高中教師資格考試中概率統(tǒng)計問題分析與思考

程曉亮 付澤

摘 要：本文根據(jù)全國教師資格考試筆試大綱，以國家教師資格考試高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力科目試題中概率統(tǒng)計問題為研究對象，通過統(tǒng)計分析所考查題型的分值、數(shù)量以及知識點對題目進(jìn)行解題分類，在此基礎(chǔ)上對國家教師資格考試命題方向進(jìn)行研究和分析，以供參考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教師資格考試;概率統(tǒng)計;分析與思考

中圖分類號：O21 ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：1673-260X（2020）08-0004-05

1 引言

目前，全國除內(nèi)蒙古、新疆、西藏等少數(shù)地區(qū)師范生以外，其余地區(qū)對所有教師資格申請者實施統(tǒng)一的考試，全面考查綜合素質(zhì)、教育知識與能力和學(xué)科知識與教學(xué)能力[1-2].普通高中數(shù)學(xué)教師資格考試筆試需要考以上三個科目，三科均合格才可以參加面試.根據(jù)全國教師資格考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力（高級中學(xué)）》筆試大綱可知，該科目的考查包括學(xué)科知識、課程知識、教學(xué)知識以及教學(xué)技能四個部分.其中學(xué)科知識主要考查大學(xué)階段所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何以及概率統(tǒng)計等課程的內(nèi)容.本文主要通過對2014-2019年共12套高級中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力試題中的概率統(tǒng)計部分考題進(jìn)行統(tǒng)計和分析.

2 概率統(tǒng)計題目的統(tǒng)計與分析

2.1 試卷整體情況的分析

教師資格考試中數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力科目的題型與題目數(shù)量基本穩(wěn)定，主要分為數(shù)學(xué)學(xué)科知識、數(shù)學(xué)教育理論、數(shù)學(xué)教學(xué)實踐3大模塊[3].試卷總分150分，試題總數(shù)為17道，分布在六種題型中.其中，第1至8題為單項選擇題，每題5分，共40分;第9至13題為簡答題，每題7分，共35分;第14題為解答題，10分;第15題為論述題，15分;第16題為案例分析題，20分;第17題為教學(xué)設(shè)計題，30分.數(shù)學(xué)學(xué)科知識分布在選擇題第1至6題，簡答題9至11題以及第14題解答題，題目總分?jǐn)?shù)占比約為41%;數(shù)學(xué)教育理論分布在選擇題中的第7至8題，簡答題中的12至13題以及第15題論述題，題目總分?jǐn)?shù)占比約為26%;數(shù)學(xué)教育實踐分布在第16題案例分析題和第17題教學(xué)設(shè)計題，題目總分?jǐn)?shù)占比約為33%.

2.2 概率統(tǒng)計試題題型、總分值的統(tǒng)計與分析

在12套試題中，概率統(tǒng)計考查的題型與總分值的統(tǒng)計見下圖1.由圖1可知，概率統(tǒng)計以選擇題的形式共考查25分、以簡答題的形式共考查77分、以解答題的形式共考查10分，從中可以看出以簡答題的形式考查的分值最高，占總分值的69%.概率統(tǒng)計考查的知識點包括：隨機事件與概率、獨立事件、總體與樣本、隨機變量以及統(tǒng)計.選擇題方面：隨機事件與概率和隨機變量均考查10分、總體與樣本共考查5分;簡答題方面：隨機事件與概率共考查35分、隨機變量共考查21分、獨立事件共考查14分、統(tǒng)計共考查7分;解答題方面：隨機變量共考查10分.從整體來看，隨機事件與概率考查的分值最高，共45分;其次是對隨機變量的考查，共41分.

2.3 概率統(tǒng)計試題題型考查數(shù)量的分析

對12套試題中各題型考查數(shù)量的統(tǒng)計見圖2.其中以選擇題的形式考查呈現(xiàn)出一定的波動，在2014上半年-2016上半年僅考查1道題、在2016下半年-2018上半年連續(xù)考查4道題，共考查5道題，考查考生對基本定義的理解以及基本的概率計算;以簡答題的形式考查幾乎趨于一種平穩(wěn)的狀態(tài)，除了2018年沒有考查，2019上半年考查2道題以外，其余年份每年都會考查1道題，主要是對考生的邏輯推理能力、獨立思考能力以及運算求解能力的考查;解答題僅在2018下半年考查1道題，主要是對考生的理解能力和綜合運用能力進(jìn)行考查.

