在會使得關系線偏離，最終導致相關關系精度降低。而粗大誤差不能僅因相對誤差較大就刪除，可采用拉依達準則(3σ準則)[14]進行剔除。應該注意的是H-ADCP比測數據一般為水文站基本測驗數據，剔除前應對測點進行綜合評判。

2 應用實例

2.1 小河壩水文站H-ADCP應用情況

小河壩水文站為嘉陵江重要支流涪江下游的出口控制站，位于東經105°50′，北緯30°11′，集水面積28 901 km2，是涪江下段基本控制站及國家基本水文站。該站測驗河段順直，河床組成主要為卵石夾沙，斷面沖淤變化不大(見圖1)，受下游2.5 km處潼南航電樞紐工程蓄放水影響。

圖1 小河壩水文站大斷面及H-ADCP安裝位置Fig.1 Main cross section and H-ADCP installation location in Xiaoheba station

小河壩H-ADCP選用Channel Master 300 kHz H-ADCP，安裝位置位于起點距25.5 m、高程233.20 m處(低于潼南航電樞紐死水位235.5 m)?？v、橫搖角度與初始采集安裝角度值變化在±0.5°以內，且對安裝位置進行了標記以確保放置位置固定。具體參數設置為：單元尺寸2 m，單元個數70個，盲區2 m，鹽度為0，采樣間隔5 min。本文主要利用現有條件下所獲得的比測數據進行代表流速擬合關系研究，并未考慮設備安裝、選型、參數設置、比測方案等因素對成果質量的影響。

采用走航式ADCP進行比測，比測時間為2019年5月14日至8月10日，共收集H-ADCP數據19 244組，走航式ADCP實測流量85次。率定期間水位變動范圍為235.86～237.66 m；流量范圍為132～5 460 m3/s；斷面平均流速范圍為0.053～2.550 m/s。

2.2 代表流速關系擬合方案制定

對小河壩站走航式ADCP、H-ADCP數據進行分析處理，計算出斷面平均流速，挑選與走航式同時段的H-ADCP數據進行回放，檢查回波強度曲線及水平層流速分布情況。經綜合評定：4～24單元格段(離儀器距離9.4～51.4 m)流速分布均勻、回波信號穩定、流速紊動小、數據質量較好，選定用此區間的流速參與關系率定。剔除無效數據及受干擾數據，最終選定有效比測測次。點繪散點圖后發現數據點呈較明顯的帶狀，適合線性模型，且具有較高精度(見圖2)。

圖2 小河壩站代表流速與斷面平均流速關系Fig.2 Relationship between the representative velocity and the mean velocity in Xiheba station

采用線性回歸進行小河壩站代表流速與斷面平均流速關系擬合。為分析比較不同方法對代表流速關系擬合精度的影響，本文采用以下5種方案進行關系擬合。

(1) 方案1：常規方法。在數據穩定的4～24單元格中通過試算優選一定區間的單元格數據進行平均，用選定單元格平均流速與斷面平均流速進行直線擬合。

(2) 方案2：剔除粗差后擬合。方法同方案1，但在確定擬合公式后采用3σ準則進行去粗差處理，然后重新進行關系擬合。

(3) 方案3：改變損失函數。在方案2的基礎上采用相對誤差平方和最小作為線性規劃的損失函數進行關系擬合。

(4) 方案4：采用多元回歸。在方案3的基礎上采用多元回歸求解，提取數據穩定的4～24單元格流速，與斷面平均流速建立多元一次方程。為使關系式有物理意義，在進行規劃求解時增加約束條件，使回歸系數為非負值。經規劃求解，選出最優方程，方程式中有9個單元系數非零，最終表達式為9元一次方程。

(5) 方案5：純擬合分析。在方案4的基礎上取消使回歸系數為非負值的約束條件，進行純數值擬合分析，經規劃求解，最優方程式中21個單元系數非零，最終表達式為21元一次方程。

