一類含有未知導函數的積分不等式中未知函數的界

蒲可莉

(阿壩師范學院 數學學院，四川 汶川 623002)

0 引言

和

在文獻[3]中，Akin-bohner等人在此基礎上進一步研究了時標上的線性積分不等式

及

除了對積分號內含有未知函數及其導函數的線性積分不等式的研究外，一些文獻也討論了非線性的情況。如Zareen[4]給出了非線性積分不等式

中未知函數u(t)的上界。

本文在前人的工作基礎上，給出了一類被積函數中含有未知函數及其導函數的冪次并且積分號外含有非常數項的積分不等式

的界。

1 主要結果及證明

如果

則

同時有

其中

a(t)=c+(c3h(t)+1)b(t)=g(t)+(4c3h(t)+1)c(t)=ch(t)(6cg2(t)+1)

d(t)=g(t)h(t)(4cg2(t)+1)s(t)=h(t)g4(t)

將上式右端展開整理可得：

+g(t)h(t)(4cg2(t)+1)m3(t)+h(t)g4(t)m4(t)

不妨令

a(t)=c+(c3h(t)+1)b(t)=g(t)+(4c3h(t)+1)c(t)=ch(t)(6cg2(t)+1)

d(t)=g(t)h(t)(4cg2(t)+1)s(t)=h(t)g4(t)

由于c>0，g(t),h(t)為[0,+∞)上的非負連續函數，故a(t),b(t),c(t),d(t),s(t)均為[0,+∞)上的非負連續函數。

并且

(1)

對(1)式左右兩端從0到t積分可得：

對任意非負實數T，當t∈[0,T]，有

令

因0

對上式兩邊同除v(t)

(2)

將(2)式左右兩端同時從0到t積分可得

當t∈[0,T]時

又因0

對上式兩端同除ev1(t)得

(3)

對(3)式左右兩端同時從0到t積分，整理可得

當t∈[0,T]時

再令

又因ev1(t)≤v2-1(t)，故

對上式兩端同乘v2(t)得：

(4)

對(4)式左右兩端同時積分整理可得：

當t∈[0,T]時

(5)

對(5)式積分后整理可得：

所以

由于T具有任意性，故令T=t，因此

其中

a(t)=c+(c3h(t)+1)b(t)=g(t)+(4c3h(t)+1)c(t)=ch(t)(6cg2(t)+1)

d(t)=g(t)h(t)(4cg2(t)+1)s(t)=h(t)g4(t)

2 結束語

本文對一類特殊的積分不等式

進行了討論，得到了該積分不等式中未知函數的估計。進一步地，本文的結果也可以用來研究相應類型的微分-積分方程解的性質。