國際高中數學融合課程的教學模式探索與實踐

張靖

一.融合課程教學的現代背景

近十幾年來，隨著改革開放的日益深化，我國的教育、經濟、科技等多方面都取得了突飛猛進的進展，在實現教育大國崛起的基礎上開始向教育強國邁進。除了加強本國的基礎教育和科學研究，在全球化背景下，教育資源在全世界范圍內進行著廣泛的流動與重新配置，教育“走出去”與“引進來”相結合，我國的教育國際競爭力不斷增強。截止到2018年底，全國共有國際學校1309所，平均每所學校在校生人數達392人。2012-2019年以來每年全國新增國際學校超過40所。同時，預測國際學校在未來十年內將繼續保持強勁增長，預計到2028年全球國際學?？倲祵⒊^16000所，在校生將接近1000萬人，分別較2018年同比增長67%和96%。

開展雙語教學實踐或者引入國外課程本土化教學是很多國際學校課程建設的重點，系統的融合課程更加凸顯了學校的核心競爭力。近十年來，我校通過雙語教學實踐，逐漸探索出適合本校學生雙語教學的科學途徑，不僅在整體提升學生的英語水平及應用英語的基本能力上效果顯著，而且在數學學的過程中，注重學生主動地建構知識、應用知識，激發出學習的興趣和自信，也是培養學生數學核心素養的體現。我校設有獨特的國際選修課程，為學生搭建更多跨文化學習的平臺。我校初中雙語數學選修課程使用的是英國牛津出版社出版的IGCSE教材，高中英美雙語選修課程使用的是PearsonHall出版社出版的Algebra2，英美等國家的數學教材往往在內容上比國內的教材更具有趣味性和實際的生活意義，而且在編寫體例上側重于知識層面的普及，但不及國內的數學教材那么嚴謹和全面。而且非常有限的題庫遠遠滿足不了國內教師與學生的需求，也沒有系統的習題冊。于是我校教師在平時教學中，通常在國外教材的基礎上與國內必修教材進行整合，在教學教法上不斷探究，不僅重視基本知識與技能的培養，在結合我國學生強的“運算”、“推理”和“知識結合程度”能力上，注重培養樂于思考的興趣知識的應用能力。

二.融合課程教學的研究原則

1.前瞻性原則

為實現國家的科技創新，關鍵在于創新人才的培養。雙語教學的課堂是中國教育國際化發展的大趨勢，能夠體現國家加強數學等基礎學科的宏觀發展與教育改革的現實需要，同時符合相應教學改革的時代要求。數學雙語課堂的教學多以多媒體、圖形計算器等當代信息技術產物為依托，提高學習和生活效率，有利于呈現出嶄新的學習模式。

2.融合性原則

把國家數學教學大綱，特別是人教版的七本教材，與國外教材大綱平行比較，整合教材，精心設計教材內容。做到既保留國家課程的核心、主干和精髓，同時融合課程將對國外先進國家的教學內容、教學方法、解題方法、數學史料、數學文化、數學競賽中的優秀試題進行深度融合。

3.導向性原則

融合課程的最大特點是在夯實國家課程的同時，充分學習、借鑒國外優秀課程與教學實踐成果，對其它跨學科的課程融合具有啟發和借鑒意義。課程設置時，教師需充分考慮到每一位學生的數學水平發展，安排不同層次的例題、練習，為學生創造個性化學習的機會，也讓一部分數學資優生能得到盡可能的發展，體現了教育個性化發展的理念。

4.目標性原則

學生學習融合課程并不一定是為了出國，目前我國越來越多的高校也同樣開設雙語課程。若學生在中學階段已經具備運用英語進行數學思維的鍛煉，以及獲取知識和信息傳遞的能力，可直接對接國內外高校，進一步提高綜合競爭力，未來在世界舞臺上做中國文化的傳播弘揚者。

三.數學融合課程具體教學案例

展示課一：浙教版九下《銳角三角函數》Trigonometric functions of acute angles

1.開課背景

銳角三角函數是義務教育數學課程標準中“圖形與幾何”領域的重要內容，是在學生已學了一次函數和反比例函數基礎上進行的，它反映的是角度與數值之間的對應關系。這部分內容包括銳角三角函數的概念，以及利用銳角三角函數解直角三角形的內容?！墩n程標準中》提到能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際的問題，注重引導學生在全面掌握直角三角形邊角關系。感悟模型思想，感受數學的價值。

2.教學設計

（1）問題引入，設置情境

教師提問：這些圖片有什么共同點？你們是用什么方法怎么描述不同的斜面的？

What do these pictures have in common？ What do you use to describe a slope？

學生回答：學生有的說是角度不同，陡峭程度不同;也有的說是按斜面的長度不同來區分，也有的學生提出來用邊與邊的比值。

設置目的：首先通過一些具體斜坡的圖片，由老師來提出一系列問題。學生自發討論，引出斜面問題的研究。讓學生來提出各種描述斜面的方法，于是有了這節課將要探討的主要內容。

（2）課堂活動，全體參與

活動1：請作出一個Rt△ABC ， 。量出每條邊的長度，完成下列表格后小組討論。

Draw a Rt△ABC ， .Measure each side of the triangle and complete the table， round your answers to the nearest tenth （1 decimal place）.

