新教材下《數系的擴充》教學設計意圖說明

黃艷

教學設計的主要思路和意圖：

一、對復數部分作章節整體教學設計，將學法指導滲透在整體教學設計中;

二、引導學生經歷數系擴充的發生、發展和應用的全過程;

通過對數系擴充的再探究、再發現和再創造，讓學生感悟：

（1）為什么要建立相關數學知識？（為什么要引入復數？）

（2）數學知識是怎樣建立的？（數系擴充的發生、發展過程）

（1）為什么要建立相關數學知識？

數學知識的引入必定有它存在的價值，復數的出現亦是如此。雖然印象中，沒有哪個階段給過“數”的概念是什么，但是我們在小學入校之前就已經接觸到“數”，可想而知，這是一個如影隨形的概念。數是相當神秘的，人類最初對數并沒有概念，只是出于生活方面的需要讓人們腦海中有了數的影子。那么，我們是否有過數學哲學角度的原點思考：任何事物的出現必定有它存在的正面價值，“數”的出現也不例外，為什么要出現正整數、0、分數、復數、無理數、虛數？

（2）數學知識是怎么建立的？

數是如何發展成為今天這個模樣呢？

遠古時期的人類在生活中遇到了許多無法解決的難題，比如想表示一棵樹，兩頭野獸等等，在當時并沒有符號表示具體的數量，所以當時人們主要以結繩記事或在樹木石頭上刻痕跡的方法計數。后來引進羅馬數字（現在常在鐘表中出現），但是羅馬數字中是沒有0的，在公元5世紀，羅馬有一位學者從印度計數法里發現了“0”這個符號，并把印度人使用“0”的方法向大家做了介紹。但是羅馬教皇兇殘且守舊，他非常惱怒的說：“神圣的數是上帝創造的，在上帝創造的數里沒有“0”這個怪物，誰要把它給引進來，誰就是褻瀆上帝！“0”被那個愚昧殘忍的羅馬教皇命令禁止了。我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法：籌算。籌算是用竹制的或骨制的小棍，按規定的橫豎長短順序擺好，用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，籌算的擺法也就成為記數的符號了，籌算擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字，從籌算數碼中沒有10這個數可以清楚的看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進制，這樣的計算法在當時是很先進的。阿拉伯數字是印度人創造的，之后流傳到阿拉伯，后人誤認為是阿拉伯人發明，故稱之為阿拉伯數字，由于他們便于書寫，被沿用至今。發展到阿拉伯數字為止，我們發現這些數字都是自然數，出現分數之后，又解決了人們許多難題，但是在生活中我們還見到過不少具有相反意義的量：前進和后退，向上和向下，于是人們又將這些具有相反意義的數稱為負數。后來，又有學者發現了一些無法用自然數和負數表示的數，有這樣一個故事：一個叫希帕索斯的學生畫了一個邊上為1的正方形，設對角線為x，根據勾股定理，，他發現，這一長度，既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。他的發現導致了數學史上第一個無理數的誕生，小小的的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴，它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌，實際上這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對于當時所有古希臘人的觀念都是一個極大的沖擊。這一個結論的悖論性表現在它與常識的沖突：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的，可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的斷論居然被小小的的存在而推翻了。這應該是多么違反常識，多門荒謬的事，它簡直把以前所知道的事情根本推翻了，更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法，這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風暴，史上成為“第一次數學危機”。這次危機引進了無理數，將數學范圍擴充到了實數。而后，16世紀，意大利數學家卡爾丹在討論問題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時，認為把答案寫成“和”就可以滿足要求：，

。但是，在實數集內，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，0的平方根是0，那么表示什么意義呢？你也許會覺得這個問題有點可笑，因為任何實數的平方是非負數，所以負數沒有平方根，因此沒有意義。盡管在很長時間內，數學家都認為和這兩個式子沒有意義，是虛構的，想象的，但在解決許多問題時，使用類似于這樣的式子卻帶來了極大的方便。從而引入了虛數，而將數的范圍擴充到了復數。

向學生介紹“數”的發展歷史，有的小典故可能有的學生本身有所了解，那么不妨讓他以故事的形式向同學呈現數的發生發展，教師加以補充，這樣設計“數系的擴充”的概念教學，凸顯新課程標準下課堂以學生為主體。學生閱讀數的發展歷史材料，提取信息概括信息的能力，梳理數的發展的主線，這樣設計數系的擴充的教學，目的是讓學生沿著數學家探索數的發展所走過的路，經歷“一次次的提出概念、推翻概念”的探究過程，讓學生對數的發展、內涵與外延認識得更加深刻。法國數學家龐加萊指出：教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先所經歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段。所以我覺得教材對于“數系的擴充與復數的引入”這一章的設計意圖絕不是以復數的四則運算為主的，然而有很多教師卻處于應試的角度把側重點放在四則運算上。我覺得第一課時教師就應當引領學生置身歷史長河中，感悟數的這一歷史演變過程。讓學生體會數學源于實際生活而又服務于實際生活。增加學生學習數學的興趣，讓學生自主鉤織概念發生的路線圖，幫助學生了解這一來龍去脈，經歷知識發生發展的過程，完善學生的數學認知結構，促進整體理解。最后可以讓學生課余去查閱資料，既然數是一個不斷發生發展的概念，我們現在所認識的數的最大范圍是復數，那是否復數這個范圍就是最完備呢？有沒有復數以外的數呢？未知領域有待學生繼續探索發現。