基于羅德里格矩陣的水域與陸域點(diǎn)云配準(zhǔn)研究

石銀濤，董阿忠，趙 鋼

(1.南京工業(yè)大學(xué) 測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 211800； 2.江蘇省水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210017)

近年來，隨著RS(Remote Sensing)、LiDAR(Light Detection And Ranging)等測繪新技術(shù)和VR(Virtual Reality)、AI(Artificial Intelligence)等計(jì)算機(jī)科學(xué)的融合發(fā)展，三維地形可視化與仿真正逐漸成為國內(nèi)外眾多學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題。目前，地形仿真比較常用的是以數(shù)字地面模型為基礎(chǔ)來擬合地面起伏，結(jié)合相應(yīng)的衛(wèi)星或航空遙感影像數(shù)據(jù)給人以更加逼真、直觀的場景感受[1]。對于點(diǎn)云建模，常見的是地表建筑物、文物、地形的三維模型重建，而對于水陸地形的點(diǎn)云聯(lián)合仿真研究則相對較少。同時(shí)，隨著測繪地理信息科學(xué)逐漸由數(shù)字化向信息化方向發(fā)展，對地理空間數(shù)據(jù)的要求也正朝著高精度、海量、現(xiàn)勢性、可視化的方向發(fā)展，空域、陸域、水域地理空間數(shù)據(jù)的共享和集成化管理對于國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)、社會發(fā)展、國家安全以及地球和空間科學(xué)研究等各方面都顯得愈加重要[2]。由此可見，通過多源數(shù)據(jù)融合，實(shí)現(xiàn)水陸地形的聯(lián)合仿真具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，也是今后測繪領(lǐng)域三維建模的趨勢之一。

利用多源數(shù)據(jù)進(jìn)行地形的仿真，首先必須解決多源數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)問題。這是因?yàn)椴煌臄?shù)據(jù)源所使用的采集設(shè)備、參考坐標(biāo)系、空間分辨率等各有差異，而要綜合利用這些數(shù)據(jù)進(jìn)行地形仿真，必須要將它們轉(zhuǎn)換到同一坐標(biāo)參考框架[3]。目前，水下地形數(shù)據(jù)的獲取多采用多波束測深系統(tǒng)進(jìn)行全覆蓋掃測，獲取的源數(shù)據(jù)為水下地形點(diǎn)云(簡稱“水域點(diǎn)云”)；陸域地形數(shù)據(jù)的獲取多利用地面LiDAR進(jìn)行采集，獲取的源數(shù)據(jù)為陸域地形點(diǎn)云(簡稱“陸域點(diǎn)云”)。要實(shí)現(xiàn)水域與陸域地形的聯(lián)合仿真，必須首先要完成水域與陸域點(diǎn)云的配準(zhǔn)，即將兩類點(diǎn)云轉(zhuǎn)換到同一基準(zhǔn)坐標(biāo)系。目前，從國內(nèi)外的研究成果來看，根據(jù)所選擇的配準(zhǔn)基元的不同，點(diǎn)云的配準(zhǔn)方法大體可以分為無特征配準(zhǔn)與基于特征的配準(zhǔn)兩類[4-5]。無特征配準(zhǔn)本質(zhì)上是基于最小二乘的最優(yōu)匹配，這類方法對點(diǎn)云的重疊度、初始姿態(tài)等要求較高，無法適用于水陸點(diǎn)云的聯(lián)合配準(zhǔn)，因?yàn)樗扅c(diǎn)云的重疊度通常較低(僅在潮間帶有少量的重疊區(qū)域)[6-7]。基于特征的配準(zhǔn)是指利用物體自身的點(diǎn)、線、面等幾何特征或人為添加的標(biāo)靶等作為同名點(diǎn)解算變換參數(shù)，這種方法較無特征配準(zhǔn)具有更強(qiáng)的適用性，且能更好地評估配準(zhǔn)精度[8-10]。