2.4 概率統(tǒng)計考查知識點的分析

通過上述統(tǒng)計分析可知知識點隨機事件與概率和隨機變量所考查的分值最高.其中對于隨機事件與概率，主要考查了以下幾個問題：幾何概型、排列組合、對條件概率定義的理解以及概率計算.幾何概型滿足概率的公理化定義，其關(guān)鍵在于對樣本空間和所求事件用圖形描述清楚（一般用平面或空間圖形），然后計算出相關(guān)圖形的度量（一般為面積或體積）;排列組合是計算“從n個元素中任取r個元素”，其關(guān)鍵在于是否講究所取元素的次序，有次序則用排列公式，無次序則用組合公式;對條件概率定義的理解，重點要掌握的是一定是在某事件B發(fā)生的條件下，求另一事件A的概率;對于概率計算來說在解題過程中需明確的是該題目是古典概型還是幾何概型，是分步的還是分類的，以此找到正確的方法進(jìn)行解題.

對于隨機變量，主要考查了以下幾個問題：離散型隨機變量的期望和方差、二項分布和正態(tài)分布.掌握離散型隨機變量的期望和方差意義，準(zhǔn)確的應(yīng)用公式，利用其性質(zhì)進(jìn)行解題;二項分布是獨立重復(fù)試驗的一個概率模型，在進(jìn)行解題的過程中，除了要注意事件發(fā)生的獨立性外，還要注意隨機變量是否為這n次獨立重復(fù)實驗中某事件發(fā)生的次數(shù);正態(tài)分布考查的是隨機變量服從正態(tài)分布的性質(zhì)，如果X～N（u，？滓2），那么aX+b～N（a？滋+b，（a？滓）2）.通過分析12套試題可以了解到在教師資格考試中，考查對基本定義、定理的理解以及基本的概率計算較多，所以在今后的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該加強對教材中定義、定理的理解和推導(dǎo)，學(xué)會利用性質(zhì)進(jìn)行解題，熟練地進(jìn)行計算，并能夠利用這些知識去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題.

3 概率統(tǒng)計試題的解題分類

本文以茆詩松，程依明，濮曉龍編著的教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》（第二版）為例.通過對12套試題的統(tǒng)計分析和對概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)試卷中所考查的題目可以分為以下3種：對公式與法則的考查、對定義和性質(zhì)的考查以及對實際應(yīng)用的考查，見下圖3.

3.1 對公式與法則的考查

在考查的17道試題中，對公式與法則的考查共11道試題，其中有8道試題是考查概率計算，余下3道試題分別是對離散型隨機變量的方差、正態(tài)分布和二項分布的考查，主要是考查考生對重要的公式法則等知識的掌握情況.其中有一部分試題是來源于教材中的例題與習(xí)題的演變.

例2 （2014下·第10題）袋子中有70個紅球，30個黑球，從袋子中連續(xù)摸球兩次，每次摸一個球，且第一次摸出的球，不放回袋中：（1）求兩次摸球均為紅球的概率（這里僅以第（1）問為例）.

評析 本題考查的是組合，來源于教材課后習(xí)題1.2第8題的演變.原題考查的是：口袋中有7個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率.利用組合公式進(jìn)行解題時需要注意的是取出的元素不考慮其先后的次序.

例3 （2019下·第11題）一個袋子里有8個黑球，8個白球，隨機不放回連續(xù)取球5次，每次取出1個球，求最多取到3個白球的概率.

評析 本題考查的是組合，來源于教材課后習(xí)題1.3第6題的演變.原題考查的是：某工廠一個班組共有男工9人，女工5人，現(xiàn)要選出3個代表，問選出的3個代表中至少有1個女工的概率是多少？本題考查到了對立事件，即當(dāng)題目中出現(xiàn)至多、至少等字樣的時候我們可以考慮從事件發(fā)生的對立面進(jìn)行求解.

通過上述例題可以看出，掌握教材中的例題與習(xí)題，不僅能使備考復(fù)習(xí)具有針對性，同時也能夠提高備考復(fù)習(xí)的有效性.

除了上述3道例題，其余的試題均是自命題.

例4 （2017下·第10題）據(jù)統(tǒng)計，在參加某類職業(yè)資格考試的考生中，有60%是本專業(yè)考生，有40%是非本專業(yè)考生，其中本專業(yè)考生的通過率是85%，非本專業(yè)的考生通過率是50%.某位考生通過了考試，求該考生是本專業(yè)考生的概率.

例5 （2018上·第5題）邊長為4的正方體木塊，各面均涂成紅色，將其鋸成64個邊長為1的小正方體，并將它們攪勻混在一起，隨機取出一個小正方體，恰有兩面為紅色的概率是多少？

評析 這3道試題考查的均是概率計算，其關(guān)鍵在于所考慮的事件是需要分步完成還是分類完成，若所考慮的事件需要經(jīng)過k步完成，則用乘法原理;若所考慮的事件需要經(jīng)過k類不同途徑之一去完成，則用加法原理.求事件發(fā)生的概率還包括排列、重復(fù)排列、組合等.

