數(shù)學文化融入文科高等數(shù)學教學：意義與方式

翟 瑩，彭 剛

(廣西師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

早在20世紀50年代，我國著名數(shù)學家華羅庚(1910～1985)就對數(shù)學的廣泛應用性作出了如下精辟的論述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學”[1]。而如今，數(shù)學的應用幾乎已經(jīng)擴展到社會的所有領域，許多文科如教育學、社會學、歷史學、語言學等領域的研究都在不同程度上依賴于數(shù)學。另一方面，下面的觀點已成為一種共識，即：數(shù)學不僅僅是一種精確的語言和工具，還是一種富有生命力的先進文化，數(shù)學文化素養(yǎng)已經(jīng)成為未來社會公民的重要素養(yǎng)之一。正因為如此，目前許多大學的文科專業(yè)都開設了高等數(shù)學課程。

然而，當前文科高等數(shù)學教學也存在許多問題，特別是教材內(nèi)容往往是理工科內(nèi)容的“簡”與“減”，甚至許多例題與工科等教材中的例題都基本相同[2]。這種內(nèi)容的設置，使得文科高等數(shù)學的教學往往還是聚焦于抽象理論的傳授，這對于數(shù)學基礎較弱的文科生來說具有非常大的挑戰(zhàn)性。總體而言，文科學生學習高等數(shù)學的自信心不足以及興趣較弱的情況十分普遍[3]。學生具有這種學習情況，文科高等數(shù)學任課教師就容易形成學生能夠考試過關(guān)即可的心態(tài)，因而在教學中也往往傾向于采取重數(shù)學結(jié)論輕文化背景、重套用公式輕數(shù)學思想的機械教學方式。面對這些問題，越來越多的學者意識到數(shù)學文化的重要性。

關(guān)于數(shù)學文化與數(shù)學教學之間的關(guān)系，許多學者呼吁將數(shù)學文化有機地融入到數(shù)學教學中[4]。本文即對數(shù)學文化融入文科高等數(shù)學教學的意義以及具體方式進行探討。

1 數(shù)學文化的內(nèi)涵

盡管教育界對于數(shù)學文化的關(guān)注已經(jīng)有了十幾年的時間，但是關(guān)于什么是數(shù)學文化并未有統(tǒng)一的看法。根據(jù)南開大學數(shù)學文化課程開設十年來的探索與實踐，顧沛教授認為，數(shù)學文化可以從廣義以及狹義的角度來理解[5]。本文所提到的數(shù)學文化屬于顧沛所提出的廣義的數(shù)學文化，即：數(shù)學的思想、精神、方法以及它們的形成和發(fā)展，同時還包括數(shù)學史、數(shù)學與人文的交叉、數(shù)學與各種文化的關(guān)系，等等。

2 數(shù)學文化融入文科高等數(shù)學教學的意義

文科高等數(shù)學設置的目的本質(zhì)在于發(fā)揮數(shù)學的教育價值，提高文科生的數(shù)學素養(yǎng)。那么，高等數(shù)學的教育價值主要體現(xiàn)在哪些方面呢？教育部高等學校數(shù)學與統(tǒng)計學教學指導委員會在《數(shù)學學科專業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略研究報告》中曾指出，對于大學生而言數(shù)學教育的主要作用既包括掌握必要的數(shù)學工具，用來處理和解決本學科中普遍存在的數(shù)量化問題與邏輯推理問題，也包括培養(yǎng)“數(shù)學方式的理性思維”，如抽象思維、邏輯思維以及使人終生受益的數(shù)學素質(zhì)等[6]。從目前的文科高等數(shù)學教學情況來看，教師往往注重數(shù)學結(jié)論的傳授，即充分體現(xiàn)出數(shù)學的工具性，相應的在數(shù)學思想方法的滲透、理性精神的培養(yǎng)方面，則還比較欠缺，而這正是在文科高等數(shù)學教學中融入數(shù)學文化意義所在。

2.1 滲透數(shù)學思想方法

什么是教育？有學者認為，把學校學到的知識忘掉，剩下的那一部分才是教育。這種觀點對于高等數(shù)學學習來說也是適用的。許多學生在離開學校、走進社會以后，盡管可能使用到的數(shù)學知識比較少，但數(shù)學對他們思維的培養(yǎng)卻會使之終生受益。那么，所謂忘掉知識剩下的那一部分是什么呢？實質(zhì)上就是數(shù)學的精神、思想與方法對于思維的影響。

