基于等效能量原理的延性材料J (δ)阻力曲線測試新方法研究

彭云強，蔡力勛，韋利明

(1. 中國工程物理研究院總體工程研究所，四川，綿陽 621999；2. 西南交通大學力學與工程學院應用力學與結構安全四川省重點實驗室，四川，成都 610031)

含裂紋結構的斷裂行為評估是結構完整性評價的關鍵、基礎任務，現有的結構完整性評價規范包括歐洲的SINTAP[1]、英國的R6[2]以及我國的GB/T 19624?2014[3]等，這些規范均將含裂紋結構的斷裂行為評價列為重要評估內容。經過近50 年發展，現已有載荷分離法[4]、卸載柔度法[5]、分離參數Spb法[6]和電位法[7]等多種試驗方法可用于獲取延性材料的J阻力曲線，然而銳裂紋啟裂與擴展時這些方法獲取的試樣實時裂紋長度存在不同程度的估算精度問題[8?9]。此外，為確定試樣裂尖的J積分，傳統測試方法必須精確求解塑性因子ηp。然而，ηp的精確求解十分困難，大家通常把其簡化為只與裂紋長度相關的近似參量[10]。但Cravero 等[11]和Huang 等[12]的有限元分析結果均表明，ηp不僅與試樣的裂紋長度有關，還與試樣的加載載荷和材料的硬化指數有關。Kumar 等[13]根據Shih[14]的研究成果編制了一本彈塑性斷裂力學手冊，并提出了一種獲取延性材料J阻力曲線的EPRI(Electric power research institute)工程估算方法，但該方法只能通過查表獲取有限的離散數據結果，且必須制作裂紋推力圖，過程繁瑣，不便于實際應用。Bao 等[15]基于載荷分離原理提出了一種確定裂紋試樣實時裂紋長度的載荷分離相關的直接參數標定(Load separation-based direct calibration，LSDC)方法，進而借助傳統方法確定了延性材料的J阻力曲線。然而LSDC 方法中的表達式較為復雜，且所確定的公式系數只適用于特定材料，不具有普適性。隨后，Peng 等[8]基于等效能量原理[16?17]提出了一種新的半解析法，借助該方法成功獲取了緊湊拉伸(Compact tension，CT)試樣和C 型內缺口拉伸(C-shaped inside edgenotched tension，CIET)試樣的J阻力曲線。除J阻力曲線外，學者們[18]也常用裂尖張開位移(Crack tip opening displacement，CTOD, δ)阻力曲線來描述延性材料或者焊接材料等的斷裂行為，獲取CTOD阻力曲線的關鍵仍在于準確獲取銳裂紋試樣的實時裂紋長度。

本文借助半解析法成功獲取了多種I 型裂紋試樣的常溫J阻力曲線，以及C 型外缺口壓縮(C-shaped outside edge-notched compression，COEC)小試樣的高溫J阻力曲線；基于半解析公式確定的銳裂紋試樣的實時裂紋長度，文中也提出了一種獲取延性材料CTOD 阻力曲線的測試新方法。

1 半解析法簡介

在彈塑性斷裂力學中，Ramberg-Osgood 本構模型是最為常用的材料應力-應變關系描述模型：

式中：σ 和ε 分別為材料的真應力和真應變；E為彈性模量；K和N分別為材料的強度系數和硬化指數。

基于等效能量原理[16?17]，I 型裂紋試樣的載荷-位移(P-Δ)和J積分-載荷(J-P)關系可表為[12]：

式中：W為試樣的寬度；a為裂紋長度；m為與a相關的有效體積折減參數；k1～k5為半解析公式的相關系數，其可通過簡單的有限元分析(Finite element analysis，FEA)確定[8]。

通過對比銳裂紋試樣和“鈍”裂紋試樣(只發生鈍化而不發生擴展時的銳裂紋試樣簡稱為“鈍”裂紋試樣)的P-Δ曲線，銳裂紋試樣在任意加載點的實時裂紋長度和J積分值可依據式(2)計算獲得，然而這種方式獲取的J積分未考慮試樣的裂紋擴展效應。因為J積分可通過應變能求導獲得，借助圖1 所示方式來考慮裂紋擴展效應修正，圖中i和i+1 表示試樣加載過程中的第i和i+1 加載子步，假設已知P(i)點的真實J積分JPiT，為求解P(i+1)點的真實J積分JPi+1T，需獲得P(i)、P(i+1)與P(i,i+1)3 點所圍面積對應的J積分δJ，以及P(i+1)、P(i,i+1)、Δi與Δi+14 點所圍面積對應的J積分，其可通過P(i+1)和P(i,i+1)兩點不考慮裂紋擴展的J積分JPi+1和JPi,i+1相減獲得。當增量步足夠小時，P(i)、P(i+1)和P(i,i+1)3 點所圍面積對應的J積分δJ為高階無窮小量可以忽略，因此，P(i+1)點的真實J積分JPi+1T可表為[8]：

