反比例函數

3.3 反比例函數

考點、易混易錯點解讀

考點：反比例函數的圖象與性質，反比例函數解析式中比例系數的幾何意義，用待定系數法確定反比例函數解析式，反比例函數與一次函數的綜合應用，

易混易錯點：運用反比例函數解析式中比例系數的幾何意義解決問題是一個難點，也是一個易錯點，要注意雙曲線是在原點處斷開的兩個分支，函數在各自象限內呈現相同的增減性，但不是在自變量的整個取值范圍內都遞增或遞減.另外，利用反比例函數解決實際問題時，注意自變量的取值范圍要符合實際意義.

高頻考點例題點撥

高頻考點l反比例函數的圖象與性質

例1 （2019.江西）已知正比例函數y=kix的圖象與反比例函數y=k2/x的圖象相交于點A（2，4），下列說法正確的是（

）.

A.反比例函數的解析式是y=-8/x

B.兩個函數的圖象的另一個交點的坐標為（2，-4）

c.當x<一2或0

D.正比例函數y=k2x與反比例函數y=k2/x都隨x的增大而增大

解析：易知正比例函數和反比例函數的解析式分別為y=2x，y=8/x.

∴兩個函數的圖象的另一個交點的坐標為（-2，-4）.

也可以利用圖象的中心對稱性確定另一個交點的坐標.兩個函數的圖象都關于原點對稱，所以兩個交點也關于原點對稱，所以另一個交點為（-2，-4）.

解不等式2x<8/x，得0

點撥：求兩個函數圖象的交點坐標，實質上就是將兩個函數的解析式聯立成方程組，然后解方程組，所得方程組的解就是交點的橫、縱坐標，反比例函數和正比例函數的圖象都是關于原點對稱的圖形，因此它們的兩個交點也關于原點對稱，利用中心對稱性來解決交點問題，更快捷方便.

由兩個函數值比較大小確定自變量的取值范圍問題，一般通過解不等式來解決.本題中用此方法較為煩瑣，因為需要分類討論.數形結合，利用圖象的直觀性來解決更簡便.

高頻考點2 求反比例函數y=k/x中k的值

例2（2019.重慶）如下頁圖1，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸上，對角線BD//x軸，反比例函數y=k/x（k>0，x>0）的圖象經過矩形對角線的交點E若點A的坐標為（2，0），D的坐標為（0，4），則k的值為（

）.

A. 16

B. 20

C. 32

D. 40

點撥：求點的坐標，一般轉化為求線段的長.求線段長度常用的方法有兩種：一種是解特殊的三角形;另一種是利用相似或全等三角形來解決，需要構造全等三角形、相似三角形的基本模型，

高頻考點3 反比例函數與其他知識的綜合應用

例3 （2019.廣州）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P（-1，2），AB⊥x軸于點E，正比例函數y=mx的圖象與反比例函數y=n-3/x的圖象相交于A，P兩點.

（1）求m，n的值與點A的坐標.

（2）求證：△CPD∽△AEO.

（3）求sin∠CDB的值.

也可以根據正比例函數與反比例函數的圖象都是關于原點對稱的圖形，其兩個交點也關于原點對稱，可知點A的坐標為（1，-2）.

點撥：相似三角形常用的判定方法有：①兩角對應相等，兩三角形相似;②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似;③三邊對應成比例，兩三角形相似;④直角三角形中，直角邊和斜邊對應成比例，兩直角三角形相似.本題第（3）問中也可以采用等角轉化的方法求解，

高頻考點4 反比例函數比例系數的幾何意義

例4 如圖3，A，B兩點在反比例函數y=k1/x的圖象上，C，D兩點在反比例函數y=k2/x的圖象上，AC⊥y，軸于點E，BD⊥y軸于點F，AC=2，BD=1，EF=3，則k1-k2的值是（

）.

A.6

B.4

C.3

D.2

點撥：求解本題要善于運用“變”與“不變”的思想（變的是A，B，C，D在不同函數圖象上的不同位置，不變的是反比例函數圖象上點的坐標的共同特征），抓住了這個關鍵點，就容易溝通已知、未知的數量關系.

例5 如圖5，正比例函數y1=-3x的圖象與反比例函數y2=k/x的圖象交于A，B兩點.點C在x軸負半軸上，AC=AO.△ACO的面積為12.

（1）求k的值.

（2）根據圖象，當y1>y2時，寫出x的取值范圍.

點撥：已知等腰△ACO的面積，相當于給出了k應滿足的條件.求不等式的解集，需要求出兩個圖象交點的橫坐標，再觀察圖象.

2.如圖7.在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，∠ABC=90°.CA ⊥x軸，點C在函數y=k/x（x>0）的圖象上，若AB=1，則k的值為（

）.

A.1

B.√2/2

2

C.√2

D.2

3.如圖8.□ABCD中，頂點A的坐標是（0，2），AD //x軸，BC交y軸于點E，頂點C的縱坐標是-4，□ABCD的面積是24.反比例函數y=k/x的圖象經過點B和D.求：

（1）反比例函數的表達式.

（2）AB所在直線的函數表達式.