學生總結：各小組內成員比較數據，發現他們得到的直角三角形盡管邊長都不一樣，但是得到的比值卻都是相等的。

設置目的：注重小組合作，學生全體參與，由代表總結發言。最后由老師幫助歸納總結邊角關系，得到角度一定，比值不變的結論。

教師通過幾何畫板進一步演示，分別畫出學生在剛才課堂活動中可能得出的兩種直角三角形，幫助學生進一步從幾何直觀上感受角度改變，比值改變;角度不變，比值不變。而且無論學生畫的是哪一種直角三角形，都能得出相同的結論。從而得到銳角三角函數的概念，分別得到銳角三角函數正弦、余弦、正切的定義。

活動2：仍采取小組合作的形式，每小組給出任意的一個直角三角形和各種標簽，小組討論后把標簽貼到白板上，然后完成銳角三角函數的計算。Calculatethefollowingvaluesoftrigonometricfunctions.

學生們在白板上完成如下展示：

設置目的：各小組成員積極互動，相互配合完成一個直角三角形中兩個銳角的三角函數值的計算，落實基礎概念，從而達到人人會算的教學目的。

（3）回歸生活，知識應用

請同學們各抒己見，怎樣測量學校鐘樓的高度？

Think About a plan to measure the height of school bell tower？

學生回答：有學生提出可以通過影子的測量，只要選擇固定的角度，人的身高和影長的比例與鐘樓的高度和影長的比例是相等的;也有學生提出拍一張照片，通過比例尺來測量;也有學生提出其他運用比例的方法測量。

教師總結：同學們的想法都非常好，有的也運用到了我們今天所學的銳角三角函數的新知識，也有的是根據我們日常的生活經驗得出的方法。不管用哪種方法，可能大家都能發現數學與我們的生活息息相關。

設置目的：充分體現現行課標中提到的“綜合與實踐”的內容，學生自主綜合運用己有的知識與經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題。

（4）課后探究，知識外延

一根1m長的梯子AB斜靠在墻上，移動梯子通過測過BC的長度，討論夾角α的正弦值的范圍是多少？A 1 meter ladder AB leans against the wall， find out the range of sinα， cos α and tan α by doing a research.

設置目的：為之后的銳角三角函數的函數值的范圍學習作一些鋪墊，是銳角三角函數學習的內涵和外延。

3.教學與反思

從整堂課來看，很好的完成了教學目標，學生參與度非常高。與我國的常規數學課堂還是有所差別，沒有難題設置，課程亮點在于盡可能少的給學生提供知識層面的幫助，而在于激發學生對困難的自主應對，通過獨立思考、合作探討等途徑自行尋求答案。不僅達到中學教學的三維目標的要求，將基礎知識點充分落實，又不拘泥于做題;注重過程與方法，采取小組討論、合作學習的方式;在數學知識的基礎上強調學科的趣味性與價值，注重培養學生的數學核心素養。經過整節課的思維鍛煉和語言的運用，學生們在最后的知識運用環節像是用英文做了一場小型的學術報告，漂亮的語言將本節課的知識運用得非常出彩。

展示課二：模擬概率Simulation

1.開課背景

“統計與概率“是與“數與代數”“圖形與幾何”“綜合與實踐”并列的四部分內容之一。統計的核心是數據分析，數據是信息的載體，凡是能夠承載事物信息的東西都構成數據。1997年，IBM電腦深藍戰勝了世界象棋冠軍卡斯帕洛夫，不到20年的時間，2016年3月，AlfaGo成為第一個擊敗人類職業圍棋選手、第一個戰勝圍棋世界冠軍的人工智能機器人。機器在不斷將人類的智能拓寬到新的邊界，我們學生未來的面對的是人工智能大數據的時代，對數據分析管理會成為一種核心競爭力。圖形計算器作為一種手持技術己得到國際及國內數學教育界普遍的關注，并和計算機、網絡一起成為推動教育改革和教育信息化的主要力量。在美國及其他國家，計算器在數學等理科教學與考試中運用也十分普及。這堂課便是借助圖形計算器完成對概率實驗的模擬。

2.教學目標

（1）在概率定義的基礎上，通過具體試驗進一步解釋概率的含義，理解理論概率（theoretical probability）和試驗概率（experimental probability）的區別;

（2）應用圖形計算器設計不同事件的模擬（simulation）方法。

3.數學詞匯

theoretical probability理論概率 experimental probability

outcome 結果 ?equally likely outcome event等可能事件

mathematical modeling 數學建模

4.教學基本流程

5.教學設計

（1）創設情境，引出課題

教師提出三個問題：

①Have you or your family members bought lottery ticket？

你和家人有沒有買彩票的經歷？

②Did you win any money？

你們中過獎么？

③Will you buy again？

你們還會繼續買嗎？

設計意圖：提出問題后，引起學生的思考，引入概率的討論話題，進入今天課堂學習的概率內容。

教師進一步提問：Since the probability of number side and flower side in a coin flip are both 0.5， then two flips of a fair coin must be number and flower each once. If the probability of getting any side of a die is 1/6， then if you roll the same die six times， you're going to get each side once.