借助式(4)可獲取銳裂紋試樣任意點考慮裂紋擴展影響的J積分，由于銳裂紋試樣任意加載點的實時裂紋長度已通過式(2)中的P-Δ關系直接計算獲得，兩者結合即可獲取試樣真實的J阻力曲線，該方法命名為半解析法。

圖1 考慮試樣裂紋擴展修正示意圖Fig.1 Schematic diagram of corrected J integral considering crack growth

2 半解析法獲取裂紋試樣J 阻力曲線

2.1 半解析公式系數確定及有效性驗證

為確定半解析公式系數，采用ANSYS 14.5 軟件對圓形緊湊拉伸(Round compact tension，RCT)、單邊裂紋拉伸(Single edge-notched tension，SET)、單邊裂紋彎曲(Single edge-notched bending，SEB)、中心裂紋拉伸(Center cracked tension，CCT)、CT、CIET 和COEC 7 種I 型裂紋試樣開展了三維FEA，相關分析條件示于表1。表2 也給出了基于加載線位移通過少量FEA 確定的半解析公式系數[8]，此外，表中針對CIET 和SEB 試樣的“Pcmod”標識表示基于試樣裂紋嘴張開位移的P-Δ關系標定的公式系數。圖2 和圖3 分別給出了RCT 和SET 兩種試樣三維FEA 獲取的P-Δ 曲線與J-P 曲線和半解析公式預測結果，對比可知，兩者吻合良好，表明本文提出的公式具有較好的描述性。

表1 7 種I 型裂紋試樣三維FEA 條件Table 1 The conditions of three dimensional FEA for different cracked components

表2 三維FEA 確定半解析公式系數Table 2 Determination of the equation coefficients by three dimensional FEA

圖2 FEA 和半解析公式預測P-Δ 曲線Fig.2 The P-Δ curves obtained by predictions and simulations

2.2 I 型裂紋試樣J 阻力曲線獲取

圖3 FEA 和半解析公式預測J-P 曲線Fig.3 The J-P curves obtained by predictions and simulations

采用26NiCrMoV11-5、Cr2Ni2MoV、A508-III和P92 4 種材料分別開展單軸拉伸試驗和斷裂韌性試驗，表3 列出了單軸拉伸試驗獲取的力學性能參數，圖4 給出了相應的應力-應變關系曲線。以CT試樣為例，圖5 和圖6 分別展示了26NiCrMoV11-5和Cr2Ni2MoV 兩種材料公式預測裂紋長度為a0的“鈍”裂紋試樣P-Δ曲線和銳裂紋試樣的試驗曲線，對比可知，兩者在分離點之前都吻合較好。相應地，圖7 和圖8 分別給出了半解析法獲取的J阻力曲線，可以看到，該方法獲取的J阻力曲線穩定性較好，且該方法獲得的材料J阻力曲線在每一點都有明確的物理意義。類似地，圖9～圖11 給出了半解析法獲取的其它3 種構型試樣的J阻力曲線，同樣獲得了較好的結果。此外，圖12和圖13 分別給出了P92 管道鋼CT 試樣試驗獲得的P-Δ曲線和半解析法預測的J阻力曲線，可以看到，由于試樣的裂尖約束程度過高，導致試樣P-Δ曲線在剛進入塑性階段即發生了脆斷，由于試樣裂紋擴展量太小，采用傳統的試驗方法難以準確獲取材料的J阻力曲線，而采用本文所述新方法卻可很容易得到。表4 列出了上述試樣公式預測的初始與最終裂紋長度和通過試樣斷裂面實測的裂紋長度，以及通過試樣分離點確定的臨界JC，結果表明，公式預測的裂紋長度與試驗結果吻合良好，最大誤差小于0.3 mm。

表3 4 種材料的單軸拉伸力學性能Table 3 Tensile properties of the four materials

圖4 單軸拉伸試驗確定的真應力-應變曲線Fig.4 The true stress-strain curves determined by uniaxial tension