本文基于三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本理論，探討了羅德里格矩陣和間接平差模型在水陸點(diǎn)云配準(zhǔn)參數(shù)迭代解算中的應(yīng)用；并以長江南京河段梅子洲的試驗(yàn)為例，分析了該方法在實(shí)際工程中應(yīng)用的可行性與可靠性。

1 水域與陸域點(diǎn)云的采集

目前，水域地形的點(diǎn)云獲取主要通過多波束測深系統(tǒng)獲取，其采用多組陣和廣角發(fā)射、接收，從而形成條帶式的密集測深數(shù)據(jù)。與傳統(tǒng)的單波束測深技術(shù)相比較，多波束測深系統(tǒng)具有測量快速、精確、范圍廣等優(yōu)勢。它將測深技術(shù)從傳統(tǒng)的點(diǎn)、線狀延伸到面狀，并進(jìn)一步發(fā)展到三維立體圖，因此使得海底地形測量技術(shù)發(fā)展到一個更高的水準(zhǔn)[11]。多波束測深系統(tǒng)的工作原理是利用發(fā)射換能器陣列將寬扇區(qū)覆蓋的聲波發(fā)射到海底，利用接收換能器陣列對聲波進(jìn)行窄波束接收，通過發(fā)射、接收扇區(qū)指向的正交性形成對海底地形的照射腳印，對這些腳印進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，一次探測可以得到與航向垂直的垂面內(nèi)上百個甚至更多的海底測點(diǎn)的水深值，實(shí)現(xiàn)快速連續(xù)獲取測區(qū)范圍內(nèi)水下探測對象的表面特征和起伏變化情況，得到精確的水底地形[12-13]。

陸域點(diǎn)云的獲取可以通過地面/移動/空載LiDAR、傾斜攝影測量等手段獲取，因而在精細(xì)化地形重建中，地面三維激光掃描儀在精度、作業(yè)效率等方面具有一定的優(yōu)勢[14]。地面三維激光掃描儀利用激光測距原理，采用非接觸式高速激光測量方式，能夠自動、連續(xù)、快速地以點(diǎn)云形式獲取地形及復(fù)雜物體三維表面的陣列式幾何圖形數(shù)據(jù)。在掃描儀內(nèi)，掃描控制模塊控制和測量每個脈沖激光的角度，針對每一個掃描點(diǎn)可測得測站至掃描點(diǎn)的斜距S，再配合掃描的水平角α和垂直角θ，可以得到每一掃描點(diǎn)與測站的空間相對坐標(biāo)[15]。一般儀器內(nèi)部坐標(biāo)系統(tǒng)為：X軸在橫向掃描面內(nèi)，Y軸在橫向掃描面內(nèi)與X軸垂直，Z軸與橫向掃描面垂直。

2 水域與陸域點(diǎn)云的配準(zhǔn)

一般情況下，陸域采集的點(diǎn)云多使用獨(dú)立坐標(biāo)系，水域采集的點(diǎn)云多使用地方或工程坐標(biāo)系，要將其聯(lián)合仿真，兩者之間的配準(zhǔn)是實(shí)現(xiàn)水陸聯(lián)合仿真的關(guān)鍵。點(diǎn)云配準(zhǔn)是一種三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，針對歐拉角較小的情況可采用近似處理后的布爾莎七參數(shù)模型[16-17]。常規(guī)的點(diǎn)云配準(zhǔn)中，往往其近似為一種只涉及旋轉(zhuǎn)和平移的剛體變換，而在本文的研究中，由于地面和水下使用不同的儀器設(shè)備進(jìn)行測量，為提高解算精度，考慮了尺度變換的情況。

2.1 三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

在大地測量的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，Bursa-Wolf模型、Molodensky模型及武測模型應(yīng)用的較廣泛。針對水陸點(diǎn)云的配準(zhǔn)轉(zhuǎn)換，這里采用一種簡化轉(zhuǎn)換模型。設(shè)有陸域點(diǎn)云P和水域點(diǎn)云Q，其對應(yīng)坐標(biāo)系分別為SP和SQ，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的物理過程，則由坐標(biāo)系SP到坐標(biāo)系SQ的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型為