例7 （2015下·第11題）某飛行表演大隊由甲、乙兩隊組成.甲隊中恰好有噴紅色與綠色噴霧的飛機各3架.乙隊中僅有3架噴紅色煙霧的飛機.在一次飛行表演中，需要從甲隊中任意選出3架飛機與乙隊飛機混合編隊進(jìn)行表演，并任意確定一架飛機作為領(lǐng)飛飛機，求領(lǐng)飛飛機是噴綠色煙霧的概率.

評析 本題考查的是排列組合，這是概率統(tǒng)計的重點內(nèi)容，即計算“從n個元素中任取r個元素”的取法，其解題關(guān)鍵在于區(qū)別取出元素之間是否有順序，若所求事件考慮取出元素之間的次序，則用排列公式;若所求事件不考慮取出元素之間的次序，則用組合公式.

例9 （2016下·第11題）王強是一位快遞員，他負(fù)責(zé)由A地到B地的送貨任務(wù)，送貨方式為開汽車或騎電動車.他分別記錄了開汽車和騎電動車各100次所用的送貨時間，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到如下結(jié)果：

開汽車：平均用時24分鐘，方差為36;

騎電動車：平均用時34分鐘，方差為4.

（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你會建議王強選擇哪種送貨方式？請說明理由;

（2）分別用X，Y表示開汽車和騎電動車所用的時間，給出X和Y的分布密度曲線（假設(shè)這些曲線具有軸對稱性）.為達(dá)到準(zhǔn)時送達(dá)的目的，如果某次送貨有38分鐘可用，應(yīng)該選擇哪種送貨方式？如果某次送貨有34分鐘可用，應(yīng)該選擇哪種送貨方式？請說明理由.

例10 （2017上·第11題）有甲、乙兩種品牌的某種飲料，其顏色、氣味及味道都極為相似，將飲料放在外觀相同的6個杯子中，每種品牌各3杯，作為試驗樣品.

（1）從6杯樣品飲料中隨機選取3杯作為一次實驗，若所選飲料全部為甲種品牌，視為成功.獨立進(jìn)行5次試驗，求3次成功的概率;

（2）某人聲稱他通過品嘗飲料能夠區(qū)分這兩種品牌.現(xiàn)請他品嘗試驗樣品中的6杯飲料進(jìn)行品牌區(qū)分，作為一次試驗，若區(qū)分完全正確，視為試驗成功.他經(jīng)過5次試驗，有3次成功，可否由此推斷此人具有品嘗區(qū)分能力？說明理由.

例11 （2017下·第6題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（u，？滓2），設(shè)隨機變量Y=2X-3，則Y服從的分布是什么？

上述4道例題均是對公式與法則的考查，考查考生的運算能力.其關(guān)鍵在于理解各基本量所表達(dá)的含義，認(rèn)真參考教材，了解其推理和證明的過程，熟練地運用公式.

3.2 對定義和性質(zhì)的考查

在考查的17道試題中，對定義和性質(zhì)的考查共5道試題，分別對條件概率的定義、事件的相互獨立性、均勻分布的性質(zhì)、樣本的隨機性以及中位數(shù)和極差的性質(zhì)的考查.通過試題考查考生對基本概念的理解和掌握的情況.

例12 （2017上·第5題）設(shè)A和B為任意兩個事件，且A？奐B，P（B）>0，則下列選項中正確的是（ ?）.

A.P（B）

C.P（B）>P（A|B） D.P（B）≥P（A|B）

例13 （2016上·第11題）在體育活動中，甲乙兩人擲一枚六面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的骰子.如果結(jié)果為奇數(shù)，則甲跑一圈;若結(jié)果為1或2，則乙跑一圈，請回答甲跑一圈和乙跑一圈這兩個事件是否獨立，并說明理由.

評析 本題考查的是事件的相互獨立性.解題關(guān)鍵在于理解并掌握獨立事件的含義，通過概率之間的關(guān)系判斷該事件是否為獨立事件.

例14 （2018下·第14題）設(shè)隨機變量？灼服從[0，1]上的均勻分布，即P|？灼∈（-∞，x）|= 0，x<0x，0≤x≤1 1，x>1，求P{？灼2∈（-∞，x）}.

評析 本題考查的是均勻分布.掌握均勻分布的分布函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

例15 （2015下·第3題）為研究7至10歲少年兒童的身高情況，甲、乙兩名研究人員分別隨機抽取了某城市的100名和1000名兩組調(diào)查樣本，若甲、乙抽取的兩組樣本平均身高分別記為？琢、？茁（單位：cm），則？琢、？茁的大小關(guān)系為（ ?）.

A.？琢>？茁 B.？琢<？茁 C.？琢=？茁 D.不能確定

評析 本題是對樣本具有隨機性的性質(zhì)考查，即總體中的每一個個體都有同等機會被選入樣本，因此樣本中的數(shù)據(jù)是隨機的.