2.3 代表流速關系擬合精度評價

按照2.2節制定的5種方案進行關系擬合并統計擬合誤差，系統誤差與隨機不確定度根據SL242-2012《水文資料整編規范》計算，結果列于表1。

表1 不同擬合方案誤差Tab.1 Error values under different fitting schemes

注：在方案1～3中直線擬合選取的代表流速為單元格4～24之間的平均值，通過試算確定，與斷面平均流速的擬合關系為最佳。表中隨機不確定度取2倍標準差。

通過表1可以發現：方案1～4中，在常規方法擬合的基礎上對數據進行粗差剔除；將損失函數由誤差平方和最小改為相對誤差平方和最小；將一元一次方程改為多元一次方程，每個步驟都能顯著提高代表流速關系的擬合精度。系統誤差從最初的-0.91%降到了-0.34%，隨機不確定度從15.26%降到了11.85%。在方案5中，取消回歸系數為非負值的約束條件雖可進一步提高擬合精度，但是通過分析發現，這樣處理容易造成過擬合[15]，同時回歸系數為負也讓相關關系失去了物理意義，不推薦采用。

2.3.1粗差剔除對擬合精度的影響

由方案1到方案2，剔除粗差后擬合精度有了較大提升，系統誤差由-0.91%降至-0.76%，隨機不確定度由15.26%降至13.78%。但實際上在方案2～5中進行去粗差處理后均只剔除了一個樣本數據，可見粗大誤差對關系擬合精度影響較大。

2.3.2損失函數對擬合精度的影響

從方案2到方案3，將線性回歸的損失函數由誤差平方和最小改為相對誤差平方和最小，系統誤差由-0.76%降至-0.44%，隨機不確定度由13.78%降至13.39%。雖然精度指標的提升并不顯著，但仍然非常有必要，一方面是其在原理上更加符合水文關系擬合的需求，另一方面是當樣本容量增大、樣本間量級相差較大時兩種損失函數對擬合精度的影響將會更加明顯。

2.3.3代表單元格選取對擬合精度的影響

從方案3到方案4，通過將回歸方程由一元回歸優化為多元回歸，系統誤差由-0.44%降至-0.34%，隨機不確定度由13.39%降至11.85%。

整體而言，方案4通過粗差剔除、將損失函數改為相對誤差平方和最小、采用多元回歸等手段，成功將誤差指標降低到了規范要求以內，推薦采用此方案。

2.4 代表流速關系擬合推薦方案

2.4.1擬合結果

方案4中，H-ADCP代表流速采用5，6，13，14，17，20，21，23，24單元，擬合公式為

V斷=0.07650V5+0.04650V6+0.00014V13+0.00059V14+0.03740V17+0.06760V20+0.19060V21+0.30750V23+0.051850V24+0.00510

(5)

相對誤差分布如圖3所示，可以看出擬合精度較好，所有樣本計算相對誤差均未超過15%，能夠較好地擬合指標流速與斷面平均流速的關系。

圖3 相對誤差分布Fig.3 Relative error distribution

2.4.2成果檢驗

需要注意的是，進行多元回歸擬合時，自變量數量的增加會導致計算速度變慢、也可能造成過擬合?？蓪祿譃槁识颖竞蜋z驗樣本，防止過擬合現象發生。本次研究隨機預留了5組數據作為檢驗樣本，檢驗結果列于表2。結果表明：檢驗誤差均不超過9%，推薦方案的擬合關系精度較好，能夠滿足水文測驗精度要求。

表2 檢驗樣本計算結果Tab.2 Calculation results of test samples

3 結 論

本文對H-ADCP代表流速與斷面平均流速關系擬合過程中,線性回歸損失函數的選擇、代表單元格的選取、粗大誤差的剔除等技術進行了研究。并以小河壩水文站為例，設計了5套方案，研究了上述方案對代表流速關系擬合精度的影響。結果表明：

(1) H-ADCP代表流速關系率定時，粗大誤差對關系擬合精度影響較大，必須進行剔除；應選擇相對誤差平方和最小作為損失函數，不僅更符合水文實際，也能提高擬合精度；將回歸方程由一元線性回歸優化為多元線性回歸，使H-ADCP流量測驗的物理意義更加明確，并能有效提高擬合精度。

(2) 對小河壩水文站代表流速關系擬合而言，最優方案是以相對誤差平方和最小為損失函數，提取4～24單元格流速，與斷面平均流速建立多元一次方程，并進行去粗差處理，同時約束回歸系數為非負值。該方案將代表流速關系的系統誤差和隨機不確定度都降低到了規范要求以內，并通過了預留樣本檢驗。

(3) 本文的研究成果可為H-ADCP及其他流量在線監測設備的代表流速關系擬合提供參考。