基于GARCH族優選模型的艦船器材消耗預測

吳雯雯，陳振林

（海軍航空大學，山東煙臺264001）

GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）族模型，即廣義自回歸條件異方差模型，主要研究時間序列變量的方差變化規律[1]。

艦船器材消耗量受設備生命周期、任務類型、海洋環境以及使用設備人員的技能水平等因素影響，消耗量數據序列的方差不一定隨著時間的推移而始終增加。

艦船器材消耗量有時會出現增加，有時可能又會減少，有時會出現增減交替的情況，甚至可能還會伴隨著叢集效應的出現，高峰厚尾特征比較突出。

為了有效解決上述問題，可以選擇優選GARCH族條件異方差模型來擬合數據序列的變化過程，以提高回歸參數估計的準確性。

1 消耗數據分析

選取2015年至2019年某艦船器材月消耗數據序列作為研究對象。

1.1 數據基本特征

將某艦船器材消耗量的數據序列以散點圖的形式表示，如圖1所示。

由圖1可知，隨著時間的推移，數據序列呈現出不規則的分布，并且隨著艦船使用年限的增加，消耗量的數據總的來說呈現出不規則增加的趨勢。

圖2 為消耗量數據序列特征圖。由圖2 可知，該數據序列的直觀表征是一個非平穩序列。

圖1 艦船器材消耗量數據散點圖Fig.1 Scatter plot of warship equipment consumption data

圖2 消耗量數據序列特征圖Fig.2 Consumption data sequence feature chart

1.2 單位根檢驗

為了檢驗消耗量數據時間序列的平穩性，有必要進行單位根檢驗，采用實證分析中最常用的ADF（Augmented Dickey-Fuller Test）檢驗。如果存在單位根，則說明時間序列是非平穩的[2-3]。ADF檢驗由下面公式完成：

式（1）～（3）中：xt為因變量；δ 為參數；t 為時間變量；m 是因變量的滯后階數；βt 為時間趨勢項；α 為截距項；εt是獨立同分布，且服從均值為0、方差為σ2的正態分布。

原假設均為H0∶δ=0。依次按照式（3）、（2）、（1）的順序進行檢驗。若檢驗拒絕H0∶δ=0，即原序列不存在單位根，為平穩序列，停止檢驗。否則，繼續檢驗，直至完成式（1）。

對某類器材消耗數據時間序列的單位根檢驗可以按照3個步驟進行：①對消耗量原始數據序列進行單位根水平檢驗，以確認消耗量原始數據序列的平穩性；②如果檢驗結果為原始數據序列是不平穩的，則對消耗量原始數據序列進行一階差分檢驗，檢驗一階差分后的數據序列的平穩性；③如果一階差分后的數據序列仍然不平穩，則對消耗量一階差分數列再進行二階差分處理，并檢驗其平穩性。

1）消耗量數據序列的單位根水平檢驗。對消耗量的原始序列進行單位根水平檢驗，檢驗結果顯示，ADF 檢驗的t=0.609 748>-2.914 517，即：明顯大于5%的顯著性水平。因此，這說明消耗量的原始數據序列具有明顯的非平穩性，須進行一階差分數據序列的單位根檢驗。

2）一階差分數據序列的單位根檢驗。對一階差分數據序列進行單位根檢驗，檢驗結果顯示，ADF 檢驗的t=-8.150 79<-2.914 517，即：明顯小于5%的顯著性水平。因此，這說明一階差分數據序列是平穩的。但是，D(Y(-2),2)對應的P 值稍大。因此，有必要進行二階差分序列的單位根檢驗。

3）二階差分數據序列的單位根檢驗。對二階差分數據序列進行單位根檢驗，檢驗結果顯示，ADF 檢驗的t=-7.882 63<-3.498 692，即：明顯小于5%的顯著水平值。因此，二階差分數據序列是平穩的。

