一次函數

3.2一次函數

考點、易混易錯點解讀

考點：一次函數的圖象與性質，用待定系數法確定一次函數解析式，一次函數與反比例函數、三角形、四邊形的綜合問題，一次函數的實際應用，

易混易錯點：（1）正比例函數一定是一次函數，但一次函數不一定是正比例函數.

（2）涉及實際問題的一次函數圖象不一定是直線，也可能是線段、射線，所以構建一次函數模型解決實際問題時要注意考慮自變量的取值范圍.

（3）一次函數的圖象是直線，但直線不一定是一次函數的圖象，例如平行于坐標軸的直線不是一次函數的圖象，

高頻考點例題點撥

高頻考點1 一次函數的圖象與性質

例1 （2019 臨沂）下列關于一次函數y=kx+b （k<0，b>0）的說法，錯誤的是（

）.

A.圖象經過第一、二、四象限

B.y隨x的增大而減小

C.圖象與y軸交于點（0，b）

D.當x>-b/k時，y>0誤.選D.

點撥：一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，k、b決定函數圖象的位置.一次函數y=kx+b的增減性由k的正負性決定，當k>0時，y隨x的增大而增大;當k<0時，y隨x的增大而減小.以上結論也可以逆向應用，

高頻考點2用待定系數法確定一次函數解析式

例2（2019.蘇州）若一次函數y=kx+b（k，6為常數，且k≠0）的圖象經過點A（0，-1），B（1，1），則不等式kx+b>1的解集為（

）.

A.x<0

B.x>0

C.x<1

D.x>1

解析：把點A、B的坐標代人一次函數解析式，可得k=2，b=-1，故一次函數的解析式為y=2x-1.解不等式2x-1>1.得x>1.選D.

點撥：用待定系數法求一次函數解析式時，把滿足條件的點坐標代人一次函數的解析式，列出關于k、b的二元一次方程組，得出k、b的值.根據數形結合的數學思想利用函數與方程、不等式之間的聯系可以解決很多問題.例如，求函數圖象的交點坐標，可聯立關于函數解析式的方程組，解方程組，得到的方程組的解就是交點橫、縱坐標的值.又例如，解不等式可以看作兩個函數值比較大小，通過函數圖象可以直接判斷.

高頻考點3 一次函數與反比例函數的綜合應用

點撥：本題是一次函數與反比例函數的綜合應用問題，解答時用到待定系數法，求函數圖象與坐標軸的交點坐標的方法等，根據坐標軸上點的坐標特征（y軸上點的橫坐標為0，x軸上點的縱坐標為0），可確定一次函數圖象與坐標軸的交點坐標.

高頻考點4 一次函數在實際問題中的應用

例4 （2019.南充）在“我為祖國點贊”征文活動中，學校計劃對獲得一、二等獎的學生分別獎勵一支筆、一個筆記本.已知購買2支鋼筆和3個筆記本共38元，購買4支鋼筆和5個筆記本共70元.

（1）鋼筆和筆記本的單價分別為多少元？

（2）經與商家協商，購買鋼筆超過30支時，每增加1支單價降低0.1元：超過50支時，均按購買50支的單價銷售.筆記本一律按原價銷售.學校計劃獎勵獲得一、二等獎的學生共計100人，其中獲得一等獎的學生不少于30人，且不超過60人.當這次獎勵獲得一等獎的學生為多少人時，購買獎品的總金額最少？最少為多少元？

解析： （1）設鋼筆、筆記本的單價分別為x元、y元.

∴鋼筆、筆記本的單價分別為10元、6元.

（2）設鋼筆單價為a元，購買的數量為6支，購買鋼筆和筆記本的總金額為W元，

①當30≤b≤50時，a=10-0.1（b-30） =-O.1b+13.

W=b（-0.1b+13）+6 （100-b）=-0.1 （b-35）2+722.5.

當b=35時，W取得最大值722.5.當b=50時，W取得最小值700.

∴700≤W≤722.5.

②當50

因為2>0.所以W隨b的增大而增大，

..700

綜上可知，當30≤b≤60時，W的最小值為700.

∴當這次獎勵獲得一等獎的學生為50人時，購買獎品的總金額最少，最少為700元.

點撥：求二次函數的最值時，注意最值不一定在拋物線頂點處取得，要考慮函數自變量的取值范圍.對于一次函數y=kx+b，增減性由k的正負性決定，要根據自變量的取值范圍求最值.

例5某市為節約水資源，制定了新的居民用水收費標準.按照新標準，用戶每月繳納的水費y（元）與每月用水量x（ m3）之間的關系如圖2所示.

（1）求y關于x的函數解析式.

（2）若某用戶二、三月份共用水40m3（=月份用水量不超過25 m3），繳納水費79.8元，則該用戶二、三月份的用水量各是多少立方米？

8 （1）當0≤x≤15時，設y=mx，則15m=27.得m=1.8.

（2）設二月份的用水量是am3，則三月份用水（40-a）m3.

∵二月份用水量不超過25 m3。

∴40-a≥15，即三月份的用水量不少于15 m3.

①當0≤a≤15時，由題意得1.8a+2.4（40-a） -9=79.8，解得a=12，則40-a=28.

②當15≤a≤25時，這兩個月用水量均不少于15 m3，故2.4a-9+2.4 （40-a） -9=79.8，此方程無解，

綜上可知，該用戶二、三月份用水量分別是12 m3和28 m3.

點撥：實際問題中的函數模型通常是分段函數，本題中x=15就是一個關鍵節點.盡管第（2）問最終答案唯一，但如果不分類討論，就有失推理的縝密性，

解析：先將點P（n，-4）的坐標代入y=-x-2，求出n的值，再找出直線y=2x+m在直線y=-x-2的下方且都在x軸下方的部分對應的自變量的取值范圍即可，

∵ 一次函數y=-x-2的圖象過點P（n，-4），

∴ -4=-n-2.解得n=2.

∴P的坐標為（2，-4）.

又直線y=-x-2與x軸的交點是（-2，0），

∴關于x的不等式組2x+m<-x-2<0的解集為-2

點撥：本題體現了數形結合的思想方法.要弄清楚一元一次不等式組的解集與一次函數自變量的關系，然后結合函數圖象解題.

中考命題預測

1.已知一次函數y=（k-3）x+l的圖象經過第一、二、四象限，則k的取值范圍是 ___.

2.如圖4，直線y=一3/4x-3交x軸于點A， 交y軸于點B，點P是x軸上一動點，以點P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P當⊙P與直線AB相切時，點P的坐標是 ____

.

3.如圖5，一次函數y=k1x+b的圖象與反比例函數y=k2/x的圖象相交于A，B兩點，其中點A的坐標 為（-1，4），點B的坐標為（4，n）.

（1）根據圖象直接寫出滿足k1x+b> k2/x的x的取值范圍.

（2）求這兩個函數的表達式.

（3）點p在線段AB上，連接OA，OB，OP，恰有S△AOP：S△BOP=1：2，求點P的坐標.

4.學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品，已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元：購買5個A獎品和4個B獎品共需210元.

（1）求A、B兩種獎品的單價.

（2）學校準備購買A、B兩種獎品共30個，且A獎品的數量不少于B獎品數量的÷，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由.

5.某社區活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區居民免費借用，該社區附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價為3元.目前兩家超市同時在做促銷活動，

A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售.

B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球，

設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA元，在日超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB元.請解答下列問題：

（1）分別寫出yA、yB與x之間的關系式.

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？

（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案。

6.小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時，在同一直角坐標系內作出了相應的兩個一次函數的圖象l1，l2，如圖6所示，他解的這個方程組是（

）.