非對稱耦合雙振子的二維復雜運動

徐利利

（銀川職業技術學院 寧夏·銀川 750000）

0 緒論

耦合振子研究概述。非線性問題是當前物理研究的熱門問題，但其求解具有極大難度，除了少部分特殊情況可以用解析法解決以外，大部分問題要依靠數值方法，利用計算機為工具，才能得出其結果。耦合振子大量的存在于物理、化學、生物等學科中，這對科學的發展有著很大的推動作用。要弄懂耦合振子是怎樣工作的，首先必須搞清單個振子是怎樣工作的。單個振子是指發生周期行為的系統，而耦合振子的行為則很復雜。如兩個相同振子耦合時，有兩種可能：同步，即相位差為零；和反同步(或稱為異步)即相位差為半個周期。而對于多個耦合振子，它們的行為則更為復雜。目前數學上仍無法弄清它們運動的機理。然而，不管哪種情形，同步現象是耦合振子中可能出現的一種基本行為，并且每個振子的振動都要影響它同其他振子的相互作用，于是它們形成了一個耦合振子系統。所以，研究耦合振子系統的運動是有著重要的現實意義的。

本文建議一個非對稱彈簧雙振子模型，通過拉格朗日函數獲得其運動方程，數值求解方程獲得振子的運動軌線。結果表明振子的運動強烈依賴于初值，表現在振子運動軌線因初值不同而不同，且在相空間中做遍歷運動。這是因為我們所考察的振子系統無耗散因素存在，因而是保守系統中典型的非線性動力學行為。我們得到的這個結果將提醒相關研究者，當不存在耗散因素時耦合振子系統是一個保守的非線性動力學系統，這樣的系統有其固有的動力學特征，另外，一些看似周期的運動實際可能是遍歷運動，而遍歷運動往往是混沌或準周期的，而這種運動單憑肉眼觀察振動曲線是無法與周期運動相區別的。

圖2-1 雙彈性振子模型

1 非對稱耦合雙振子模型

1.1 彈簧振子模型的建立及系統的運動方程

非對稱雙彈性振子物理模型可以用一個在光滑水平面上運動的質量為m的質點來描述，它與兩個彈性系數分別為k1和k2，原長為a的彈簧相連。這里，光滑意味著忽略能量耗散，是一個理想體系。平衡時這兩個彈簧成一條直線，此時彈簧原長為a，質點在水平的xoy平面內作微小振動。為簡單起見，質點平衡位置取在原點o處。模型由圖1表示

顯然，方程(2-4)和(2-5)是一組非線性耦合方程。表明線性彈性振子通過相互耦合將轉變為非線性振動，這樣的非線性方程組很難直接解析求解，我們將借助于軟件Mathematica數值求解。

2 Lyapunov指數與混沌運動

2.1 Lyapunov指數與混沌運動

為了便于計算 Lyapunov指數以確定耦合振子的運動性態，我們將通過升維降階的辦法將方程組(2-4)和(2-5)化為一階方程組如下：

這里彈性振子質量m=1kg，彈簧原長a=1.0m，設彈性系數為控制參量。根據Lyapunov指數譜。譜線顯示參數范圍，絕大多數參數區至少有一個指數大于零，表明振子的運動是混沌的；而在參數范圍，四個指數值在零附近振蕩，表明振子的運動是準周期的或在個別小參數區域是周期的。

2.2 模擬不同初態下振子的混沌軌線

作為一個例子，挑選混沌區的一個參數，取初始條件將對應振子的軌線一一模擬出來。假定彈性振子質量m=1 kg，彈簧原長a=1.0 m，彈性系數分別為k1=0.06 N/m和k2=0.07 N/m。現用數值方法研究系統在給定的不同初始條件下軌跡的響應。當初始條件分別為；利用Matlab語言的超強數值計算功能，求解方程(2-4)和(2-5)，得到x、y方向振動曲線。可以得出沒有耗散性的系統就沒有吸引性，因此振子的軌線均因初態不同而不同，可以說是：“一點一線”，明確了混沌和準周期參數區之后，我們有必要將模型還原為方程組(2-4)和(2-5)。則方程組(3-1)-(3-4)的解在y-x平面的投影確信無疑就是原方程組的解。其結果顯示了運動軌線對初始條件的強烈依賴。

3 準周期運動

3.1 不同初態下振子的準周期軌線

非線性保守系統“一點一線”的運動特征對準周期運動也不例外，下圖中給出了準周期參數中k1=0.1 N/m，k2=0.09 N/m時兩組不同初始條件下振子的準周期運動軌線。初值為。利用Matlab語言的超強數值計算功能，求解方程(2-4)和(2-5)，得到x、y方向的振動曲線。在微小振動的條件下，非對稱耦合振子的振動是非簡諧的周期性振動，在保守力系統中，非線性振動系統的振幅、周期或頻率與初始位置和初始速度有關系，分析發現在x方向和y方向系統的振動周期與振幅成反比，x方向和y方向系統的振動周期與初始位置有關，初始位置增大，振動周期變小；x方向和y方向系統的振幅與初始位置和初始速度有關，初始位置增大，振幅增大；初始位置不變，若初始速度增大，則振幅也增大。結果表明振子的準周期運動同混沌運動一樣是遍歷運動，而且運動軌線與初態一一對應。但是，單從振子的運動軌線看，無法區分混沌運動與準周期運動。唯一可靠的辦法是計算系統的Lyapunov指數。

4 結束語

非對稱彈簧系統中常見的二維非線性振動問題，可利用拉格朗日方法得到其振動控制微分方程，借助于計算機和Matlab語言在計算方面的超強功能，成功解決了該類非線性振動問題。這種方法有效簡便，為非線性問題探索出了一種較好的求解途徑。模擬研究了非對稱耦合雙振子系統的平面運動，由 Lyapunov指數判斷這個系統既有混沌運動又有準周期運動，當然不排斥一些參數區存在周期運動。由于我們所考察的系統是一個典型的保守非線性系統，所以即使準周期運動，其運動軌線強烈依賴于初始條件，周期運動情形與此類似。因此，這樣的系統能夠展示非常豐富且復雜的運動形態。