1.3 二階差分數據序列的特征分析

對數據序列的一階和二階差分處理后，可以得出其差分序列基本屬于穩定的時間序列，但是其殘差序列的波動性呈現出異方差特征，如圖3所示。

圖3 二階差分后的數據序列圖Fig.3 Data sequence diagram after second-order difference

1.4 殘差序列的峰度與偏度分析

按定義，峰度是所選取樣本序列的標準四階中心矩。偏度則是所選取樣本序列的標準三階中心矩[4-5]。

峰度公式為：

式（4）中：K 為峰度；n 為正整數；xi為隨機序列變量；μ 是均值；σ 是標準差。

當峰度為0 時，說明數據序列的總體分布與正態分布陡緩程度是一致的；當峰度大于0時，說明數據序列的總體分布與正態分布相比呈尖頂峰狀態；當峰度小于0 時，說明數據序列的總體分布與正態分布相比呈平頂狀態。

偏度公式為：

式（5）中：S 為偏度；xi為隨機序列變量；μ 為均值；σ為標準差。

當偏度為0 時，說明數據序列分布形態與正態分布形態一致；當偏度大于0時，說明數據序列分布形態與正態分布相比為右偏狀態；當偏度小于0時，說明數據序列的分布形態與正態分布相比為左偏狀態。

對于艦船器材消耗量數據的殘差序列進行峰度和偏度分析，可以得出峰度與偏度的結論，見圖4。

殘差數據序列的尖峰厚尾特征明顯，峰度K=3.528 926>0 ，說明比正態分布的頂峰更高。因此，具有尖峰特征。偏度S=0.248 795>0，說明比正態分布右偏。這與ARCH（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型條件基本吻合，可以嘗試分析其異方差的顯著性，來選擇是否采用GARCH 族模型進行預測建模分析。

圖4 峰度與偏度分析圖Fig.4 Analysis of kurtosis and skewness

2 模型構建

2.1 數據序列相關性及殘差序列ARCH效應檢驗

對二階差分數據序列進行標準相關性檢驗，伴隨概率P 值均大于0.05，一階相關性檢驗部分P 值大于0.05。因此，須對二階差分序列進行二階相關性檢驗，檢驗結果如表1所示。由表1可見，P 值均小于0.05，這說明僅二階差分序列具有自相關性。

表1 二階差分數據序列的二階相關性檢驗Tab.1 Second-order correlation test of the second-order differential data sequence

對殘差序列進行數據特征分析，如圖5 所示。由圖5可知，實際的殘差波動特征明顯，中間部分有明顯的叢集效應特征。為了使構建的模型能夠準確地反映艦船器材消耗的現實狀況，有必要在ARCH 和GARCH 模型建立的過程中，檢驗數據序列的條件異方差性[6]。

對殘差數據序列進行ARCH 效應，即進行LM（Lagrange Multiplier）檢驗，檢驗結果如表2 所示。由表2 可知，當滯后項選擇8 時，所構造的統計量，其P值小于0.05。因此，說明殘差數據序列存在ARCH 效應。

圖5 殘差序列的特征分析Fig.5 Feature analysis of residual sequence

表2 殘差數據序列的ARCH效應檢驗Tab.2 ARCH effect test of residual data sequence

2.2 ARCH模型的建立

按照恩格爾的假設，隨機變量是具有一階AR(p)自回歸過程：式（6）中：xt為隨機變量；β 為參數；t 為正整數；p 為滯后階數；εt為隨機擾動項。

能夠同時滿足{εt} 是一個獨立同分布白噪聲過程，并且滿足E(εt)=0，D(εt)=σ2。如果隨機變量xt為一個平穩過程，則其特征多項式的根均應置于單位圓外，即可以通過單位根檢驗，確定隨機變量序列的平穩性狀況。

如果存在一個隨機過程{εt} ，且

式（7）中：εt為隨機擾動項；α 為參數；q 為滯后階數；εt-1為εt的滯后1階項；εt為q 階隨機擾動項的函數，可記作εt～ARCH(q)。

為了確定ARCH效應的滯后階數，分別將滯后階數按照升序進行檢驗。當滯后階數為9 時，ARCH 效應不顯著。這樣即可確定ARCH 效應的滯后階數為8，建立ARCH模型，并對模型參數進行估計[7-8]。