日本著名數(shù)學教育家米山國藏曾以“哥尼斯堡七橋問題”為例，明確指出：在數(shù)學中使用、培養(yǎng)并得到錘煉的精神活動，也是一種人類的精神活動，會滲透到數(shù)學以外的事物中去[7]。事實上，在高等數(shù)學中有許多深刻的數(shù)學思想方法，比如微積分處理無窮問題時所用到的極限方法、處理不規(guī)則圖形面積和體積時所用到的以直代曲的思想，都是人類思想文明中的瑰寶。關(guān)于微積分思想方法的重要性，我國著名數(shù)學家林群院士甚至認為，如果文學家能夠理解微積分的無限思想，那么他的作品就能夠更開闊，因為“微積分是將有限的哲學變成無限的哲學，這是哲學上的突飛猛進”8]。

2.2 培養(yǎng)理性精神

什么是理性？古希臘哲學家柏拉圖(Plato，約公元前427～約公元前347)認為理性就是“在不為生活勞碌、不追求利潤的閑暇中，自由地進行理論思維”[9]。因此，理性精神可以理解為在自我意識控制下，以符合邏輯的推理為手段、以探求世界規(guī)律為目的的一種探索精神。

幾千年來人類不斷地進行探索，目的在于認識宇宙以及認識人類自己，而在這個過程中數(shù)學的理性精神起到了重要作用。正如有學者指出的那樣，幾乎沒有哪個學科像數(shù)學那樣，“每個論點都必須有根據(jù)，都必須持之有理。除了邏輯的要求和實踐的檢驗以外，無論是幾千年的習俗、宗教的權(quán)威、皇帝的敕令、流行的風尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的”[10]。正因為如此，許多教育工作者都贊同將數(shù)學理性精神的培養(yǎng)作為數(shù)學的重要教育價值之一。

3 數(shù)學文化融入文科高等數(shù)學教學的方式

近幾十年來，許多學者提倡視數(shù)學為一種文化。總體而言，作為文化的數(shù)學主要有以下幾個方面的特點[10，11]：1)使用抽象的方法，追求一種高度精確以及確定可靠的知識；2)不斷追求最大限度的一般性模式，這是一種化繁為簡、以求統(tǒng)一的過程；3)不僅研究宇宙的規(guī)律，而且也研究它自己；4)作為一種創(chuàng)造性活動，還具有藝術(shù)的特征，即對美的追求。應該來說，高等數(shù)學充分體現(xiàn)了上述幾個特點。然而在文科高等數(shù)學教學中，如果僅僅是按照從理論到理論的方式來進行高等數(shù)學內(nèi)容傳授的話，數(shù)學的這些特點是很難凸顯出來的；這就需要在教學中融入相應的數(shù)學文化。那么，如何將數(shù)學文化融入到文科高等數(shù)學教學中呢？我們認為，可以采取以下幾種方式。

3.1 追溯數(shù)學概念之源

數(shù)學概念是數(shù)學理論的基石。相對于初等數(shù)學，高等數(shù)學中的數(shù)學概念往往更加抽象，并且較多涉及變量的(比如極限、導數(shù)、微分、無窮小等等)，因而文科學生接觸起來會感覺十分突兀，無法了解到這些概念的意義所在。此外，文科高等數(shù)學教材中的許多數(shù)學概念往往是按照適合數(shù)學研究人員閱讀的方式來呈現(xiàn)的，因此在教學中需要對這些概念的起源進行探尋。事實上，數(shù)學概念的產(chǎn)生往往與重要的數(shù)學思想和方法緊密聯(lián)系的，對這些概念起源進行分析的過程，本質(zhì)上也是滲透這些數(shù)學思想方法的過程。

3.2 欣賞數(shù)學方法之魅

如前所述，數(shù)學的特點之一就是使用了抽象化方法。盡管抽象方法不是數(shù)學所特有的，但與其他學科相比數(shù)學的抽象確實最典型的：數(shù)學的抽象是舍棄了事物的其他方面而只是保留了某種關(guān)系或者結(jié)構(gòu)。事實上，在遙遠的古代人類就已經(jīng)從自然界抽象出了數(shù)與形等原始概念，并經(jīng)過漫長的探索到如今已達到了遠遠超過其他知識領域的程度[11]。應該來說，正是數(shù)學的這種獨特的抽象性才使得它具有極其廣泛的應用性。除了抽象化方法，數(shù)學中還有一些具體的認識世界的方法，比如深刻影響人類社會的公理化方法、在實際生活中具有廣泛應用的最優(yōu)化方法，等等。

