一次方程（組）與一元二次方程

2.1 一次方程（組）與一元二次方程

考點，易混易錯點解讀：

在中考中，有關一次方程（組）常見的命題點有：一元一次方程的解法，二元一次方程組的解法，一次方程（組）的實際應用.

等式的性質是解方程的依據，在運用等式的性質時，要注意以下兩點：（1）等號兩邊的運算要相同，參與運算的數或式子也要相同，即等號兩邊要同時加上（或減去或乘以或除以）相同的數或式子.（2）等號兩邊除以一個式子時，一定要注意這個式子是否可以等于0.如果該式子可以等于0，兩邊同時除以該式子后，所得等式就不一定成立.

在解一元一次方程時，常見的錯誤有：（1）去分母時，常數項漏乘各分母的最小公倍數.（2）移項時，某一項從等號一邊移到另一邊時，沒有變號.（3）對于含參數的一元一次方程，將系數化為1時，如果未知數的系數是一個式子，沒有對該式子能否為0進行分類討論.

用代人消元法解二元一次方程組時，首先將其中一個方程變形，用含一個未知數的式子表示另一個未知數，然后將這個式子代入另一個方程中，從而達到消元的目的.在變形和代入的過程中，要嚴格依照移項和去括號的法則，避免出現符號錯誤，

在中考中，有關一元二次方程常見的命題點有：一元二次方程的解法，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的實際應用，

一元二次方程的解法有四種：直接開平方法、配方法、公式法與因式分解法.在解方程時要靈活運用.若方程的右邊為0，且左邊能分解因式，則宜選用因式分解法;若方程是形如X2=c（c≥0）、（ax+b）2=C的一類方程，則宜選用開平方法;若方程的二次項系數為1，一次項系數為偶數時，則宜選用配方法;若用直接開平方法、配方法、因式分解法都不簡便時，則用公式法，

解一元二次方程的注意事項有：（1）對于左右兩邊含有相同未知數因式的一元二次方程，應將方程化為一般形式后再求解（或將方程變為等號一邊是0.另一邊是含未知數的式子，利用因式分解法求解），切勿直接約去相同未知數因式，否則會丟根.（2）用因式分解法解一元二次方程時，方程的右邊要化為0，左邊分解因式.（3）利用公式法求解時，一定要先將一元二次方程化為一般形式，然后再用求根公式求解，

如果所給方程的二次項系數含有字母參數，要看清題干中有沒有說明這個方程是一元二次方程.如果題干指明這個方程是一元二次方程，或通過暗含條件，比如“方程有兩個實數根”“方程有兩個不相等的實數根”“方程有兩個相等的實數根”等，可以判斷它是一元二次方程，除了根據方程根的情況，結合根的判別式得到字母的值或取值范圍，還要注意二次項系數不為0這個限制條件.如果不能確定所給方程是一元二次方程，那么要對二次項系數進行分類討論.

利用根與系數的關系解題時，首先要把一元二次方程化為一般形式，然后在根的判別式大于或等于零的前提下正確使用根與系數的關系.

在解決實際問題時，通過解一元二次方程得到的根要符合實際情況，比如幾何圖形的邊長為正數，商品的成本下降率應小于1.不符合實際情況的根應舍去.

高頻考點例題點撥

高頻考點1 方程的解

例1 （2019.南充）關于x的一元一次方程2x^a-2+m=4的解為x=1，則a+m的值為（

）.

A.9

B.8

C.5

D.4

解析：由題意可得a-2=1，2+m=4，解得a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故選C.

點撥：解決涉及方程的解的問題，直接把方程的解代人方程，然后得到一個等式，即可求得其他字母的值，

例2 （2019.巴中）已知關于x，y的二元一次方程組ax-y=4，的解是x=2，則a+b的值

3x+by=4

y=-2，是（

）.

A.1

B.2

C.一1

D.0

解析：將方程組的解代入方程組，得a=1，b=1，所以a+b=2，故選B.

點撥：方程組的解就是方程組中所有方程的公共解.把方程組的解代入方程組的每一個方程，即可求出a，b的值.

高頻考點2-次方程（組）與數學文化

例3（2019.甘肅）中國古代人民很早就在生產、生活中發現了許多有趣的數學問題，其中《孫子算經》中有個問題，原文是：“今有三人共車，二車空;二人共車，九人步.人與車各幾何？”譯文為：今有若干人乘車，若每3人共乘一輛車，則最終剩余2輛車;若每2人共乘一輛車，則最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人、多少輛車，

點撥：對于這類問題，原文表達的意思也許我們看不懂，但題目往往都會給出譯文，解決問題時，我們只需要按照譯文的意思，找已知量、未知量和等量關系，然后設未知數，列方程，解方程即可，本題還可以設共有x輛車，請讀者朋友列方程解決問題.

高頻考點3 一元二次方程的根

例4 （2019.甘肅）若一元二次方程X2_2kX+k²=0的一根為x=-1，則k的值為（

）.

A.一1

B.0

C.1或-1

D.2或0

解析：把x=-1代人方程得1+2k+k²=0，解得k=-1.故選A.

點撥：用配方法解一元二次方程時，共有四個步驟，第一步是變形：將ax²+bx+c=0（a≠0）中的二次項系數化為1，要注意等號兩邊的每一項都要除以二次項系數.第二步是移項：把二次項和一次項移到等號左邊，常數項移到等號右邊.第三步是配方：等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方，將方程配方為（x+m）²=n的形式，第四步是開方：利用直接開平方法求得方程的兩個根.

高頻考點5 一元二次方程根的判別式

例6 （2019.成寧）若關于x的一元二次方程x²-2x+m=0有實數根，則實數m的取值范圍是（

）.

A.m<1

B.m≤1

C.m>1

D.m≥1

解析：∵關于x的一元二次方程x²-2x+m=0有實數根，

∴△=（-2）²-4m≥0.

解得m≤1.故選B.

點撥：本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程有實數根，則△≥0.注意“一元二次方程有實數根”包含兩種情況：（1）方程有兩個相等的實數根.（2）方程有兩個不相等的實數根.

高頻考點6 一元二次方程的實際應用

例7（2019.東營）為加快新舊動能轉換，提高公司經濟效益，某公司決定對近期研發出的一種電子產品進行降價促銷，使生產的電子產品能夠及時售出.根據市場調查，這種電子產品銷售單價定為200元時，每天可售出300個;若銷售單價每降低1元，則每天可多售出5個，已知每個電子產品的固定成本為100元.這種電子產品降價后的銷售單價為多少元時，公司每天可獲利32 000元？

解析：設降價后的銷售單價為x元，則降價后每天可售出[ 300+5（200-x）]個.

依題意，可得（x-100）[300+5（200-x）]-32000.

解得x1=x2=180.

180<200.符合題意，

答：這種電子產品降價后的銷售單價為180元時，公司每天可獲利32000元，

點撥：根據總利潤=每個產品的利潤×銷售數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論.找準等量關系，正確列出一元二次方程是解決問題的關鍵，

5.已知一元二次方程3x²+4x -k =0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是____ .

6.隨著粵港澳大灣區建設的加速推進，廣東省正加速布局以SG等為代表的戰略性新興產業.據統計，目前廣東省5G基站的數量約為1.5萬座，計劃到2020年底，全省5G基站數是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數量將達到17.34萬座.

（1）計劃到2020年底，全省5G基站的數量是多少萬座？

（2）按照計劃，求2020年底到2022年底全省5G基站數量的年平均增長率.