模型的滯后項有8項，顯然，滯后項過多會使模型計算十分繁瑣，且AIC=6.904 8，值比較大。因此，考慮采用GARCH模型。

2.3 GARCH模型的構建

當階數q →∞時，為了計算滯后階數，設條件異方差ht表達式如下：

變換后：

式（9）中：k0=(1-ρ1-ρ2-…-ρp)α0為常數項；ht為條件異方差；ρ 為參數。

此時，εt～GARCH(p,q)。

由此可見，ht分別是時間序列的滯后隨機誤差平方和滯后條件方差的線性函數。GARCH 模型從ARCH 模型的殘差特性分析入手，將高階的ARCH 模型進行簡化處理，使模型識別和參數估計比ARCH模型更容易，也更具一般性。

當p=q=1 時GARCH 模型的簡化模型即為GARCH(1 ,1) ，即

式（10）中：k0>0；ρ1≥0；α1≥0。

則εt～GARCH(1,1)是平穩過程的充分必要條件：α1+ρ1<1。

運用GARCH 基本模型對參數進行極大似然估計。

式（11）中：Xi為解釋變量；Yi為其相應的響應變量；β 為未知回歸參數。

設觀測集為：

式（12）中：Xi為解釋變量；Yi為其相應的響應變量；q為滯后階數。

則GARCH模型的參數集可以表示為：

式（13）中：δ=[k0,α1,…,αq,ρ1,…,ρp] ；β 和δ 為未知參數。

則GARCH模型的極大似然函數為：

式（14）中：T 為正整數；ht為條件異方差。

取極值可得：

分別構建GARCH(1 ,0 )和GARCH(1 ,1) 模型進行比較，并進行ARCH 效應分析，以獲得更能準確反映消耗量現實狀況的模型[9-10]。

由GARCH一般模型可知：

GARCH(1 ,1) 模型為：

式（16）～（18）中：ht為條件異方差；α、β 為參數；t 為正整數；p、q 為滯后階數。

對GARCH(1 ,0 )模型和GARCH(1 ,1) 模型進行參數估計與ARCH 效應檢驗，結果顯示GARCH(1 ,1) 模型的AIC 值較小。因此，可以選擇GARCH(1 ,1) 模型作為消耗量預測備選模型[10-13]。

GARCH(1 ,1) 模型為：

參數估計后，可以得到：

3 GARCH族模型比較優選

對數據序列進行GARCH 族模型參數估計與檢驗，根據AIC 準則與所構建的GARCH(1 ,1) 模型進行比較和優選，以選擇精度更高的模型對艦船器材消耗量進行準確預測。AIC 準則，由日本統計學家赤池弘次在1974 年提出，建立在熵的概念上，提供了權衡估計模型復雜度和擬合數據優良性的標準。從一組可供選擇的模型中選優，通常選擇AIC值最小的模型。

3.1 TGARCH杠桿效應檢驗

TGARCH（Threshold Garch）模 型，簡 單 修 正GARCH模型來描述正負項干擾對波動率的非對稱影響后果，可以有效描述非對稱波動，條件方差使用指數形式表示，放松了對模型參數的限制。TGARCH模型的條件方差可表示為：

ut-1>0 時，有Dt-1=0，表示正向干擾；ut-1<0 時，有Dt-1=1，表示負向干擾；ut-1=0 表示干擾因素對條件方差的影響是均衡的[14-15]。

對TGARCH模型杠桿效應進行分析，參數估計如表3所示。

表3 TGARCH杠桿效應檢驗Tab.3 TGARCH leverage effect test

由表3 可知，ARCH 項和非對稱項對應的P 值均大于0.05。因此，存在杠桿效應。同時可知，運用TGARCH模型的AIC=6.807 12。

3.2 EGARCH效應檢驗

Nelson[16]在GARCH 模型假設的基礎上，引入EGARCH 模型，重新構造了非對稱的模型，對參數的非負約束條件進行了放松，并將條件方差表示為對數形式，即：