那么，如何在教學中通過數(shù)學文化的融入來引導學生欣賞數(shù)學方法的巨大魅力呢？我們認為，可以在教學中結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹數(shù)學在人類認識世界過程中的重大作用。比如微積分教學中，一般主要涉及它在處理切線問題、不規(guī)則圖形的面積問題以及旋轉(zhuǎn)體的體積問題中的應用，這些內(nèi)容當然是需要的，但除此之外微積分方法還有更為重要的意義。著名數(shù)學家馮·諾依曼(John von Neumann，1903～1957)認為，作為近代數(shù)學中最早的成就，微積分的重要性無論做怎樣的估計都不會過分[12]。事實上，微積分可以說是數(shù)學中自歐幾里得《幾何原本》以后最重要的創(chuàng)造[13]，它的成果之一就是促成了牛頓的巨著《自然哲學之數(shù)學原理》。該著作首次提出了萬有引力定律，并把地面上物體運動以及天體運動的規(guī)律統(tǒng)一起來，對物理學和天文學的發(fā)展具有深遠影響。再如，被譽為“數(shù)學王子”的德國著名數(shù)學家高斯(Carl Friedrich Gauss，1777～1855)曾在天文學中也有很高的成就，其實得益于他對數(shù)學方法的有效使用。1801年1月1日，意大利天文學家皮亞齊(Giuseppe Piazzi，1746～1826)發(fā)現(xiàn)了谷神星，但在跟蹤這個小行星時由于受到太陽的干擾看不見它了。很多著名天文學家發(fā)表文章預測谷神星的軌道，高斯也發(fā)表了一個預測，但他的預測和其他人有相當大的差異。后來證明，高斯的預測是最準確的，而他成功的關(guān)鍵就在于使用了數(shù)學中的最小二乘法。

3.3 品味數(shù)學大師風采

在很多人眼中，數(shù)學是十分枯燥、毫無美感的，而數(shù)學家則一般是極為聰明的，他們從事數(shù)學研究主要靠天分，但事實并非如此。即便是天分過人的數(shù)學家，也需要下苦功夫、在數(shù)學領域里辛勤地耕耘。一般而言，文科學生學習數(shù)學的自信心往往比較欠缺，所接觸的數(shù)學內(nèi)容也比較有限，因此，如果能夠在教學中介紹著名數(shù)學家對于數(shù)學的執(zhí)著追求以及相關(guān)成就，對于開闊文科學生的數(shù)學視野、樹立合理的數(shù)學觀是很有幫助的。比如微積分教學中可以介紹大數(shù)學家歐拉(Leonhard Euler，1707～1783)以及魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815～1897)的故事。

歐拉是數(shù)學歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一，有“分析學的化身”之美譽；歐拉的微積分著作不僅使用了許多延續(xù)至今的數(shù)學符號(比如函數(shù)f(x)、自然對數(shù)的底e、虛數(shù)單位i等等)，還在很長時間內(nèi)被當作分析課本的典范而廣泛使用。更令人敬佩的是，盡管歐拉在28歲左眼失明、56歲雙目失明，他還是憑著堅強的毅力和驚人的心算能力以及記憶能力進行數(shù)學研究和寫作，一直到“停止了呼吸，也停止了計算”[14]。正因為歐拉對于數(shù)學研究極為投入(他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩)，他的數(shù)學研究成果十分豐富，也留下了許多由歐拉命名的公式或者定理；其中，這一公式被許多人(包括一些著名數(shù)學家)認為是“最美的數(shù)學公式”，因為它把數(shù)學中五個最基本的常量完美地統(tǒng)一到一個式子中，展現(xiàn)出了數(shù)學理論驚人的和諧與美感。

通常數(shù)學研究被認為是年輕人的游戲，數(shù)學中的最高獎菲爾茲獎往往僅授予40歲以下的學者。然后，歷史上仍有一些數(shù)學家“大器晚成”，德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯便是其中的一位。一般而言，30歲到40歲之間是數(shù)學家的黃金歲月，但魏爾斯特拉斯卻是在兩處偏僻的地方中學度過的，但他以驚人的毅力堅持利用晚上的時間來研究阿貝爾等數(shù)學名家的著作，并撰寫了許多數(shù)學論文。后來，41歲的魏爾斯特拉斯到柏林工業(yè)大學任教，并創(chuàng)造性地提出了一套ε-δ語言(這套語言一直延續(xù)至今)，用它重新定義了極限、連續(xù)、導數(shù)等基本概念，為分析學的嚴密化作出了巨大貢獻，被后人譽為“現(xiàn)代分析之父”[11]。

4 結(jié)語

數(shù)學的世界豐富又精彩，但一般教科書卻呈現(xiàn)得十分有限，這就需要教師在教學中將數(shù)學文化有效地融入到教學中去，提高文科生的學習興趣，開闊他們的數(shù)學視野，提升他們的數(shù)學素養(yǎng)，真正發(fā)揮數(shù)學應有的教育價值。本文提出了數(shù)學文化融入文科高等數(shù)學教學的三種方式：追溯數(shù)學概念之源、欣賞數(shù)學方法之魅以及品味數(shù)學大師風采。事實上，數(shù)學文化的傳播還可以采取其他多種方式，這都有待于進一步的實踐與探索。