(1)

式中：R是由α、β、γ3個旋轉(zhuǎn)角所組成的旋轉(zhuǎn)矩陣；T是由3個標(biāo)量所組成的平移矩陣；λ是尺度因子。有時(shí)，將旋轉(zhuǎn)角α、β、γ稱為歐拉角，其構(gòu)建的矩陣R則被稱為歐拉角矩陣。

根據(jù)式(1)可以看出:三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的過程實(shí)質(zhì)上就是解算3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)α、β、γ構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)矩陣R，3個平移參數(shù)構(gòu)成的平移矩陣T和1個尺度因子的過程。由于轉(zhuǎn)換模型一共含有7個未知量，因此至少需要3對已知同名特征點(diǎn)進(jìn)行求解。

2.2 羅德里格矩陣的構(gòu)建

陸域點(diǎn)云與水域點(diǎn)云配準(zhǔn)過程中，涉及大旋轉(zhuǎn)角的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，不宜使用簡化的布爾莎七參數(shù)模型。原因在于，傳統(tǒng)的七參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換以繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的3個歐拉角構(gòu)成旋轉(zhuǎn)矩陣，需要進(jìn)行大量復(fù)雜的三角函數(shù)運(yùn)算和線性化過程，并且參數(shù)初值不易確定。本文基于羅德里格矩陣和間接平差模型對點(diǎn)云配準(zhǔn)參數(shù)進(jìn)行迭代解算，這種方法只涉及簡單的四則運(yùn)算，在一定程度上提高了解算效率，能夠很好地確定參數(shù)初始值，通過迭代計(jì)算保證了解算成果具有良好的精度。此外，使用間接平差模型能很方便地列出觀測方程且方程個數(shù)容易確定。

(2)

2.3 參數(shù)初值的解算

在采用間接平差模型求解三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的過程中，參數(shù)初值的選取尤為重要,它直接影響著平差系統(tǒng)的穩(wěn)定性、結(jié)果的準(zhǔn)確性以及解算效率，且不合理的初值甚至?xí)?dǎo)致平差結(jié)果嚴(yán)重偏離真值[19]。針對參數(shù)初值的計(jì)算，首先計(jì)算尺度因子λ0，再解算旋轉(zhuǎn)矩陣R0，最后計(jì)算平移參數(shù)T0。

取任意兩對同名點(diǎn)i、j在坐標(biāo)系SQ中的距離和坐標(biāo)系SP中的距離之比作為尺度參數(shù)的初值：

(3)

為提高所求初始值與真值的接近程度，也可取多對同名點(diǎn)，將兩兩之間組合求出距離比的平均值作為尺度參數(shù)的初值。

對于構(gòu)成旋轉(zhuǎn)矩陣R的3個獨(dú)立參數(shù)a0、b0、c0的確定，在點(diǎn)云P和Q的任意兩對同名點(diǎn)i、j所滿足的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型式(1)間求差，并結(jié)合羅德里格矩陣的性質(zhì)可得：

(4)

(5)

式(5)只有兩個獨(dú)立方程，所以至少還需要1對同名點(diǎn)k，聯(lián)合i、j兩點(diǎn)組成如下方程：

(6)

式(6)為超定方程組，利用間接平差可解出3個獨(dú)立參數(shù)初值的最小二乘解a0、b0、c0，為提高精確度，還可聯(lián)合多個同名點(diǎn)，兩兩組合得到多個形如式(5)的方程組進(jìn)行求解。

2.4 平差模型的解算

(7)

對式(7)進(jìn)行整理得誤差方程：

(8)

式中：誤差方程系數(shù)陣

以上只是一對同名點(diǎn)列出的3個誤差方程，對于n對同名點(diǎn)，則一共可列出3n個與此類似的誤差方程式，進(jìn)而得出法方程：

(9)