式（22）中：εt-1為隨機干擾項；為隨機干擾項的方差；ω、β、α、γ 均為決定性參數。

因為采取了對數形式的變換，所以條件方差不會出現負值。對EGARCH 模型進行參數估計和顯著性檢驗，結果如表4 所示。由表4 可知，該模型的AIC=6.825 296。

表4 EGARCH效應檢驗Tab.4 EGARCH effect test

3.3 PGARCH檢驗

建立PGARCH模型并檢驗其GARCH效應。

PGARCH 模型主要用于解決具有周期性特征的時間序列預測問題。當不具備周期性特征時，則PGARCH 模型就是GARCH 模型。也就是說，GARCH 模型其實是PGARCH 模型的一種無周期性特征的特殊形式。這里將GARCH( )1,1 拓展為PGARCH，用以比較2 個模型對艦船器材消耗量預測精度的優劣。

設{ Xt} 為時間序列數據集，如果存在周期為S 的PGARCH(p,q)，則：

式（23）、（24）中：σ2為隨機干擾項的方差；誤差序列{εt} 服從獨立同分布；ωt、αt,i、βt,j均為周期S 的函數。

首先，進行系數梯度變化情況分析，如圖6 所示。由圖6可知，系數的梯度，在2017年下半年開始C（1）、C（2）趨于平穩，C（3）、C（4）變化幅度減小，但是還是有一定的變化的[17]。更多階數的系數及數據序列的參數估計情況，如表5所示。由表5可知，時間序列沒有明顯的周期性。因此，不適合建立PGARCH模型來對艦船器材消耗情況進行預測，且運用該模型的AIC=6.986 452，值也是比較大的。

圖6 系數的梯度變化情況圖Fig.6 Diagram of the gradient variation of coefficients

表5 PGARCH模型參數估計表Tab.5 Parameter estimation of PGARCH model

3.4 模型比較優選

按照模型優劣比較的AIC 準則，可以通過比較GARCH 族各個模型的AIC 值大小來確定終選模型。在上述討論的模型中，GARCH(1 ,1) 的AIC值最小，滯后階數最少，便于求解，預測精度高。因此，可以確定GARCH(1 ,1) 為消耗量預測的最優模型[18-20]。

4 實例分析

以艦船器材2015年至2019年的消耗量數據序列為研究對象，運用GARCH(1 ,1) 模型，對2020 年上半年可能的消耗量進行預測。艦船器材消耗量GARCH值的變化趨勢，見圖7。由圖7 可知，GARCH 值隨著時間總的變化趨勢是趨于平穩的。因此，可以運用上述所構建的GARCH(1 ,1) 模型進行消耗趨勢預測。2020年上半年的消耗量變化趨勢情況，如圖8所示。

簡化后模型為：

具體的預測結果，如表6所示。

圖7 GARCH值的變化趨勢Fig.7 Trends of GARCH values

圖8 2020年上半年器材消耗量變化趨勢圖Fig.8 Trends of equipment consumption in the first half of 2020

表6 2020年上半年器材消耗量預測值Tab.6 Forecasts of equipment consumption in the first half of 2020

5 結語

從上述模型建立與擬合的過程可以看出，艦船某類器材消耗規律與其他類器材相比較，具有明顯的隨機性特征。盡管波動性比較強烈，但是有一定的規律可循，尤其是其ARCH 效應十分顯著。但是，滯后階數過多，影響了模型的計算效率。采用GARCH 模型進行擬合，可以較好地滿足滯后階數少，預測精度高的要求。

GARCH( )1,1 模型可以實現對艦船器材消耗的準確預測。當然，這里的模型還只是針對艦船器材消耗實際序列進行的擬合，考慮到器材消耗的影響因素較多，只是根據數據序列的處理來預測消耗量還是有一定局限性的，有必要考慮多種因素的影響，來進一步完善擬合模型，以期更加精確地預測某類器材消耗的現實情況。