既然拋擲一枚硬幣出現正面的概率為 ，那么連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上;如果拋一枚骰子出現任何一面的概率是 ，那么連續投一個相同的骰子，一定是每面出現一次，你認為這種想法正確嗎？

設計意圖：通過認知沖突，正確理解兩種概率（國內是頻率與概率）。

（2）課堂活動，動手試驗

Project 1 ?Flip Coins

Toss a coin 4 times ， record the No. of times you get the flower upside.

Outcomes： Number and flower

連續四次拋擲一枚質地均勻的硬幣，記錄下得到花面朝上的次數，分組統計各組及全班同學的試驗。

設計意圖：教師引導學生動手做實驗，每個同學、每小組、全班分別計算試驗概率，得到試驗概率與理論概率進行比較。培養學生根據試驗經歷，提高總結歸納的能力，教師總結介紹大數定律。

（3）計算機模擬，替代試驗

Practice：Use simulation to find the following cases

Q1： Simulate flipping a fair coin once.

模擬投一次質地均勻的硬幣可能得到的結果。

Q2： Simulate flipping a fair coin for 10 times.

模擬投質地均勻的硬幣十次可能得到的結果。

Q3： Simulate rolling a die.

模擬搖一次骰子可能得到的結果。

Q4： There are 3 red， 1 white balls in a box， simulate getting one from it.

箱子里有三個紅球，一個白球，模擬摸出一個球可能得到的結果。

Q5： There are 6 red， 4 white balls in a box， simulate getting two from it.

箱子里有六個紅球，四個白球，模擬一次摸出兩個球可能得到的結果。

設計意圖：采用一些簡單的小練習，引導學生應用計算器模擬，掌握基本方法。初步建模，解決問題。

Project 2 ?Testing

On a multiple-choice test， each item has 4 choices， but only one choice is correct. How can you simulate guessing the answers？ What is the probability that you will pass the test by guessing at least 6 of 10 answers correctly？

一次數學考試中有10道選擇題，每題四個選項中正確的答案只有一個，怎么模擬至少能答對6道題的概率？

Enter RandInt（ ?， ?， ?） on a graphing calculator. Press Enter to get 10 outcomes. Define 1 as the correct answer.

On your way to work you must pass 3 widely separated traffic lights which operate independently of each other. The probability that you will be stopped at any one of them is 40%. Use simulation to find the probability that you make it work without stopping， stopping once， twice， at all three lights.

你每天上班會經過三個不同的設有紅綠燈的路口，每個路口會遇到紅燈的概率為40%，怎樣模擬得到三個路口都會停，兩個路口會停，一個路口會停及三個都不會停的概率？

設計意圖：之前學生已經練習過計算機的模擬后，進一步通過課題的形式引導學生自己設計模擬方法。其中課題2還給了一定的模擬提示，到了課題3涉及非等可能事件，逐步讓學生自主設計，培養思維能力，建立數學模型，然后模擬計算并與理論值相比較。

（4）概念延伸，總結本質

小結本節課的內容，介紹歷史上著名的布豐投針實驗，為下節課的求幾何概型做些準備。同時提及布朗運動中蘊含著概率的知識，揭示統計在科學世界的重要性。

6.教學與反思

對于高中的雙語數學學習，融入國外課程的意義與教學方法與初中又有不同。就模擬概率這一部分內容而言，國內課程要求學生了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率，而課堂實際教學中很難進行模擬的實驗。數學核心素養需要通過每一節課的有效學習來實現，本堂課通過手持技術實現了國內外教材的融合，讓學生真正體會到了什么是模擬，幫助學生更好的理解以及潛移默化地培養學生的數學應用能力。這一堂課也只是手持技術展示的一小部分，在平時的學習過程中學生一直在接觸圖形計算器。

四.結語

歷史讓英語成為世界性語言，研究世界本質的數學也是科學世界的通用語言。本文介紹了本校國際課程在教材的使用和教學教法上的具體做法，通過引入國外教材與國內教材結合相互取長補短，不僅用淺顯的語言導入新概念，通俗易懂，逐層深入，而且重視學科間的交叉，利用現實問題進行啟發教學。本校的雙語教學立足本國初高中教學，旨在讓學生打牢根基、學會積累、理解概念原理，培養嚴謹的數學邏輯思維。同時在思維的訓練過程中得到數學和英語的雙重經驗，雙重提升。與此同時，雙語教學的進一步目標是不斷擴大視野，把握全球中學數學教學研究的新動態，弘揚我國發揚我國優良的數學教學傳統，為我國從教育大國邁向教育強國，引領世界的學科教育做貢獻。

（作者單位：杭州英特外國語學校）