式中：法方程系數(shù)陣NBB=BTPB；常數(shù)項(xiàng)W=BTpl，P為觀測值權(quán)陣，這里取單位陣，即P=I。

配準(zhǔn)后i點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差為

(10)

式中:Qxixi、Qyiyi、Qzizi分別為i點(diǎn)在橫坐標(biāo)X、縱坐標(biāo)Y和豎坐標(biāo)Z方向的協(xié)因數(shù)。另外，在求解轉(zhuǎn)換參數(shù)的過程中，可以通過迭代計(jì)算控制參數(shù)改正數(shù)在指定限差以內(nèi)，求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的最佳估值。

3 實(shí)驗(yàn)分析

堤防工程在防洪、灌溉、供水、航運(yùn)、水保等方面發(fā)揮了巨大的社會效益、經(jīng)濟(jì)效益和環(huán)境效益。堤防工程的安全監(jiān)測，不僅包括陸域的變形監(jiān)測，也包括水域部分的地形變化，其真實(shí)場景的數(shù)字化仿真模型在堤防安全評價(jià)中發(fā)揮著重要的作用[21]。本文選取了長江南京河段梅子洲左岸中段作為實(shí)驗(yàn)對象，水域部分利用R2SONIC 2024多波束測深系統(tǒng)掃測，陸域堤防部分利用Faro Foucs3D地面三維激光掃描儀掃測，分別獲取水域與陸域的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)云Fig.1 Experimental point cloud

利用地面控制網(wǎng)分別獲取4對同名特征點(diǎn)在水域坐標(biāo)系與陸域坐標(biāo)系的坐標(biāo)，其中陸域采用獨(dú)立坐標(biāo)系，水域采用BJ54坐標(biāo)系，成果如表1所列。

表2 配準(zhǔn)后同名點(diǎn)坐標(biāo)及誤差Tab.2 Coordinate and error of homonymic points after registration

對陸域點(diǎn)云中的所有坐標(biāo)數(shù)據(jù)按求出的轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)水域與陸域的點(diǎn)云配準(zhǔn)。配準(zhǔn)后的水陸聯(lián)合點(diǎn)云如圖2所示，可以看出：兩者已位于同一坐標(biāo)系下，實(shí)現(xiàn)了較為精確、嚴(yán)密的拼接，配準(zhǔn)效果良好。在此基礎(chǔ)上，對配準(zhǔn)后的水陸聯(lián)合點(diǎn)云進(jìn)行精簡、去噪等預(yù)處理操作并加以封裝合并，通過曲面重構(gòu)最終可以得到水陸一體化三維仿真模型。

圖2 水陸點(diǎn)云的配準(zhǔn)效果Fig.2 Registration effect of point clouds

4 結(jié) 語

隨著測繪新技術(shù)與計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展，水域與陸域一體化的數(shù)字地形表達(dá)越來越趨于真實(shí)化與精細(xì)化，這類仿真模型在信息化測繪、洪災(zāi)模擬、淹沒分析、災(zāi)情預(yù)警等工作中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。由于兩者參照坐標(biāo)系的不同，要實(shí)現(xiàn)多波束獲取的水域點(diǎn)云與地面LiDAR獲取的陸域點(diǎn)云的聯(lián)合仿真，首先必須解決兩者之間的配準(zhǔn)問題。本文在顧及水陸點(diǎn)云的弱重疊特征的基礎(chǔ)上，以羅德里格矩陣為基礎(chǔ)，詳細(xì)地分析了羅德里格矩陣構(gòu)建、參數(shù)初值解算、平差模型解算等過程，并以實(shí)測的水域與陸域點(diǎn)云數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了該方法的精度與可靠性。實(shí)驗(yàn)證明：該方法不僅可以實(shí)現(xiàn)水陸點(diǎn)云的精確配準(zhǔn)，且點(diǎn)云配準(zhǔn)的單位權(quán)中誤差和同名點(diǎn)的點(diǎn)位中誤差均在毫米級。