圖5 26NiCrMoV11-5 公式預測和試驗獲取P-Δ 曲線Fig.5 The P-Δ curves obtained by formula predictions and experiments for 26NiCrMoV11-5

圖6 Cr2Ni2MoV 公式預測和試驗獲取P-Δ 曲線Fig.6 The P-Δ curves obtained by formula predictions and experiments for Cr2Ni2MoV

圖7 半解析法獲取26NiCrMoV11-5 CT 試樣J 阻力曲線Fig.7 The J resistance curves of CT specimens obtained by semi-analytical method for 26NiCrMoV11-5

圖8 半解析法獲取Cr2Ni2MoV CT 試樣J 阻力曲線Fig.8 The J resistance curves of CT specimens obtained by semi-analytical method for Cr2Ni2MoV

圖9 半解析法獲取P92 SEB 試樣J 阻力曲線Fig.9 The J resistance curves of SEB specimens obtained by semi-analytical method for P92

圖10 半解析法獲取A508-III CIET 試樣J 阻力曲線Fig.10 The J resistance curves of CIET specimens obtained by semi-analytical method for A508-III

圖11 半解析法獲取P92 COEC 試樣J 阻力曲線Fig.11 The J resistance curves of COEC specimens obtained by semi-analytical method for P92

圖12 P92 CT 試樣試驗獲取P-Δ 曲線Fig.12 The P-Δ curves of CT specimens for P92 obtained by experiments

圖13 半解析法獲取P92 CT 試樣J 阻力曲線Fig.13 The J resistance curves of CT specimens determined by semi-analytical method for P92

2.3 半解析法拓展研究

2.3.1 半解析法獲取等比例變化試樣J阻力曲線

上述FEA 確定的I 型裂紋試樣半解析公式系數都是在特定的W和B，a/W介于0.5～0.8 標定的，為拓展半解析法的應用范圍，需對等比例變化試樣開展研究。以CT 和SEB 試樣為例，圖14(a)和圖15(a)分別給出了W=50 mm、B=25 mm 的CT試樣標定的公式系數(見表2)預測W=25 mm、B=12.5 mm 半尺寸CT 試樣的P-Δ曲線與J-P曲線和有限元直接提取結果，圖14(b)和圖15(b)分別給出了W=20 mm、B=10 mm 的SEB 試樣標定的公式系數(見表2)預測W=40 mm、B=20 mm 放大一倍尺寸試樣的P-Δ曲線與J-P曲線和有限元直接提取結果，對比可知，公式預測曲線與有限元提取結果密切吻合，表明通過固定W和B標定的公式系數同樣可預測等比例放大或縮小試樣的P-Δ曲線與J-P曲線，進而可用于獲取該尺寸銳裂紋試樣的J阻力曲線。

2.3.2 半解析法獲取COEC 小試樣的高溫J阻力曲線

在實際工程中，延性金屬材料廣泛服役于高溫環境，然而高溫條件下傳統大尺寸試樣的實時裂紋長度和P-Δ曲線精確測量都較為困難，因此也難以準確獲取試樣的高溫J阻力曲線。由于本文提出的半解析公式可以很方便的確定銳裂紋試樣高溫下的實時裂紋長度，借助COEC 小試樣則可很方便的開展高溫斷裂韌性試驗。圖16 展示了COEC 小試樣的高溫試驗照片，圖17 給出了A508-III 鋼300 ℃下通過單軸拉伸試驗獲取的應力-應變曲線，其彈性模量E為183 GPa，K和N分別為1204 MPa 和3.61。圖18 為A508-III 鋼COEC 小

試樣在300 ℃的P-Δ試驗曲線，圖19 為半解析法預測的A508-III 鋼J阻力曲線。從圖中可知，半解析法獲取的高溫J阻力曲線穩定性同樣較好。表5 列出了公式預測的試樣初始與最終裂紋長度和試樣的臨界韌性JC。

表4 試驗測量與公式預測裂紋長度和臨界韌性JCTable 4 The crack lengths obtained by measurements and predictions and critical toughness JC

圖14 公式預測和有限元提取等比例變化試樣的P-Δ 曲線Fig.14 The P-Δ curves of proportional specimens obtained by formula predictions and FEA

圖15 公式預測和有限元提取等比例變化試樣的J-P 曲線Fig.15 The J-P curves of proportional specimens obtained by formula predictions and FEA