例16 （2019上·第9題）一次實踐活動，某班甲、乙兩個小組各20名同學(xué)在綜合實踐基地脫玉米粒，一天內(nèi)每人完成脫粒數(shù)量（千克）的數(shù)據(jù)如下：

甲組：57，59，63，63，64，71，71，71，72，75，75，78，79， 82，83，83，85，86，86，89

乙組：50，53，57，62，62，63，65，65，67，68，69，73，76， 77，78，85，85，88，94，96

問題：（1）分別計算甲、乙兩組同學(xué)脫粒產(chǎn)量（千克）的中位數(shù);（2）比照甲、乙兩組數(shù)據(jù)，請你給出2種信息，并說明實際意義.

評析 本題考查的是中位數(shù)和極差的性質(zhì).中位數(shù)表示數(shù)據(jù)出現(xiàn)的平均位置，是一組數(shù)據(jù)或樣本的一般特征，極差則表示數(shù)據(jù)的波動范圍和穩(wěn)定程度.

通過對定義和性質(zhì)的考查，考查考生的邏輯推理能力，同時也說明在進(jìn)行概率統(tǒng)計學(xué)習(xí)的過程中，只是單純的學(xué)會背公式不再可行，需要掌握相關(guān)知識點的定義和性質(zhì)，明確解題方向，形成解題策略.

3.3 對實際應(yīng)用的考查

在考查的17道試題中，實際應(yīng)用以簡答題的形式共考查1道題，是對統(tǒng)計步驟的考查，考查考生如何利用所學(xué)知識去解決實際問題的綜合運用能力.

例17 （2019上·第12題）用統(tǒng)計方法解決實際問題的過程主要包括哪些步驟？

評析 該題目考查的是考生如何應(yīng)用統(tǒng)計去分析和解決實際問題的能力.

通過對實際應(yīng)用的考查可以看出教師資格考試要求考生對概率統(tǒng)計中的相關(guān)知識點有一個整體的把握，綜合的運用所學(xué)的知識、思想和方法解決問題.同時從此試題中也可以看出將概率統(tǒng)計與實際應(yīng)用相聯(lián)系可能是今后的一個命題趨勢.

4 基于概率統(tǒng)計試題分析的思考

概率統(tǒng)計是數(shù)學(xué)教育專業(yè)開設(shè)的一門專業(yè)骨干課程.通過對12套試題中概率統(tǒng)計問題的統(tǒng)計與分析可以看出，在今后的教師資格考試命題方面可以進(jìn)一步的完善.

4.1 加強知識點考查的廣度

12套試題所考查的基礎(chǔ)知識點較多，在考查知識點上也有所偏重，考查較多的知識點包括：排列組合、概率計算、事件的相互獨立性、二項分布，且題目載體較為相似，缺乏對知識點廣度和貫通度的考查，部分命題逐漸模式化.因此在今后教師資格考試的命題中，應(yīng)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整一些知識點所占的比例，在一定程度上增加試題的新意，規(guī)避相似，以此來選拔更加專業(yè)化的高素質(zhì)人才，為將來從事基礎(chǔ)教育教學(xué)工作打下堅實基礎(chǔ).

4.2 加強知識點考查的深度

概率統(tǒng)計是一門通過演繹和歸納的方法研究隨機現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門學(xué)科.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)12套試題中，對概率計算的考查是重點，但是大多數(shù)題目過于基礎(chǔ)化、簡單化，缺乏對知識點深度的考查.無論是從研究的角度還是選拔教師的角度來看，都應(yīng)該增加考查難度，嚴(yán)格教師準(zhǔn)入，提升教師的專業(yè)性和權(quán)威性.在側(cè)重考查知識點的同時，也要注重對考生分析和解決問題能力的考查，以此選拔出具有專業(yè)素養(yǎng)的教師，加強教師隊伍的建設(shè).

4.3 加強高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系

在教師資格考試的概率統(tǒng)計模塊，既考查了概率統(tǒng)計的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，同時也對中學(xué)數(shù)學(xué)知識有所考查，立足于要求考生以高起點面對中學(xué)數(shù)學(xué)，從側(cè)面反映了國家對教師專業(yè)化的學(xué)科知識方面的要求.但是，縱觀2014-2019年的試題，對高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和中學(xué)數(shù)學(xué)的考查相對獨立，很少將概率統(tǒng)計的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與中學(xué)數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，不利于考生在今后的教學(xué)工作中運用高等數(shù)學(xué)的思想來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué).因此，在今后教師資格考試命題中要加強二者之間的聯(lián)系，逐步增加對高中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容知識的考查，以便于師范生掌握中學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識體系，快速適應(yīng)中學(xué)教學(xué)，只有不斷地改進(jìn)和完善教師資格考試，才能不斷地向教師專業(yè)化的方向發(fā)展.

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