Fisher分布一致漸近正態性

毛第首，李開燦

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

在數理統計中，討論隨機變量的分布是極其重要的。對于重要分布Fisher分布，其詳概念和性質見文[1]，Fisher分布在可靠性理論領域的壽命實驗中的應用[2]、人工智能領域極化SAR圖像識別處理[3]、雷達信息檢測[4]、流形的幾何結構[5]等實際運用上具有重要意義。

由于目前還未見到Fisher分布函數表，這使得我們對Fisher分布的運用不是很方便。在文獻[6]中李江平運用中心極限定理證明了Fisher分布的樣本均值的漸近正態分布，但未討論Fisher分布的一致漸近正態性，所以像其他分布一樣討論Fisher分布漸近正態對運用是有意義的.在文[7～8]中利用Kullback-Leibler距離的新方法，比較兩個密度函數的距離，證明了χ2分布、t分布、F分布、矩陣 Gamma 分布的一致漸近正態分布的條件。

本文將先討論Fisher的相關性質，并計算它與正態分布密度函數之間的Kullback-Leibler距離，獲得Fisher分布的一致漸近正態分布條件。

1 Fisher分布概念及相關性質

為了本文研究方便，本節將給出Fisher分布的定義和數值特征及相關性質;同時給出了Fisher分布和t分布的關系。

定義1 如果隨機變量X具有以下密度函數：

其中a,b為參數(a>0,b>0)，Γ(·)為Gamma函數,則稱X服從Fisher分布，記作X～Z(a,b).

為了本文研究需要，先討論Fisher分布期望與方差。

性質1 若X～Z(a,b)，則有

(a>0,b>1)

(a>0,b>2)

證明：由k階矩的定義有

所以

從而

Var(X)=E(X2)-[E(X)]2

證畢。

性質2

此性質證明見文獻[1]

證明：根據分布函數定義

由于被積函數是偶函數，所以

由t分布的分布函數與密度函數的關系，上述結論成立。

從上述性質2中3)可知Fisher分布與F分布具有緊密聯系，在Fisher分布中，參數a,b與F分布的自由度n1,n2相關。并且在F分布中，當自由度n1,n2→∞時，F分布漸近標準正態分布。所以同樣考慮Fisher分布中參數a,b→∞時，討論Fisher分布的一致漸近正態分布。

2 相關引理

為了討論Fisher分布的一致漸近正態性，還需要引用相關概念和引理。

定義2 在(R+,BR+)中隨機變量X,Y分別具有概率密度函數f(x)，g(x),則f(x),g(x)之間的Kullback-Leibler距離為：

定義3 在(R+,βR+)中隨機變量X,Y分別具有分布函數F(x),G(x)令

則概率密度函數f(x),g(x)的全變差距離為：

D(f,g)=sup|F(E)-G(E)|E∈BR+

引理1

其中：

而

此引理證明見文獻[10～11].

3 主要結果

通過計算，本節將得到Fisher分布的相關期望并給出Fisher分布一致漸近正態分布的條件。

定理1 若X～Z(a,b)，則有

證明：由于

(1)

第一步對式(1)兩邊對a求導數：

即得到

(2)

第二步對式(1)兩邊對b求導數：

從而得到

(3)

聯合式(2)(3)得到

定理得證。

證明：由于f(x)為X～Z(a,b)的密度函數，記g(x)為正態分布

的概率密度函數，根據關系式

根據兩個分布密度函數之間的Kullback-Leibler距離定義：

代入定理1結論得到

(4)

其中：

由引理1可知：

(5)

(6)

(7)

將上述式(5)(6)(7)代入式(4)得

由于

由引理1可知

T(a)→0,R(a)→0,T(b)→0,R(b)→0,T(a+b)→0,R(a+b)→0

則有

I(f,g)→0

定理得證。

4 結論

李江平文中只討論Fisher樣本均值運用大數定律及中心極限定理漸近標準正態分布，并沒有討論Fisher分布的一致漸近正態性，而本文利用Fisher分布與正態分布的Kullback-Leibler距離，獲得了Fisher分布的一致漸近正態性。