圖16 COEC 小試樣高溫斷裂試驗照片Fig.16 The experimental picture of small COEC specimen at high temperature

圖17 A508-III 鋼300 ℃的應力-應變曲線Fig.17 The stress-strain curve of A508-III obtained by uniaxial tensile at 300 ℃

圖18 COEC 小試樣300 ℃的P-Δ 試驗曲線Fig.18 The P-Δ curves of small COEC specimens at 300 ℃

圖19 半解析法獲取COEC 小試樣高溫J 阻力曲線Fig.19 The J resistance curves of COEC specimens at 300 ℃determined by the semi-analytical method

表5 COEC 小試樣高溫下的裂紋長度和臨界JCTable 5 The crack lengths and critical JC of small COEC specimens at 300 ℃

3 延性材料CTOD 阻力曲線獲取

1963 年，Wells[19]首次提出了用CTOD 來描述彈塑性小范圍屈服條件下的裂尖變形行為，當試樣裂尖前端的張開位移達到臨界δc時，裂紋開始發生擴展，由此可見，CTOD 同樣可用于表征材料的斷裂韌性。Hollstein 和Blauel[20]提出了塑性鉸模型用以確定試樣的CTOD，其認為在試樣的剩余韌帶上始終存在一個轉動中心，在整個加載過程中試樣圍繞轉動中心發生剛體轉動，相應的轉動方程可表示為：

式中：δe和δp分別為試樣裂尖張開位移的彈性分量和塑性分量；Je為彈性J積分；Z為試樣刀口測量點到裂紋前沿之間的距離；Δp為塑性加載位移；rp為塑性轉動因子。對于深裂紋SEB 試樣，rp近似等于0.44；對于深裂紋CT 試樣，rp近似等于0.46，該方法被BS7448-1991[21]和E1290-08[22]等斷裂韌性標準所采納。此外，Wang 等[23]通過試驗和有限元相結合的方式觀察到試樣的δ 和J成線性關系，即：

式中：σY為流動應力，且σY=σy+σb；m為試樣的約束影響因子， 其可表示為[10]：

結合式(5)～式(9)以及半解析公式確定的銳裂紋試樣實時裂紋長度，可以獲取CT 和SEB 試樣的CTOD 阻力曲線。圖20 和圖21 分別展示了26NiCrMoV11-5 和Cr2Ni2MoV 鋼CT 試樣利用式(5)和式(6)兩種方式獲取的δ-Δa阻力曲線，圖22展示了P92 管道鋼SEB 試樣利用兩種方式確定的δ-Δa阻力曲線。由于式(5)是通過確定試樣的轉動中心，然后借助幾何關系來獲取試樣的δ，而式(6)主要是通過FEA 標定直接建立δ 和J積分之間的關系，兩種不同途徑獲取的δ-Δa阻力曲線導致所得結果存在一定的差異性，由圖可知，式(6)所得結果均低于式(5)結果，式(6)所得結果更偏于安全。

圖20 26NiCrMoV11-5 CT 試樣獲取的δ-Δa 阻力曲線Fig.20 The δ-Δa resistance curves of CT specimens for 26NiCrMoV11-5

圖21 Cr2Ni2MoV CT試樣獲取的δ-Δa阻力曲線Fig.21 Theδ-Δa resistance curvesof CT specimens for Cr2Ni2MoV

圖22 P92 SEB試樣獲取的δ-Δa阻力曲線Fig.22 The δ-Δa resistance curves of SEB specimens for P92

4 結論

采用三維FEA 標定了7種I型裂紋試樣的彈塑性P-Δ關系和J-P關系的半解析公式系數，并開展了有效性驗證，結果表明：

(1)公式預測P-Δ曲線與J-P曲線和有限元結果密切吻合；

(2)借助半解析法成功實現了多種I型裂紋試樣的J阻力曲線測試，利用該方法亦可實現COEC小試樣的高溫J阻力曲線測試；

(3)對等比例變化I 型裂紋試樣開展三維FEA，結果表明，在固定W和B下標定的公式系數同樣可用于等比例變化試樣的P-Δ關系和J-P關系預測，進而可直接獲取相應尺寸銳裂紋試樣的J阻力曲線。

(4)借助半解析公式獲取的銳裂紋試樣實時裂紋長度和傳統CTOD計算公式，亦成功獲取了CT 和SEB試樣的CTOD阻力曲線。